Dit zijn alle formules die ik er nu in heb

dag Joep, 

Vraag is: heb je die v nodig? Met een versnelling en een straal kom je aan een hoekversnelling.

pas op...:


...de eenheid van hoekversnelling is niet m/s², maar rad/s² .

voorlopig lijkt me dit 

 weinig meer dan een stukje theorie, een definitie van hoeksnelheid. Ik zie nergens de verplichting het gegeven verband in berekeningen  te gebruiken als jij zonder kunt. 
De snelheid na een tijdstap berekenen is overigens vrij simpel: v=at. 

kun je weer verder zo?

Groet, Jan

De opdracht doorlezend wordt gevraagd de beweging steeds in kleine tijdsintervallen te berekenen, uitgaande van de zwaartekracht op de opgetrokken bal: zwaartekracht kan ontleed worden in beweging langs de cirkelbaan (transversaal) en er loodrecht op (radiaal).  
Welke snelheid heeft de kogel in die tijd? (=a Δt). Met gegeven straal welke hoeksnelheid ω (=v/r) komt daarmee overeen?  Welke afstand wordt langs de cirkelbaan afgelegd ( s = v Δt) ? Onder welke hoek staat het touw dan?
Dat doe je voor elk tijdsinterval (vanaf de nieuwe positie en nieuwe hoek, dus weer andere componenten radiaal/transversaal op de cirkelbaan) en bekijk je hoe in het doorrekenen van het model dat uitpakt.

Dag Joep,
Zoals Jan vragenderwijs aanroert: de instructie eist niet dat het model de baansnelheid v berekent en je hebt geen formule voor v nodig.

Vraag c
• De tophoek tussen de verticaal en het vlak van de v-vormige, bifilaire ophanging van de kogel noem ik phi_rad (in radialen).
• De versnelling van de kogel langs de cirkelboog is de tangentiale component a_tang van de valversnelling g. Tangentiaal komt van tangere, dat weet je van Latijn. Dat wil zeggen: langs een raaklijn aan de cirkelboog. Het verband tussen a_tang en g en phi_rad komt je voor de geest als je in een zij-aanzicht de valversnelling g van de kogel ontbindt langs de raaklijn aan de cirkelboog en loodrecht erop.
• De component van g langs het ophangvlak is minder interessant voor de opdracht.
• De hoeksnelheid is alfa=a_tang/L, analoog aan omega=v/L
L is de straal van de cirkelboog waarlangs de kogel beweegt. Die noem ik niet 'straal', om verwarring bij vraag e te vermijden.
• De beweging van de kogel wordt gestuurd door de hoekversnelling. Werken met de zwaartekracht op de kogel is niet nodig, omdat de luchtweerstand in het model wordt verwaarloosd. Je hebt de massa van de kogel en de resulterende kracht F_res niet nodig in het model.

Over het grafische model
• Zorg dat Coach rekent in radialen: Gereedschappen → Activiteit → Geavanceerd → Activiteit-opties → kies Radialen. Formules zoals alfa=a_tang/L geven onjuiste resultaten als het model rekent in graden. Je kunt eventueel een extra hulpvariabele phi_graad toevoegen: phi_rad omgerekend naar graden.
• Voor een nauwkeurige werking: stopwatch-ikoon → Integratiemethode → kies RK4 (Runge-Kutta vierde orde). Met 'Euler' kan je model op raadselachtige wijze ontsporen.
• Zorg dat het model lang genoeg kan lopen: stopwatch-ikoon → Stoppen: t=3
• Kies de tijdstap dt klein genoeg: stopwatch-ikoon → Stapgrootte=0,00002
Groet, Jaap

Dag Joep,
Bij vraag c kun je Coach een diagram van phi_graad als functie van de tijd laten maken, om te zien of het model juist zou kunnen zijn.
Je kunt nagaan of je model goed werkt aan de hand van het onderstaande voorbeeld.



De instructie vraagt bij c nog niet om een diagram.
Groet, Jaap

Dag Joep,
Hieronder enkele kanttekeningen bij de instructie. Je hoeft er niets mee te doen.

a. De alinea boven vraag e begint met 'Nu ga je aan het model een tweede identieke slinger toevoegen die 1,5 cm (twee maal de straal van de ballen) naar rechts is opgeschoven ten opzichte van de eerste slinger.'
Dat snap ik niet. Elke bol heeft een straal van 1,5 cm. Is een opschuiving van 1,5 cm van de ophangpunten van bol 1 naar die van bol 2 twee maal de straal?
Moet de opschuiving misschien zijn 3,0 cm?

