Fg gelijkstellen aan Fmpz
Sarah stelde deze vraag op 20 september 2023 om 13:21.- Dag allemaal,
Wij zijn momenteel bezig met het onderwerp gravitatie. Ik weet niet of ik het onderwerp onder de juiste categorie heb geplaatst, zo niet: mijn excuus.
Waar ik wat tegen aan loop, is het feit dat bij het gelijkstellen van Fg aan Fmpz de massa van het bewegende object om het hemellichaam wegvalt. Ik begrijp dat je deze massa mag wegstrepen, omdat hij aan beide kanten van =-teken staan, maar ik begrijp de redenering erachter niet. De grootte van Fg is afhankelijk van de massa van twee desbetreffende voorwerpen. Als je als grootste massa de aarde neemt en het voorwerp bevindt zich op een afstand r dan volgt hieruit een bepaalde waarde van Fg. Als eenzelfde voorwerp, maar zwaarder, op eenzelfde afstand r bevindt dan wordt Fg dus groter. Hier loop ik dus vast, want als Fg de benodigde Fmpz levert voor een cirkelbaan dan maakt die grootte van dat bewegende object dus niet uit, maar in de formule van Fg zelf wel.
Al met al: waarom is Fg gelijk aan Fmpz in een eenparige cirkelbeweging om een hemellichaam voor verschillende groottes van de massa?
Ik hoop dat jullie de aanleiding van mijn vraag begrijpen.
Alvast hartelijk dank voor het antwoord,
Groet Sarah
Reacties
Sarah
op
20 september 2023 om 14:03
Of is het zo dat de verschillende groottes in massa's niet in eenzelfde cirkelbaan kunnen zitten door dat het verschil in Fg. Dus net zoals dat de Mercurius dichter bij de zon staat dan de aarde? En dat dit te verklaren is aan de hand van: Fg<Fmpz. De aarde ondervindt een grotere Fg, dus om gelijk te zijn aan de Fmpz moet de aarde uitwijken naar een grotere baan.
Theo de Klerk
op
20 september 2023 om 14:34
Voor een cirkelbaan heeft de mechanica uitgevonden dat de kracht (welke dat is, daar laat het zich niet over uit) die zorgt voor een cirkelvormige beweging de karakteristiek heeft F = mv2/r
Iets of iemand moet die kracht leveren. Dat kan de spankracht zijn in een ronddraaiend touw, dat kan de gravitatiekracht zijn bij massa's die om elkaar draaien, dat kan een magnetische (Lorentz)kracht zijn van een geladen deeltje in een magneetveld.
Bij omloopsbanen van massa's is de kracht die de middelpuntzoekende kracht levert de zwaartekracht, F = GMm/r2 .
De algemene vergelijking voor de cirkelbaan kan dan gelijk gesteld worden aan de zwaartekracht:
mv2/r = G Mm/r2
Naar goed wiskundig gebruik is een vermenigvuldiging links en rechts van het = teken met m overbodig ("kun je wegstrepen") net zo als links 1/r deels weg gestreept kan worden tegen 1/r2 = 1/r 1/r zodat je nog maar 1 1/r overhoudt.
Het wegstrepen van m betekent in de natuurkunde dat de massa van m er blijkbaar niet toe doet.
Of ik de aarde met massa m rond de zon met veel grotere massa M laat draaien of de maan de plaats van de aarde laat innemen, of een kunstmaan van een paar honderd kilogram - het maakt niet uit. Aarde, maan, kunstmaan - ze draaien allemaal hetzelfde rondje om de zon op dezelfde afstand.
Er is voor elke massa (mercurius, venus, aarde e.d.) een andere Fzw domweg omdat hun massa's anders is. De zon geeft een versnelling GM/r2 = azon maar trekt aan Mercurius met mMercurius.azon en voor de aarde is dit maardeazon. Meer massa, meer kracht. Maar in de verhouding van de aangetrokken massa's. Per kilogram planeet is de kracht die de zon uitoefent gelijk.
De kracht wordt met factor 1/r2 minder naarmate afstand r groter wordt.
Elke massa (klein in vergelijking met de zon) draait in dezelfde cirkelbaan met straal r en omloopstijd T. De relatie tussen r en T wordt weergegeven door de Wet van Kepler, r3/T2 = constant
Bij een andere afstand r hoort een andere omloopstijd T.
