Dat is zeker uit te rekenen, maar de paraboolvorm maakt dat wiskundig iets ingewikkelder. En ook de lengte van het koord is belangrijk: die bepaalt de massa (die kan niet 6 kg blijven ongeacht de lengte).
Versimpeld tot een strakke lijn met een knik is het een kwestie van de hoek berekenen tussen de spanningsvector omhoog en naar opzij. Dan is met wat goniometrie uit te rekenen hoe groot (3,9-x) is en dus ook x.

Dag Nicolaas,
Graag meer informatie om een berekening mogelijk te maken.
De kabel moet langer zijn dan 80 m. Wat is de lengte van deze kabel van 6 kg?
Moet de gehele lengte van de kabel tussen de uiteinden hangen?
Of mag slechts een deel van de hele lengte tussen de uiteinden hangen, terwijl de rest van de kabel niet meedoet?
Groet, Jaap

Dag Jaap, ik begin met een stuk kabel dat lang genoeg is om aan beide uiteinden op 3,9 meter hoogte te bevestigen terwijl het nog over een flink stuk op de grond ligt. Dan begin ik met opspannen. Op een gegeven moment komt de kabel dan in het midden van de grond. de vraag is hoe ver de kabel van de grond moet zijn om een spanning van 500 N in de kabel te hebben.

Dag Nicolaas,
Voor de berekening zou ik graag weten wat de massa (in kg) van een meter kabel is.
Of anders: wat is de totale lengte van deze kabel van 6 kg?
De spankracht (wat u noemt de 'spanning') in de kabel zal niet in elk punt van de boog even groot zijn. Zullen we aannemen dat de kabel met 500 N aan elk ophangpunt trekt?
Groet, Jaap

hoi Jaap de massa van een meter kabel is 60 gram. Kabel trekt met 500N aan elk ophangpunt oke, het gaat mij erom dat de kabel niet breekt bij teveel opspannen.Groet, nicolaas

En het gewicht van de kabel is ongeveer 6 kilo, dat is een schatting. Het gaat mij erom dat ik ongeveer weet hoe hoog de kabel in het midden moet hangen. Een benadering is ook goed. Groet, Nicolaas

Zonder naar statische krachten te kijken langs elk punt van het koord, is een "gewone" wiskundige benadering ook mogelijk - met als mystieke aanname dat het koord 6 kg massa heeft, ongeacht hoe lang of kort het is....

Door de zwaartekracht buigt het koord door (bijna) als parabool. 
Bekijken we de helft van een parabool (gezien vanuit het laagste punt) dan geldt hiervoor
y = a x²  met y de hoogte t.o.v. het minimum (laagste punt). De afgeleide in elk punt (raaklijn r.c.) is y' = 2ax
In het aanhechtpunt is de kracht omhoog het halve gewicht (30 N) van het koord (andere punt heeft de andere helft). Gegeven is dat de totale kracht 500 N is, dus de hoek α kan gevonden worden uit sin α = 30/500 , dus α = 3,44º  Dat is tevens de hoek van de raaklijn aan het koord in dat punt, dus tan α = dy/dx = 2 ax = 2 a (40) waaruit volgt a = 7,5 . 10^-4 .
Dan is de hoogte in het aanhechtpunt y(40) = 7,5 . 10^-4 (40)² = 1,20 m
Als het aanhechtpunt op 3,9 m zit, dan hangt het laagste punt dus 3,9 - 1,2 = 2,7 m hoog.

Hoe dieper de kabel doorbuigt (minder dan 2,7 m hoog), des te minder is de spanning aan de muur.

Ik kan dit met mijn middelbareschoolwiskunde uit examenjaar 1971 nog net volgen! Bedankt voor deze oplossing, 2,7 meter it will be!

Dag Nicolaas,
In zij-aanzicht zien we de hangende kabel als een boog.
Als de spankracht van de kabel in elk ophangpunt 500 N is, is de verticale afstand tussen de grond en het laagste punt (midden) van de boog 2,957 meter.
Gemeten langs de boog is de kabel bijna 80,030 meter lang.

Hierbij is het volgende aangenomen.
De horizontale afstand tussen de ophangpunten is 80 meter.
De ophangpunten zijn elk 3,90 meter boven de horizontale grond.
De massa de kabel is overal 60 gram per meter.
De kabel rekt niet uit door een kracht in de lengterichting van de kabel.
De kabel is volkomen flexibel: er is geen kracht nodig om hem te buigen.
De dikte van de kabel is verwaarloosbaar ten opzichte van de doorhang van 0,943 m.
Er zitten geen vogels op de kabel, het is windstil enzovoort.