b. Boven vraag g staat: 'Met Newton's cradle kan je aantonen dat de wet van behoud van impuls en de wet van behoud van energie geldt.'
Het model toont niet aan dat deze wetten in deze situatie gelden. Want de formule F=k·u^2/3 voor de kracht tijdens de botsing (afgezien van de richting) is afgeleid met de aanname dat de tweede en derde wet van Newton gelden. Deze wetten impliceren dat de totale mechanische energie E_k+E_p, respectievelijk dat de totale impuls tijdens de botsing op elk moment tijdens de botsing even groot is. Je krijgt uit het model wat je erin stopt. Dat is niet 'aantonen' dat de behoudswetten gelden.

c. Boven vraag h staat een uitdrukking voor de contacttijd $\tau$ van de twee bollen tijdens een botsing:

Je juf of mees kan deze formule afleiden uit de theorie van elasticiteit.
Vermoedelijk is de factor 6,46 onjuist. Mijns inziens moet dit zijn 5,627. Ik ben benieuwd welke contacttijd Coach voor mij zal berekenen…
Groet, Jaap

Hallo Jaap, ik heb het met mijn model even uitgerekend en met die factor van 5,627 zit ik inderdaad dichterbij de contacttijd die coach voor mij uitrekende, maar hoezo denkt u dat die 6,46 fout is? Hoe bent u daarachter gekomen?

Ik loop trouwens bij de laatste vragen over Impuls en de totale energie nog wel tegen wat probleempjes aan. De kinetische energie van de ene bal na de botsing is namelijk ietsjes groter dan de kinetische energie van de andere bal vlak voor de botsing, waardoor de totale energie na de botsing ook iets groter is. Hetzelfde doet zich voor bij de impuls? Maar ik snap niet goed hoe dit kan? Ligt dit aan het feit dat de tijdsstap nog steeds niet klein genoeg is, ook al is deze al 0,000001 seconde? Ik heb de foto's van de grafieken van mijn model hierbij gevoegd.

Dag Joep,
Je vraagt naar de factor 6,46. Bij de vergelijkingen

rijst de vraag waar dit op berust. Is het verband afgeleid uit experimenten, of uit een modelsimulatie? Is het een gok of bedacht door ChatGPT?

Nee, de achterliggende natuurkunde is voor het eerst theoretisch beschreven door Heinrich Hertz. Zijn artikel 'Ueber die Berührung fester elastischer Körper.' (1881) eindigt met een gedachte-experiment. Stel dat twee stalen bollen die geheel bestaan uit staal en even groot zijn als de aarde, in de lege ruimte tegen elkaar botsen met 10 mm/s. Stel dat hun beweging alleen wordt geregeerd door de elastische 'veerkracht' en niet door de gravitatiekracht. Hoe groot is dan het cirkelvormig raakvlak van de twee bollen als ze maximaal zijn ingedrukt? Na hoeveel tijd komen ze weer los van elkaar? Nou, raad eens?
(Je kent Hertz van de trildingen: frequenties enzo. Hij was het die met proeven ontdekte dat elektromagnetische golven zich door de ruimte kunnen voortplanten. Die was een bevestiging van de theorie van Maxwell, die voor Einstein leidend was bij de ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie. Een citaat van Hertz onder de kop 'Hertz-golven' mag je niet missen:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz
Hertz gebruikt in zijn artikel 'verouderde' eenheden en het is niet foutloos.

Toegankelijker is het einde van Landau & Lifshiftz, 'Theory of Elasticity', paragraaf 9, 'Solid bodies in contact', om en nabij vergelijking (9.14). Landau geeft exacte, theoretisch afgeleide uitdrukkingen die voor botsende stalen bollen leiden tot de factor 5,627.
Bij de afleiding van de 6,46 is wellicht iets mis gegaan met een factor $\sqrt{2}$ die 2 moet zijn. De andere factor 1,036×10¹¹ past precies bij 'Landau'.
Landau was geniaal, van het niveau van Einstein.
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Landau_Lev/

Als je hier nog eens wilt uitwisselen over een model, kun je je Coach-bestand als bijlage plaatsen: slinger.cma7 of botsing.cmr7
Groet, Jaap

Dag Joep,
Enkele suggesties naar aanleiding van je bericht van 06 juli 2023 om 22.59 uur…

• Bij vraag e tot en met i kun je het model laten beginnen op het moment dat de bollen elkaar net raken, zeg t=0. Dat is eenvoudiger dan met de voorafgaande slingerbeweging; die kun je later eventueel toevoegen als de botsing goed verloopt.
Gevolg: je laat de zwaarte-energie buiten het model. Terwijl de botsing plaatsvindt, zijn beide bollen immers vrijwel op het laagste punt en verandert de zwaarte-energie niet.