Iets of iemand moet die kracht leveren. Dat kan de spankracht zijn in een ronddraaiend touw, dat kan de gravitatiekracht zijn bij massa's die om elkaar draaien, dat kan een magnetische (Lorentz)kracht zijn van een geladen deeltje in een magneetveld.
Bij omloopsbanen van massa's is de kracht die de middelpuntzoekende kracht levert de zwaartekracht, F = GMm/r2 .
De algemene vergelijking voor de cirkelbaan kan dan gelijk gesteld worden aan de zwaartekracht:
mv2/r = G Mm/r2
Naar goed wiskundig gebruik is een vermenigvuldiging links en rechts van het = teken met m overbodig ("kun je wegstrepen") net zo als links 1/r deels weg gestreept kan worden tegen 1/r2 = 1/r 1/r zodat je nog maar 1 1/r overhoudt.
Het wegstrepen van m betekent in de natuurkunde dat de massa van m er blijkbaar niet toe doet.
Of ik de aarde met massa m rond de zon met veel grotere massa M laat draaien of de maan de plaats van de aarde laat innemen, of een kunstmaan van een paar honderd kilogram - het maakt niet uit. Aarde, maan, kunstmaan - ze draaien allemaal hetzelfde rondje om de zon op dezelfde afstand.
Er is voor elke massa (mercurius, venus, aarde e.d.) een andere Fzw domweg omdat hun massa's anders is. De zon geeft een versnelling GM/r2 = azon maar trekt aan Mercurius met mMercurius.azon en voor de aarde is dit maardeazon. Meer massa, meer kracht. Maar in de verhouding van de aangetrokken massa's. Per kilogram planeet is de kracht die de zon uitoefent gelijk.
De kracht wordt met factor 1/r2 minder naarmate afstand r groter wordt.
Elke massa (klein in vergelijking met de zon) draait in dezelfde cirkelbaan met straal r en omloopstijd T. De relatie tussen r en T wordt weergegeven door de Wet van Kepler, r3/T2 = constant
Bij een andere afstand r hoort een andere omloopstijd T.
Sarah
op
20 september 2023 om 15:15
Dank voor uw antwoord Theo, echter is het mij nog niet helemaal duidelijk waarom de massa nou niet van invloed is. Stel ik neem de aarde. De maan draait in een cirkelbeweging om de aarde, maar stel we plaatsen in diezelfde baan een ander object X(met een andere massa dan de maan). Dan zit er tussen Fg tussen de maan en de aarde & de Fg tussen X en de aarde wel een verschil? Immers, in de formule voor Fg komen beide massa's van de twee voorwerpen voor. Bij een gelijke r zou de massa het verschil moeten maken voor Fg.
Ik noem maar wat: maar als Fg tussen aarde en maan Z Newton is dan is Fmpz dus ook Z Newton. Als Fg tussen X en de aarde Y Newton is dan is Fmpz dus ook Y Newton. Hieruit volgt dan toch dat Z Newton ongelijk is aan Y Newton?
Ik noem maar wat: maar als Fg tussen aarde en maan Z Newton is dan is Fmpz dus ook Z Newton. Als Fg tussen X en de aarde Y Newton is dan is Fmpz dus ook Y Newton. Hieruit volgt dan toch dat Z Newton ongelijk is aan Y Newton?
Theo de Klerk
op
20 september 2023 om 15:36
Zoals gezegd: de massa deel je weg en is DUS niet van belang.
Je kunt 40 manen van verschillende massa rondom de aarde laten draaien allemaal met de massa van de maan. Even de onderlinge maan-aantrekking negerend, draaien ze vrolijk rondjes om de aarde - geheel onwetend van de overige 39 die dat ook doen. De Fg op elke maan is anders, maar de VERSNELLING Fg/m is dezelfde. Het is deze versnelling die zorgt voor de middelpuntzoekende versnelling. (en maal de massa de mpz kracht: die is verschillend groot, afhankelijk van de massa, omdat F= m.a). In F = G Mm/r2 verschilt alleen de massa m voor alle 40 manen, en dus 40 verschillende Fg waarden, maar DEZELFDE versnelling Fg/m .
