Dag Bahzu,
Volgens de vuistregels in het vwo heeft de uitkomst slechts 1 significant cijfer.

In de breuk trekt je eerst de ene golflengte van de andere af. Het verschil heeft slechts 1 significant cijfer volgens de vuistregel (over decimalen) voor optellen en aftrekken.

Daarna deel je door de noemer, die 4 significante cijfers heeft.
Het quotiënt heeft slechts 1 significant cijfer volgens de vuistregel (over significante cijfers) voor vermenigvuldigen, delen en nog meer.

Moraal van dit verhaal: om de radiale snelheid v van een ster te bepalen, moeten beide golflengten zeer nauwkeurig bekend zijn.
Groet, Jaap

Hallo Jaap,

Dank je wel voor je snelle antwoord.

Dit was juist ons gesprekspunt. Wij denken dat een vuistregel een soort hulpregel is die vaak werkt, maar niet altijd. 

In de les is verteld dat het antwoord van een berekening de significantie van de slechtste meetwaarde krijgt. 

De bovenstaande opgave gaat over een blauwverschuiving. Alle waarden zouden volgens de opgave met hetzelfde instrument zijn gemeten. Dan zou het antwoord toch ook dezelfde significantie moeten hebben? want dat is ook zo als de waarden worden opgeteld. Alleen bij het aftrekken verliest ineens het instrument zijn meet nauwkeurigheid.

Dat kan toch niet de bedoeling zijn van significantie?

Of maak ik hier een denkfout?

Groeten, Bahzu

 

 

Teller levert 0,1 . 10^-9 - dus 1 decimaal. Als getal ook maar 1 significant cijfer.
De breuk dus ook, al heeft de noemer 3 significante cijfers.
Breuk x lichtsnelheid is dan ook 1 significant cijfer.

Optellen/aftrekken is de enige operatie waar een getal van een aantal significante cijfers tot meer of minder significante cijfers kan komen omdat daar het aantal decimalen telt:
- toename:    99,2 + 0,9 = 100,1   (van 3 (en 1) naar 4 significante cijfers)
- afname:   100,2 - 100,1 =0,1 (van 4 significante cijfers naar 1)

Afronden tot significante cijfers of decimalen doe je pas helemaal aan het eind bij het eindantwoord.
Tussendoor al afronden introduceert veel te grote fouten.

Significantie heeft te maken met nauwkeurigheid. Je kunt 2 metingen heel nauwkeurig doen, van elkaar aftrekken en dan bijna niks overhouden. Je meet iets in mm nauwkeurig en krijgt een verschil ook in mm. De onnauwkeurigheid in de oorspronkelijke getallen is ±0,5 mm . Bij aftrekken wordt de onnauwkeurigheid ± 1 mm  (extreme gevallen als beide getallen - 0,5 mm van de opgegeven waarde afwijken of + 0,5 mm afwijken).
Bv.  20,0 cm - 19,0 cm = 1,0 cm, Dat suggereert 1,0 ± 0,05 cm volgens de vuistregels.
Nauwkeuriger uitwerken (ipv vuistregels) zal leiden tot 1,0 ± 0,1 cm. 

Dag Bahzu,
Inderdaad moet je de vuistregels niet te streng opvatten.

De volgende benadering is wat degelijker dan de vuistregels. We mogen de machten van 10 in de breuk weglaten. Dat is eenvoudiger en het maakt geen verschil voor de waarde of de nauwkeurigheid van de uitkomst.
Bij de gemeten waarden nemen we meestal aan dat de 'mogelijke fout' de helft van een 1 op de meest rechtse positie is. Dat is in dit geval de helft van 0,1 ofte wel 0,05 nanometer.
De laboratoriumgolflengte of rust-golflengte is minimaal 574,95 en maximaal 575,05 nm.
De golflengte in het sterspectrum is minimaal 574,85 en maximaal 574,95 nm.
De teller van de breuk is minimaal 574,95–574,95=0,00 nm
en maximaal 575,05–574,85=0,20 nm
De breuk is minimaal 0,00/575,05=0 en maximaal 0,20/574,95=0,00035
De maximale waarde begint met een 3 in de vierde decimaal.
De breuk is recht-toe-recht-aan (575,0–574,9)/575,0=0,00017
Deze waarde begint met een 1 in de vierde decimaal.
Omdat de maximale 0,00035 en de 0,00017 reeds verschillen in de vierde decimaal,
is alleen de vierde decimaal van de breuk enigszins betrouwbaar en
is de breuk slechts met 1 significant cijfer betrouwbaar.

Hier blijkt: als je een gemeten waarde aftrekt van een andere, slechts weinig grotere gemeten waarde, houd je slechts 'weinig significantie' over. Dat is sneu, maar wel eerlijk.
Groet, Jaap

Ik zou voor de duidelijkheid graag nog eens terugkomen op de reactie van Theo de Klerk hierboven. 

Hij zegt: 'Afronden tot significante cijfers of decimalen doe je pas helemaal aan het eind bij het eindantwoord.'

Toch rondt hij al af in de teller van de breuk, want dat geeft een 'eindantwoord' van het onderdeel 'optellen en aftrekken', ook al is dat nog niet het finale 'eindantwoord' van de berekening.

Is het zo dat 'eindantwoord' bedoeld werd?

De teller komt toch uit op 0,1 . 10^-9 ? Niet op 0,1000 . 10^-9 .  Dan heb ik toch niet voortijdig afgerond?