• De totale energie bestaat dan uit de kinetische energie en de potentiële veerenergie.
• De kinetische energie van beide bollen samen is E_k=½·(m/2)·v²
Hierin is de 'gereduceerde massa' gebruikt, de helft van de massa van een bol.
Reden: in het model is de snelheid v de relatieve snelheid van de ene bol ten opzichte van de andere, en niet de snelheid van een bol ten opzichte van de grond.
• Reken zonder computer na dat de ene bol de andere raakt met een beginsnelheid v₀=0,725063 m/s.
• Voor de potentiële veerenergie van beide bollen samen kun je zelf afleiden:

en u is weer de indrukking van beide bollen samen.

• De botsing eindigt volgens de gewijzigde formule bij $\tau=0,00009788539\text{~s}$.
Vanaf het begin van de botsing wil je voldoende iteraties hebben, zodat de tijdstap liefst 10^–8 s of kleiner zal zijn.

• Je kunt je resultaat vergelijken met de onderstaande afbeelding van mijn model, dat nog niet is gecontroleerd.
De contacttijd volgens het model stemt nauwkeurig overeen met de waarde volgens de formule. De totale energie is volgens het model nagenoeg constant.
Groet, Jaap

Goedemorgen Jaap, ik begrijp niet helemaal hoe ik voor elkaar moet krijgen wat u zegt, maar ik zag wel dat u ergens een tijdstap van 10^-8 noemde, maar in mijn model zit er eentje van 10^-6, omdat Coach anders crasht bij mij. Misschien ligt de onnauwkeurigheid van mijn model dus daaraan. Ik heb mijn model in de bijlage nog bijgevoegd, dus als u misschien tijd heeft kunt u misschien daarin kijken of er toch nog iets niet helemaal klopt.

Ik zie nu dat de bijlage volgens mij niet mee is gekomen. Het model is waarschijnlijk te groot of iets.

Of zou u anders uw model van alleen de botsing door kunnen sturen? Dan kan ik kijken hoe u het heeft gedaan?

Dag Joep,
• Suggestie: laat het botsmodel pas beginnen op het moment dat de bollen tegen elkaar komen. Dat noem je t=0. Het model hoeft dan slechts ongeveer 100 μs te bestrijken, zodat de tijdstap korter kan zijn dan wanneer de voorafgaande slingerbeweging in het model zit.
• Het botsmodel kan werken zonder zwaartekracht, zonder tangentiale versnelling, zonder hoek en hoeksnelheid en hoekversnelling. Er is slechts een enkele kracht: de veerkracht volgens de formule uit de instructie. Het model doet alleen de horizontale beweging met F, a, v, u en t. Daaruit berekent Coach E_k, E_p en E_tot. De impuls doe je later.
• De snelheid die de ene kogel na een kwart slingerperiode heeft gekregen, zet je als startwaarde van v in het model.
• Coach 'crasht'? Watskebeurt?
• Voordat je hier een model als bijlage plaatst, verwijder je de oude datarijen:
Datatabel → klik uiterst links op het nummer van een datarij → Verwijderen.
Sla het model daarna op. Zo wordt de grootte van het Coach-bestand veel kleiner.
Groet, Jaap

In de bijlage zit nu het model zoals ik het nu heb, maar het klopt nog steeds niet helemaal. Ik heb weer de gehele beweging vanaf het loslaatpunt van 30 graden laten uitvoeren, maar het komt weer net niet helemaal uit. Ik weet niet of u ziet wat er mis gaat? Ik denk nog steeds de tijdstap.

dag Joep,

Of het die tijdstap is is eenvoudig te testen ljkt me: stel een kleinere tijdstp in en beoordeel of het model zich netter gedraagt.

De te verwachten afwijking wordt veroorzaakt doordat het model binnen een tijdstap rekent met onveranderlijke condities: gedurende een tijdstap geldt een constante kracht ipv een toe- of afnemende kracht, een constante snelheid ipv een toe- of afnemende snelheid. Vaak worden hiervoor de beginwaarden van de stap gebruikt. Met gemiddelde waarden rekenen levert dan weer nèt iets betere resultaten. Met kleinere tijdstappen vermindert ook dat negatieve effect op de kwaliteit.