Je laatste vergelijking snap ik niet. Inderdaad kunnen en zullen verschillende manen Xn verschillende krachten Z of Y hebben. De kracht op X1 is F = m1 gA (merk op factor m1) en op X2 is F = m2 gA . De kracht is evenredig met de massa (maar hetzelfde per kilogram) en het is de VERSNELLING die van belang is, niet de kracht.
Je kunt 40 manen van verschillende massa rondom de aarde laten draaien allemaal met de massa van de maan. Even de onderlinge maan-aantrekking negerend, draaien ze vrolijk rondjes om de aarde - geheel onwetend van de overige 39 die dat ook doen. De Fg op elke maan is anders, maar de VERSNELLING Fg/m is dezelfde. Het is deze versnelling die zorgt voor de middelpuntzoekende versnelling. (en maal de massa de mpz kracht: die is verschillend groot, afhankelijk van de massa, omdat F= m.a). In F = G Mm/r2 verschilt alleen de massa m voor alle 40 manen, en dus 40 verschillende Fg waarden, maar DEZELFDE versnelling Fg/m .
Je laatste vergelijking snap ik niet. Inderdaad kunnen en zullen verschillende manen Xn verschillende krachten Z of Y hebben. De kracht op X1 is F = m1 gA (merk op factor m1) en op X2 is F = m2 gA . De kracht is evenredig met de massa (maar hetzelfde per kilogram) en het is de VERSNELLING die van belang is, niet de kracht.
Jan van de Velde
op
20 september 2023 om 15:51
Dag Sarah,
als ik je vraag even weghaal uit dat beetje mysterieus klinkende ruimtemechanica-gebeuren, en even dichter bij huis haal:
Ik pak een boek (massa 300 g) en een balpen (massa 15 g)
Ik til ze op en laat ze vallen.
Ben je het ermee eens dat boek niet 20 x zo snel of 20 x zo langzaam op de grond ligt als die pen? Maar eigenlijk gewoon even snel?
Begrijp je hoe dat komt, en kun je dàt beredeneren?
Groet, Jan
als ik je vraag even weghaal uit dat beetje mysterieus klinkende ruimtemechanica-gebeuren, en even dichter bij huis haal:
Ik pak een boek (massa 300 g) en een balpen (massa 15 g)
Ik til ze op en laat ze vallen.
Ben je het ermee eens dat boek niet 20 x zo snel of 20 x zo langzaam op de grond ligt als die pen? Maar eigenlijk gewoon even snel?
Begrijp je hoe dat komt, en kun je dàt beredeneren?
Groet, Jan
Sarah
op
20 september 2023 om 19:39
Nogmaals hartelijk dank voor uw reactie Theo! Ik waardeer de uitleg. Ik begrijp het nu helemaal :)
Groet, Sarah
Groet, Sarah
Sarah
op
20 september 2023 om 19:43
Dag Jan,
Ze vallen allebei inderdaad even snel. Ik verwachtte eerst dat de pen sneller zou vallen, omdat het boek een groter oppervlakte heeft en daardoor meer luchtweerstand zou ondervinden. Maar na wat gezocht te hebben over waarom ze beide toch wel gelijk vallen, kwam ik uit op de begrippen zware massa en trage massa. Doordat deze twee recht evenredig aan elkaar zijn, zal het boek in dit geval net zo snel als de pen vallen.
Als dit klopt in elk geval dan :)
Groet, Sarah
Ze vallen allebei inderdaad even snel. Ik verwachtte eerst dat de pen sneller zou vallen, omdat het boek een groter oppervlakte heeft en daardoor meer luchtweerstand zou ondervinden. Maar na wat gezocht te hebben over waarom ze beide toch wel gelijk vallen, kwam ik uit op de begrippen zware massa en trage massa. Doordat deze twee recht evenredig aan elkaar zijn, zal het boek in dit geval net zo snel als de pen vallen.
Als dit klopt in elk geval dan :)
Groet, Sarah
Jaap
op
20 september 2023 om 20:07
Dag Sarah,
Een maan die een eenparige cirkelbeweging om een planeet uitvoert, legt langs de cirkelomtrek steeds evenveel meter per seconde af. De grootte van de baansnelheid van de maan is constant. Maar de richting van de baansnelheid verandert voortdurend: anders zou de maan zich langs een rechte lijn van de planeet verwijderen.