Theo's reactie van 19.09 uur geeft met de 'geknikte' kabel het volgende resultaat:
• de totale lengte van de twee kabeldelen is 80,089 m en de massa is 4,805 kg
• de hoek tussen een kabeldeel en de horizontaal is 2,702º
• de doorhang van de kabel in het midden is 1,890 m
• de afstand van het laagste punt tot de grond is 2,010 m
Dit is onjuist, omdat is aangenomen dat de hele massa zich in het laagste punt bevindt en omdat de kabel in een boog hangt.

Het verschil tussen mijn 2,957 m en Theo's 2,7 m van 21.41 uur is verklaarbaar.
Theo brengt niet de 'statische krachten […] langs elk punt van het koord' in rekening. Langs de kabel is de horizontale component van de spankracht overal even groot, maar de verticale component niet.
Theo doet de 'mystieke aanname' dat de kabel 6 kg weegt. Gemeten langs de parabool is zijn koord echter 80,048 m lang en 4,802 kg zwaar.
Theo stelt: 'Door de zwaartekracht buigt het koord door als parabool.' Dit is een tamelijk goede benadering, maar eigenlijk is de vorm een zogenoemde kettinglijn
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kettinglijn_(wiskunde)
Groet, Jaap

Bedankt allen, ik kom hierop terug! Groet, Nicolaas.

Dag Nicolaas,
Zoals gezegd, heeft de kabelboog de vorm van een wiskundige 'kettinglijn'.
We kunnen de h=2,957 m van de grond tot het midden van de kabel berekenen met een artikel van James Calvert. Hij geeft, zij het met andere symbolen, de volgende formules.




F_span=500 N is de spankracht van de kabel bij een ophangpunt.
F_x en F_y zijn de horizontale en verticale component van de spankracht aldaar.
μ=0,060 kg/m is de massa van de kabel per lengte.
g=9,81 m/s² is de valversnelling.
L is de lengte van de kabel, gemeten langs de boog.
sinh en cosh zijn wiskundige functies: sinus en cosinus hyperbolicus.
b=80 m is de breedte van de overspanning tussen de ophangpunten.
y is de verticale afstand van het kabelmidden tot de lijn door de ophangpunten.
h=3,90–y is de gevraagde afstand van de grond tot het midden van de kabel.

De formules (1) tot en met (4) vormen een stelsel van vier niet-lineaire vergelijkingen met de vier onbekenden y, L, F_x en F_y. We kunnen het stelsel reduceren tot een vergelijking met alleen y als onbekende.
De juiste waarde y=0,943 m kunnen we vinden door herhaald 'probeer en verbeter' tussen een te laag en een te hoog gekozen waarde y_a en y_b.
Dit is gedaan in het bestand in de bijlage. Zet de gegevens in de vijf blauwe cellen, dan doet Excel de rest. Verander de overige cellen niet.
Groet, Jaap

https://web.archive.org/web/20060904090254fw_/http://www.du.edu/~jcalvert/math/catenary.htm

Welnu, nu kan ik denk ik een kabel met de door jullie getoonde berekeningen met iedere gewenste spankracht ophangen door gewoon in het midden de berekende hoogte te meten. Fantastisch, omdat het zo praktisch is. De praktijk wil echter dat vervolgens de kabel vrij beweegbaar wordt opgehangen aan 12 dwarskabels. Intuitief denk ik dan dat de spankracht in de kabel dan 500/12 is. En de spankracht moet zijn 500. Hoeveel centimeter moet ik de draad korter maken om weer op spankracht 500N te komen?

Dag Nicolaas,
Goed, de eis blijft dat de spankracht in de kabel die de 80 m overspant, nergens groter is dan 500 N.
De vorm van deze kabel is mede afhankelijk van de constructie met de 12 dwarskabels.
Welke vorm van deze kabel staat je voor ogen? Elf gelijke, kleine bogen tussen naburige dwarskabels?
Kun je een schematische tekening van de situatie met de dwarskabels plaatsen, in zij-aanzicht?
Met zo'n tekening begrijp ik misschien beter wat je bedoelt met 'Intuitief denk ik dan dat de spankracht in de kabel dan 500/12 is.'
Groet, Jaap

hoi Jaap, het betreft hier een kersen aanplant van 8 rijen van 80 meter.De onderlinge afstand van deze rijen is 4 meter. Op elke rij staan 14 betonnen palen, namelijk 2 eindpalen en 12 tussenpalen. Over de 12 tussenpalen is overdwars, dus dwars over de 8 rijen een kabel strak gespannen. De doorbuiging van deze kabel, die 4 meter tussen 2 tussenpalen overspant is te verwaarlozen. De lengtekabel waar we het steeds over hebben wordt tussen twee rijen opgehangen met spankracht 500N en vervolgens vrij beweegbaar opgehangen aan de 12 genoemde 4 meter overspannende dwarskabels. Hoop dat het zo duidelijk is?