Groet, Jan

Dag Joep,
Zoals je schrijft, is je model van 17.32 uur nog niet helemaal goed.
Het model maakt grafieken van E_k en E_z van elke bol apart, een grafiek van E_k+E_z van beide bollen samen en een grafiek van de totale impuls van beide bollen samen.
Deze grafieken stroken niet met hetgeen we natuurkundig mogen verwachten.
Dat is te zien in je figuren van 06 juli 2023 om 22.59 uur.
Je vermoeden dat de afwijkingen worden veroorzaakt door de grootte van de tijdstap, onderschrijf ik niet.

De eerste oorzaak van de afwijkingen is de mijns inziens onlogische volgorde waarin de berekeningen binnen een iteratie in een grafisch model van Coach worden uitgevoerd. Hierdoor ontstaan bij elke iteratie verschillen met wat je logischerwijs mag verwachten. De verschillen stapelen zich op bij de honderdduizenden iteraties van je model. Een kleinere tijdstap biedt weinig soelaas.
Je kunt dit probleem tegengaan door het model met Runge-Kutta vierde orde (RK4, stopwatch-ikoon) te laten werken. Dit heb ik al in mijn eerste reactie geadviseerd…

De tweede oorzaak schuilt in de eigenschappen die je aan x en x_1 hebt gegeven. Deze hulpvariabelen stellen de horizontale posities van het middelpunt van de bollen voor.
Als beide hoeken nul zijn en de bollen elkaar raken, moet elk vlak van de v-vormige ophanging verticaal zijn, zodat x=–0,015 en x_1=+0,015 meter moet zijn om ruimte te laten voor de straal van de bollen.
Maar de formule 'sin(Hoek)*[straal_cirkel r]' die je hebt ingevoerd bij x, geeft x=0 bij Hoek=0. Dit is onjuist. Net zo bij x_1.
Remedie: wijzig de formule in de eigenschappen van x en x_1.

Met deze wijzigingen levert je model van 17.32 uur de onderstaande diagrammen.
Wat vind je ervan?




In het onderste diagram vertoont de energie-grafiek een 'piek omlaag' tijdens de botsing. Dit komt doordat niet je de totale energie, maar alleen E_k+E_z hebt uitgezet. Welke energiesoort moet daar ook nog bij, wanneer we een volkomen elastische botsing veronderstellen?
De diepte en breedte van de piek stemmen overeen met wat ik eerder heb besproken.

In het onderste diagram verloopt de grafiek van de impuls allesbehalve horizontaal.
In de instructie staat bij vraag g: 'De wet van behoud van impuls geldt alleen tijdens de botsing, als één van beide slingers opzij beweegt dan verandert de impuls.'
Nee, de wet van behoud van impuls geldt ook voor en na de botsing, terwijl een bol opzij beweegt. Wat de bol dan wint aan impuls, verliest de aarde aan impuls. En omgekeerd. Tijdens de botsing verandert de impuls van elke bol alleen horizontaal en evenveel en in tegengestelde richting, zodat de impuls van de aarde niet verandert en de impuls van de twee bollen samen ook niet.
Je kunt nagaan of de impulsgrafiek van de twee bollen samen tijdens de botsing wel horizontaal loopt.
Hulpvariabele Totale impuls → Eigenschappen → Definitie → Conditie gebruiken → zorg dat de waarde alleen wordt berekend gedurende de botsing.
Groet, Jaap

Goedenavond Jaap, ik heb de definities van x_1 en x aangepast, maar nu klopt er bij mij helemaal niks meer van. Ik heb nu namelijk in de definities van de ene -0,015 erbij gezet en bij de andere 0,015, maar dan geven mijn grafieken hele rare resultaten. Heb ik te simpel nagedacht voor mijn definities van x en x_1? Welke definities heeft u gebruikt, want uw grafieken kloppen blijkbaar wel perfect.

In de bijlage onder dit bericht heb ik de foto's bijgevoegd van de defintiies zoals ik ze nu heb en naar mijn weten zouden deze gewoon moeten kloppen. Maar dat is dus blijkbaar niet zo.

Dag Joep,
• Waarom dit nu? Je moest afgelopen vrijdag toch alles inleveren?
• Je formule voor x → ¿hoezo x=–0,015–sin(Hoek)*(straal_cirkel r] ?
Die – heb je niet bij x_1 en in een eerder model ook niet bij x
• Je schrijft: 'uw grafieken kloppen blijkbaar wel perfect.'
Nee, mijn grafieken tonen geen behoud van energie en behoud van impuls, zoals reeds uitgelegd. Daar ligt nog een mooie taak voor jou :–)
Groet, Jaap

Ja we hadden uitstel gekregen tot vanavond 23:59. U had gelijk met dat min-teken dat moest inderdaad een plus teken zijn, maar nu heb ik eventjes wat andere grafieken gemaakt en het klopt nog steeds niet helemaal. In de bijlage heb ik twee grafieken van de x en de hoeksnelheid zitten. De groene grafiek van de hoeksnelheid zou toch eigenlijk niet daar onder nul moeten kruipen en die oranje grafiek van de x zou toch eigenlijk op die 0,015 moeten blijven en er niet onder moeten kruipen als gevolg van die negatieve hoeksnelheid?

