De verkenner Pioneer-10 werd gelanceerd in 1972 en was in 1983 het eerste ruimtevaartuig dat ons zonnestelsel verliet. Zie de 'artist impression' in figuur 1.
In 1983 bewoog Pioneer-10 met een snelheid van ongeveer 2,6 AE per jaar in de richting van de rode ster Aldebaran. Zie figuur 2. Deze figuur is niet op schaal. Eén AE (Astronomische Eenheid) is gelijk aan de gemiddelde afstand van de zon tot de aarde.
Opgaven
a) Bereken hoeveel jaar Pioneer-10 over zijn reis naar Aldebaran zal doen als hij zijn hele reis met de gegeven snelheid beweegt.
In het begin van de reis wordt Pioneer-10 door de zon vertraagd. Aan het eind van zijn reis wordt Pioneer-10 door Aldebaran versneld. Tim en Maaike bespreken het effect hiervan op de gemiddelde snelheid van Pioneer-10. Tim denkt dat vgem minder dan 2,6 AE per jaar is door de invloed van de zon. Maaike meent dat vgem meer dan 2,6 AE per jaar is, omdat de massa van Aldebaran 25 keer zo groot is als de massa van de zon.
b) Leg uit wie er gelijk heeft.
Pioneer-10 kan het zwaartekrachtveld van de zon alleen verlaten als de kinetische energie van de Pioneer-10 groter is dan de bindende gravitatie-energie.
Voor de bindende gravitatie-energie Eg geldt:
Hierin is:
- G de gravitatieconstante;
- M de massa van de zon;
- m de massa van Pioneer-10;
- r de afstand van Pioneer-10 tot de zon.
In 1983 bevond Pioneer-10 zich op een afstand van r = 6,2*1012 m van de zon.
c) Toon aan dat zijn snelheid dan ruimschoots voldoende is om uit het zonnestelsel te ontsnappen.
Pioneer-10 beweegt op zijn reis door de Kuipergordel. Dit is een gebied van ijzig interplanetair stof dat ons zonnestelsel omgeeft, op een afstand tussen 30 AE en 100 AE. Doordat Pioneer-10 dit interplanetaire stof ‘opveegt’, neemt de massa van Pioneer-10 toe.
Een voorwerp dat tijdens zijn beweging in massa toeneemt, ondervindt daardoor een tegenwerkende kracht:
Voor de tegenwerkende kracht op Pioneer-10 ten gevolge van het 'opvegen' van het stof geldt:
Hierin is:
- ρ de stofdichtheid in kgm-3;
- A de frontale oppervlakte van Pioneer-10 in m2;
- v de snelheid van Pioneer-10 in ms-1.
d) Leid formule 2 af. Maak gebruik van formule 1 en van formules uit Binas.
De snelheid van Pioneer-10 blijkt iets sterker af te nemen dan verklaard kan worden door de aantrekkingskracht van het zonnestelsel. Als de extra vertraging het gevolg is van bovenstaande tegenwerkende kracht, is daarmee de waarde voor de stofdichtheid van de Kuipergordel te bepalen.
De antenneschotel van Pioneer-10 heeft een diameter van 2,74 m. De frontale oppervlakte van Pioneer-10 is gelijk aan de oppervlakte van de antenneschotel. Op een bepaalde plaats in de Kuipergordel had Pioneer-10 (massa = 241 kg) een snelheid v van 1,23*104 ms-1 en ondervond een extra vertraging van 8,74*10-10 ms-2 .
e) Bereken hieruit de stofdichtheid op die plaats in de Kuipergordel, als aangenomen wordt dat deze extra vertraging volledig veroorzaakt wordt door het âopvegenâ van het stof.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Om de tijd te berekenen gebruiken we de formule v = s / t. Dus de tijd is t = s / v.
De afstand s tussen de Aarde en de ster Aldebaran vinden we in Binas: s = 650*1015 m.
De snelheid is gegeven, die moet alleen nog omgerekend worden naar meters: v = 2,6 AE/jaar. Eén AU = 149,6*109 m, dus v = 2,6*149,6*109 = 3,89*1011 m/jaar.
Nu kunnen we s en v invullen in de formule. Merk op dat de eenheid van de snelheid meters per jaar is, de eenheid van de afstand is meters, dus de eenheid van de tijd is direct in jaar: t = 650*1015 / 3,89*1011 = 1,7*106 jaar. Dit is 1,7 miljoen jaar!
Uitwerking vraag (b)
Tim heeft gelijk. Door de gravitatie van het zonnestelsel beweegt Pioneer-10 nagenoeg de hele tijd / de hele afstand tot Aldebaran met een snelheid lager dan 2,6 AE per jaar.
Uitwerking vraag (c)
We willen laten zien dat de kinetische energie Ekin groter is dan de gravitatie-energie van de zon Eg:
Ekin = ½mv2 moet groter zijn dan GmM/r. In beide formules staat m, dus deze kunnen we wegstrepen. De snelheid (zie vraag a) rekenen we eerst even om naar m/s:
v = 3,89*1011 m/jaar = 3,89*1011 / (365*24*3600) = 1,23*104 m/s.
Dus ½v2 = 7,6*107 m2/s2.
GM/r kunnen we ook berekenen, met een aantal gegevens uit Binas: GM/r = (6,67*10-11) * (1,989*1030) / 6,2*1012 = 2,14*107 m2/s2.
We zien dat ½v2 > GM/r, dus de snelheid is groot genoeg om weg te komen bij uit ons zonnestelsel.
Uitwerking vraag (d)
We willen laten zien dat F = (∆m/∆t)v gelijk is aan Aρv2:
Allereerst schrijven we de massa om naar volume en dichtheid, want m = ρV, dus ∆m = ρ∆V:
F = ρ(∆V/∆t)v. Nu kunnen we ∆V nog omschrijven, om ook de oppervlakte in de formule te krijgen: ∆V = A∆x.
∆x is in dit geval een stukje afstand dat die Pioneer-10 aflegt door de stofdeeltjes.
Invullen: F = ρA(∆x/∆t)v. Tot slot zien we dat ∆x/∆t gelijk is aan de snelheid van Pioneer-10, dus: F = ρAv2
Uitwerking vraag (e)
Hierbij maken we gebruik van het feit dat de formule F = Aρv2 gelijk is aan F = ma. Omschrijven geeft een vergelijking voor de dichtheid, die je wilt berekenen:
ρ = ma / Av2, met m = 241 kg; a = 8,74*10-10; A = πr2 = π*1,372 = 5,906 m2; en tot slot v2 = (1,23*104)2 = 1,51*108 m2/s2.
Alles invullen:ρ = 2,36*10-16 kg/m3.