Dag Nicolaas,
Het is me nog niet geheel duidelijk.
Zijn er 7 lengtekabels tussen de 8 rijen?
Zijn er 12 horizontale dwarskabels, en geen dwarskabels bij de twee eindpalen?
De lengtekabel overspant dan geen 80 m maar minder, omdat er geen lengtekabel is bij de twee eindstukken?
Hangt de lengtekabel in 11 bogen tussen de 12 dwarskabels?
Zit zo'n lengtekabel direct aan de dwarskabels vast of zit daar nog iets tussen?
Als de lengtekabel direct aan de 12 dwarskabels vast zit en de doorbuiging van de dwarskabels verwaarloosbaar is, dan is het begin en eind van elk van de 11 bogen op dezelfde hoogte als de top van een tussenpaal?
Zo niet, graag een tekening.
Als er uiteindelijk iets aan de lengtekabel hangt, wordt alles anders.
Groet, Jaap

Is dit wat je probeert te beschrijven? Een tekening helpt.
Van opzij:

Hoi Jaap er zijn inderdaad 7 lengtekabels tussen 8 rijen.Bij de twee eindpalen zijn ook dwarskabels, daar zit de kabel waar we het steeds over hebben aan vast.In totaal zijn er dan 13 bogen tussen 14 dwarskabels. de dwarskabels zitten op dezelfde hoogte als de paal koppen namelijk 4 meter, maar de ophanging is aan een aan de dwarskabel stijf opgehangen driehoek, daardoor ophanghoogte 3,80m.groet, Nicolaas

Hoi Theo, dit is inderdaad de situatie. Groet,Nicolaas

Dag Nicolaas,
Dit lijkt een theoretische rekenoefening te worden, waarvan de praktijk misschien flink zal afwijken.

In de fraaie tekening van Theo zijn de verticale blauwe stukken tussen een dwarskabel en de groene lengtekabel niet even lang, zodat de 13 bogen van de lengtekabel niet allemaal beginnen en eindigen op dezelfde hoogte boven de grond.
Maar je schrijft: 'de ophanging is aan een aan de dwarskabel stijf opgehangen driehoek, daardoor ophanghoogte 3,80m', zodat de 13 bogen van de lengtekabel wel allemaal beginnen en eindigen op dezelfde hoogte 3,80 m boven de grond.
Dat snap ik niet.

Stel nu dat een lengtekabel in totaal 80 m overspant: 13 bogen die elk 80/13=6,154 m overspannen. En dat het begin en het eind van elke boog op dezelfde hoogte 3,80 m boven de grond is. En dat de lengtekabel in elk ophangpunt een spankracht van 500 N heeft.
Dan is de doorhang of doorbuiging van de lengtekabel in het midden van zo'n boog van 6,154 m minder dan een centimeter en is de totale lengte van de lengtekabel vrijwel gelijk aan 80 m. Dit blijkt uit de bijlage van 08 augustus 2023 om 20.32 uur met 'horizontale afstand tussen de ophangpunten'=b=80/13.

Je vraagt: 'Hoeveel centimeter moet ik de draad korter maken om weer op spankracht 500N te komen?'
Met de nu beschikbare gegevens is de berekende inkorting zeer gering. In de praktijk zullen factoren een rol spelen die niet zijn meegerekend, zoals rek in de kabels of beweging van de lengtekabel in de wind.
Groet, Jaap

Hoi Jaap,
wat ik denk ik ga doen is het volgende. Eerst hang ik de kabel op, tot een hoogte in het midden van 2,95 meter. Spankracht 500N. Bij deze spankracht maakt de dwarskabel tussen de twee betreffende eindpalen een bepaalde hoek. Nadat de middenkabel aan de 12 tussenkabels is opgehangen wordt deze hoek groter. Vervolgens span ik de middenkabel verder op totdat de genoemde hoek weer de oorspronkelijke grootte heeft. Groet, Nicolaas