Oh nee ik zie het al. Het had inderdaad te maken met het feit dat ik niet RK4 als oplosser aan had gezet. Nu klopt het wel. Bedankt 

Dag Joep,
Suggestie: verwijder de datarijen uit de datatabel, sla het model op en plaats het hier als bijlage.
Groet, Jaap

Dag Joep,
Berichten hebben elkaar gekruist…
Groet, Jaap

Ja dankij de RK4 is het vorige probleem nu verholpen, maar nu zit ik nog steeds met het energiebehoud. Ik heb nu de veerenergie toegevoegd die ik eerst was vergeten, maar nu krijg ik in de grafiek van de totale energie een enorme piek naar boven op het moment van de botsing door deze veerenergie. In de bijlage zit mijn model, waar u misschien nog een fout in kunt vinden.

Ik zou namelijk zelf niet kunnen verzinnen hoe ik deze piek weg zou kunnen werken. De veerenergie is er namelijk dan wel gewoon en volgens mij klopt het ook dat deze zo groot is. Maar dat zou dus betekenen dat er niet gedurende de hele beweging behoud van energie is door die botsing?? HUH?

Dag Joep,
• Dit is tamelijk moeizaam: opnieuw blijkt dat je niet goed hebt opgepikt wat ik eerder heb geschreven. Dat klinkt misschien chagrijnig, maar zo is het ook bedoeld.
Eerst zag je mijn opmerking over RK4 over het hoofd.
• Nu heb je voor de veerenergie een formule ingevoerd alsof het een harmonische trilling is, quod non. Wat is ook alweer de uitdrukking voor de veerenergie bij de huidige relatie F_veer=constante·u^3/2 zoals afgeleid door Hertz? Dit staat niet in de instructie van je docent.
• Met de juiste formule voor de veerenergie is de totale energie van het systeem vanaf t=0 nagenoeg constant: een saaie horizontale grafiek. Hieronder het gedeelte waarin de botsing plaatsvindt. Het verschil tussen het maximum en het minimum van de totale energie van het systeem is 0,004%. Daar kun je wel mee voor de dag komen.
De simulatie van de botsing wordt onaanvaardbaar slecht als je de stapgrootte (tijdstap) zou vergroten tot dt=1e-5 teneinde het aantal iteraties te beperken. De botsing omvat dan te weinig iteraties en ontspoort. Blijf bij dt=1e-6.



• In een tekstmodel van Coach kun je de stapgrootte (tijdstap) 'onderweg' variëren op een uitgekookte manier. Je kunt de kwart slingerbeweging bij voorbeeld uitvoeren met dt=0,0001 en de botsing met dt=1e-9. Voordeel: het model omvat veel minder iteraties en je kunt de 'gevoelige' delen van het proces doelbewust met grotere nauwkeurigheid simuleren.
Helaas moet je een grafisch model maken.
Groet, Jaap

Huh maar welke formule moet ik dan invullen voor de veerenergie? Hoe moet ik dat afleiden?

Dag Joep,
• De juiste formule voor de veerenergie staat in een eerdere reactie.
Je kunt de formule afleiden met de definitie van de potentiële (veer)energie:
E_veer(u) = –arbeid die door de veerkracht wordt verricht=–∫F_veer•du
• Het is mogelijk dat je docent niet verlangt dat je het behoud van energie tijdens de botsing aantoont. In dat geval heb je de veerenergie niet nodig en laat je de piek in de energiegrafiek voor wat hij is.
Groet, Jaap

Aha, maar hoe kan ik die integraal in de formule editor van Coach invullen?

Oh laat maar ik zie het eerdere bericht over de potentiele veerenergie al staan. heel erg bedankt voor alle hulp in ieder geval.

Van jouw vraag heb ik een hoop geleerd:
• over het door Hertz afgeleide verband tussen veerkracht en indrukking
• over de wis- en natuurkunde achter de constante 1,036×10¹¹, de onjuiste 6,46 en de berekening van de tijdsduur van de botsing
• over de manier waarop afwijkingen ontstaan in een grafisch model van Coach
Groet, Jaap