In b bepalen ze eerst dat de energie die ontvangen wordt (zonneconstante) over de hele planeet gemiddeld 1/4 is van de grootte van de zonneconstante. Dat dit minder is dan de zonneconstante komt omdat de zonnestraling in een bundel op de planeet schijnt - maximaal op het halve oppervlak (de dagzijde) en daar "aan de rand" veel minder dan in het midden van de planeet dagzijde. 

Berekeningen aan een zwart lichaam doen we onder de aanname dat het hele lichaam overal evenveel energie wegstraalt (gelijke intensiteit of vermogen). Dat is bij een planeet natuurlijk niet zo - de dagzijde is warmer dan de nachtzijde. 
Maar als we dat toch aannemen, dan kijken we eerst naar hoe groot die intensiteit dan is. Volgens b) heb je al berekend dat dat 1/4 x zonneconstante is. Dus intensiteit/oppervlakte = P/A = 1/4 zonneconstante.
75% ervan wordt geabsorbeerd en warmt de planeet op. Die gaat dan als zwart lichaam stralen.
Dus 3/4 x (1/4 x zonneconstante) =  σT⁴ volgens de wet van Stefan-Boltzmann. En daaruit berekent men dan T = 210 K.
De 1/4 uit b wordt dus niet in plaats van 3/4 gebruikt - het bepaalt hoe groot de intensiteit is gemiddeld over de planeet. En dan wordt daarvan, zoals je zelf aangeeft, 75% gebruikt voor opwarming en uitstraling.

Dag Silvie,
De uitdrukking P_bron/A=0,25×589 is het gemiddelde stralingsvermogen dat een vierkante meter van het Marsoppervlak van de zon ontvangt.
Dat zit zo. De zonneconstante 589 W/m² is het stralingsvermogen van de zon dat valt op een oppervlak van een vierkante meter waarbij dit oppervlak loodrecht op de zonnestraling staat, dus een vierkante meter van de vlakke witte cirkel waar R in staat. Deze 589 W/m² wordt echter verdeeld over het oppervlak van de hele Mars-bol met een oppervlak A_bol=4·π·R². Het vermogen dat op de vlakke cirkel valt, wordt dus verdeeld over een 4 maal zo groot boloppervlak. Vandaar de factor 0,25.
Hopelijk beantwoordt dit je vraag.
Groet, Jaap