Om de richting van de baansnelheid te laten veranderen, is een middelpuntzoekende kracht Fmpz op de maan nodig. Volgens de tweede wet van Newton $\vec{F}=m\cdot\vec{a}$, met $m$ is de massa van de maan, is deze benodigde middelpuntzoekende kracht recht evenredig met de massa $m$ van de maan.
In dit geval wordt de benodigde kracht geleverd door de gravitatiekracht $F=G\cdot M\cdot m/r^2$ van de planeet op de maan, met $M$ is de massa van de planeet en $m$ is de massa van de maan. De gravitatiekracht is volgens de gravitatiewet van Newton recht evenredig met de massa $m$ van de maan.
Samen: de benodigde kracht en de gravitatiekracht zijn elk recht evenredig met de massa $m$ van de maan.
Gevolg: als je de maan vervangt door een 3 maal zwaardere maan op dezelfde afstand r vanaf de planeet, worden de benodigde kracht en de gravitatiekracht elk 3 maal zo groot, zodat opnieuw is voldaan aan de voorwaarde volgens welke de eerste maan in de cirkelbaan met straal r bewoog. (Die voorwaarde is: Fmpz=Fg.) De tweede maan kan zodoende een eenparige cirkelbeweging in dezelfde baan uitvoeren.
Groet, Jaap
Een maan die een eenparige cirkelbeweging om een planeet uitvoert, legt langs de cirkelomtrek steeds evenveel meter per seconde af. De grootte van de baansnelheid van de maan is constant. Maar de richting van de baansnelheid verandert voortdurend: anders zou de maan zich langs een rechte lijn van de planeet verwijderen.
Om de richting van de baansnelheid te laten veranderen, is een middelpuntzoekende kracht Fmpz op de maan nodig. Volgens de tweede wet van Newton $\vec{F}=m\cdot\vec{a}$, met $m$ is de massa van de maan, is deze benodigde middelpuntzoekende kracht recht evenredig met de massa $m$ van de maan.
In dit geval wordt de benodigde kracht geleverd door de gravitatiekracht $F=G\cdot M\cdot m/r^2$ van de planeet op de maan, met $M$ is de massa van de planeet en $m$ is de massa van de maan. De gravitatiekracht is volgens de gravitatiewet van Newton recht evenredig met de massa $m$ van de maan.
Samen: de benodigde kracht en de gravitatiekracht zijn elk recht evenredig met de massa $m$ van de maan.
Gevolg: als je de maan vervangt door een 3 maal zwaardere maan op dezelfde afstand r vanaf de planeet, worden de benodigde kracht en de gravitatiekracht elk 3 maal zo groot, zodat opnieuw is voldaan aan de voorwaarde volgens welke de eerste maan in de cirkelbaan met straal r bewoog. (Die voorwaarde is: Fmpz=Fg.) De tweede maan kan zodoende een eenparige cirkelbeweging in dezelfde baan uitvoeren.
Groet, Jaap
Jaap
op
20 september 2023 om 20:11
Dag Sarah,
De pen en het boek vallen even snel als de invloed van de luchtweerstandskracht te verwaarlozen is:
• als beide vallen in (bijna) vacuüm, bij voorbeeld op de maan
• als ze door een geringe valhoogte geen grote snelheid bereiken
Groet, Jaap
De pen en het boek vallen even snel als de invloed van de luchtweerstandskracht te verwaarlozen is:
• als beide vallen in (bijna) vacuüm, bij voorbeeld op de maan
• als ze door een geringe valhoogte geen grote snelheid bereiken
Groet, Jaap
Jan van de Velde
op
20 september 2023 om 23:47
Sarah
Ze vallen allebei inderdaad even snel. De zwaartekracht op het boek, Fz= mg, is weliswaar 20 keer zo groot omdat de massa 20 keer zo groot is, maar de massa is 20 keer zo groot en dus 20 keer zo moeilijk op gang te sleuren (F=ma).
Slot van het liedje: even grote versnelling.
Precies datzelfde principe speelt voor grotere of kleinere massa's in een baan om een planeet. Bij een dubbel zo zware satelliet is er een dubbel zo grote zwaartekracht, maar er is ook een dubbel zo grote middelpuntzoekende kracht nodig om hem in zijn baan te houden. Dus gaan grotere en kleinere satellieten in een zelfde baan gewoon met eenzelfde snelheid.
groet, Jan