Dag Theo. Bedankt voor je snelle reactie. Je hebt gelijk, hier is van afronding geen sprake. 

Ik kwam op deze pagina terecht naar aanleiding van de volgende vraag, uit een oefening over totale druk in een stilstaande vloeistof.

'Hoe diep bevindt een probe zich onder het zeeniveau als er een druk van 1500 hPa gemeten wordt? De atmosfeerdruk is 101325 Pa, de dichtheid van zeewater is 1020 kg/m³.'

De uitwerking is als volgt:

p_tot = p_atm + hρg 

h =

h =

Als je de teller eerst uitwerkt, krijg je 1500.10² Pa - 1013,25.10² Pa = 487.10² Pa. Dit is afgerond op 1.10² Pa, want de eerste term is het minst nauwkeurig. Zonder afronding zou dit 486,75 .10² Pa geven.

Als je vervolgens de breuk uitwerkt met het afgeronde tussenresultaat van 487.10² Pa, krijg je als resultaat 4,87 m (4,86698... afronden en 3 significante cijfers behouden zoals in g en in de teller). 

Stel dat je letterlijk pas helemaal op het einde zou afronden in deze oefening en dus de breuk uitrekent met 486,75 .10² Pa in de teller, dan krijg je als resultaat 4,86 m (4,86448... afronden en 3 significante cijfers behouden zoals in g).

Welke van deze twee oplossingsmethodes is het meest correct volgens de vuistregels?

>1500.10² Pa - 1013,25.10² Pa = 487.10² Pa. Dit is afgerond op 1.10² Pa

Sinds wanneer is 487 afgerond 1?

Dus nee, 1500 - 1013,15 = 486,85 . 10² Pa - niks afgerond. Wel onthouden dat er 0 cijfers achter de komma staan bij de laatste afronding (dus 3 signifcante cijfers, "486").

1020 x 9,81 = 10 006,2 zonder afronding. Onthouden dat er 3 significante cijfers zijn (door "9,81").

486,85/10006,2 = 0,0486548 onafgerond. 

Eindantwoord gekregen - nu afronden. Teller had 3 significante cijfers over na de aftrekking, noemer ook 3, eindantwoord dus ook 3 cijfers: 4,87 .10^-2 (door afronding van 86,5 naar 87)

Je tweede oplossing is dus de betere methode (maar fout uitgerekend).

 

(Tussentijds afronden geeft  487/(100.10²) = 4,87 .10^-2 - in dit geval geen verschil)

Beste lezers,

waar bij Michiel 14:12 staat "Dit is afgerond op 1.10² Pa" is wel duidelijk dat hij bedoelt 487.10² Pa is "afgerond op 1.10^2 Pa nauwkeurig". Helemaal goed.

Bij Theo 16:43 staat "Dus nee, 1500 - 1013,15 = 486,85 . 10^2 Pa". Sinds wanneer is 1013,15 hetzelfde als 1013,25 en mag men links *10^2 weglaten?

"486,85/10006,2 = 0,0486548" moet toch zijn "(486,75*10^2)/10006,2 = 4,86448" ?

Weet Theo zeker "eindantwoord dus ook 3 cijfers: 4,87.10^(-2)"?

Hectometer misschien?

Heel bijzonder te lezen "de betere methode (maar fout uitgerekend)" terwijl Michiel geen fout maakt.

mvg, Ibtihal

 

Beste Michiel, ik geef antwoord op de vraag naar de beste methode obv de officiële "syllabus" met regels voor het centraal examen (CE) natuurkunde vwo in Nederland. In andere situaties zou de regel anders kunnen zijn

In CE wordt het aantal significante cijfers vd uitkomst (=allerlaatste waarde) alleen in beoordeling betrokken als dat uitdrukkelijk uit de vraag blijkt. in dat geval geldt "Bij tussentijds afronden dient minimaal het aantal significante cijfers van de uitkomst meegenomen te worden." Je antwoord heeft terecht 3 sign cijfers en de vooraf gaande al of niet afgeronde waarden hebben minstens 3 significante cijfers. wat dat aangaat, zijn je beide methodes in deze specifiek opgave goed.

Syllabus heeft ook een vakspecifieke regel "Een afwijking in de uitkomst van een berekening/bepaling door acceptabel tussentijds afronden wordt de kandidaat niet aangerekend". Dit is verderop toegelicht: "Het is gebruikelijk om tussenantwoorden niet af te ronden of af te ronden op één significant cijfer méér dan in de uikomst [sic]. Als een kandidaat tussentijds bijvoorbeeld afrondt op het juiste aantal significante cijfers, kan dat een (kleine) afwijking in het eindantwoord geven. Dit wordt de kandidaat niet aangerekend. Bij vragen waarin significantie niet beoordeeld wordt, geldt dat elke tussentijdse afronding acceptabel is, mits rekenkundig correct is afgerond." Als je hier op af gaat, zijn je beide methodes acceptabel, heeft het de voorkeur om niet tussentijds af te ronden en heeft je methode "Stel dat je letterlijk...als resultaat 4,86 m" de voorkeur.

Suggestie: niet tussentijds afronden, "te veel" decimalen of significante cijfers neerzetten met weglatingsteken (...), bij elke stap "boekhouden" hoeveel decimalen of significante cijfers geldig zijn volgens de vuistregels en netjes afronden op het allerlaatste moment.

de vuistregels zoals ik ze ken gaan alleen over een enkele rekenstap, niet over tussendoor wel of niet of hoeveel afronden.

mvg, Ibtihal