Zwaartekracht en gravitatiekracht in het vwo
stelde deze vraag op 28 juli 2022 om 12:10.Reacties
Vraag 1
• Onder de gravitatiekracht verstaan we de aantrekkende kracht die twee voorwerpen op een onderlinge afstand r op elkaar uitoefenen als gevolg van hun massa's m en M. Voor de gravitatiekracht geldt
• Onder de zwaartekracht op een massa m in rust op aarde verstaan we
De valversnelling op aarde varieert van plaats tot plaats en van tijd tot tijd.
Dit is in overeenstemming met de syllabus voor het centraal examen vwo, zie vraag 5.
In Binas, zesde editie, tabel 7A wordt g 'valversnelling' genoemd, maar in andere tabellen ongelukkigerwijs 'gravitatieversnelling'.
• Onder de gravitatiekracht verstaan we de aantrekkende kracht die twee voorwerpen op een onderlinge afstand r op elkaar uitoefenen als gevolg van hun massa's m en M. Voor de gravitatiekracht geldt
• Onder de zwaartekracht op een massa m in rust op aarde verstaan we
De valversnelling op aarde varieert van plaats tot plaats en van tijd tot tijd.
Dit is in overeenstemming met de syllabus voor het centraal examen vwo, zie vraag 5.
In Binas, zesde editie, tabel 7A wordt g 'valversnelling' genoemd, maar in andere tabellen ongelukkigerwijs 'gravitatieversnelling'.
Vraag 3
De aarde draait om zijn as met een rotatieperiode T. Om een voorwerp met een massa m in rust op aarde mee te laten draaien, is er een middelpuntzoekende kracht Fmpz=m·v²/r nodig. Hierin is r de straal van de cirkelbaan die het voorwerp om de aardas uitvoert.
De gravitatiekracht van de aarde op het voorwerp is Fg=G·m·M/R² met R is de straal van de aarde. Voorlopig neem ik aan dat de aarde bolvormig is. En dat voor elke bolschil geldt: de dichtheid van de bolschil zelf is overal even groot.
We kunnen de gravitatiekracht ontbinden in twee componenten:
• de zwaartekracht die het voorwerp naar de aarde trekt
• de middelpuntzoekende kracht die het voorwerp mee laat draaien met de aarde
Dit is getekend in de onderstaande figuur. Voor de duidelijkheid is de middelpuntzoekende kracht in verhouding te groot getekend.
De geografische breedte is de hoek φ. Uit de figuur volgt dat cos φ=r/R → r=R·cos φ
De snelheid v van het meedraaiende voorwerp is 2·π·r/T=(2·π·R cos φ)/T zodat
%5E2%7D%7BT%5E2%5Ccdot&space;R%5Ccdot%5Ccos%5Cvarphi%7D=%5Cfrac%7B4%5Ccdot%5Cpi%5E2%5Ccdot&space;m%5Ccdot&space;R%5Ccdot%5Ccos%5Cvarphi%7D%7BT%5E2%7D)
Met de cosinusregel vinden we dat
Voor de hoek α tussen de gravitatiekracht en de zwaartekracht geldt
De gravitatieconstante is G=6,67430·10–11 m³/(kg·s²).
De massa van de aarde is M=5,9722·1024 kg.
De (gemiddelde) straal van de aarde is R=6,371·106 m.
De (siderische) rotatieperiode is T=86164,1 s.
Op de rotatiepolen en de evenaar heeft de zwaartekracht dezelfde richting als de gravitatiekracht. In Nederland, op 52º noorderbreedte, is de hoek tussen de zwaartekracht en de gravitatiekracht α=0,1º.
De zwaartekracht en de valversnelling g zijn niet precies naar het middelpunt M van de aarde gericht, maar naar punt C in de figuur.
Verticaal is niet langs de bolstraal BM, maar langs BC. Een horizontaal wateroppervlak is niet langs een raakvlak aan de bol, maar loodrecht op BC.
Voor een massa van m=1 kg op de pool is Fz=Fg=G·m·M/R²=9,820 N
Op de evenaar is Fz=Fg–Fmpz=G·m·M/R²–4·π²·m·R/T²=9,820–0,034=9,786 N
De valversnelling is g=9,820 m/s² op de pool en 9,786 m/s² op de evenaar.
Aan het eind van het vwo kunnen leerlingen voor de draaiende aardbol in beginsel:
• beredeneren dat Fmpz op de evenaar groter is dan elders
• beredeneren dat Fz op de evenaar kleiner is dan elders en kleiner dan Fg
• berekenen hoe groot Fg is op het aardoppervlak
• berekenen hoe groot Fz is op de pool en de evenaar
Getalenteerde leerlingen kunnen zich wagen aan een berekening op tussengelegen plaatsen, zoals Nederland.
De aarde draait om zijn as met een rotatieperiode T. Om een voorwerp met een massa m in rust op aarde mee te laten draaien, is er een middelpuntzoekende kracht Fmpz=m·v²/r nodig. Hierin is r de straal van de cirkelbaan die het voorwerp om de aardas uitvoert.
De gravitatiekracht van de aarde op het voorwerp is Fg=G·m·M/R² met R is de straal van de aarde. Voorlopig neem ik aan dat de aarde bolvormig is. En dat voor elke bolschil geldt: de dichtheid van de bolschil zelf is overal even groot.
We kunnen de gravitatiekracht ontbinden in twee componenten:
• de zwaartekracht die het voorwerp naar de aarde trekt
• de middelpuntzoekende kracht die het voorwerp mee laat draaien met de aarde
Dit is getekend in de onderstaande figuur. Voor de duidelijkheid is de middelpuntzoekende kracht in verhouding te groot getekend.
De geografische breedte is de hoek φ. Uit de figuur volgt dat cos φ=r/R → r=R·cos φ
De snelheid v van het meedraaiende voorwerp is 2·π·r/T=(2·π·R cos φ)/T zodat
Met de cosinusregel vinden we dat
Voor de hoek α tussen de gravitatiekracht en de zwaartekracht geldt
De gravitatieconstante is G=6,67430·10–11 m³/(kg·s²).
De massa van de aarde is M=5,9722·1024 kg.
De (gemiddelde) straal van de aarde is R=6,371·106 m.
De (siderische) rotatieperiode is T=86164,1 s.
Op de rotatiepolen en de evenaar heeft de zwaartekracht dezelfde richting als de gravitatiekracht. In Nederland, op 52º noorderbreedte, is de hoek tussen de zwaartekracht en de gravitatiekracht α=0,1º.
De zwaartekracht en de valversnelling g zijn niet precies naar het middelpunt M van de aarde gericht, maar naar punt C in de figuur.
Verticaal is niet langs de bolstraal BM, maar langs BC. Een horizontaal wateroppervlak is niet langs een raakvlak aan de bol, maar loodrecht op BC.
Voor een massa van m=1 kg op de pool is Fz=Fg=G·m·M/R²=9,820 N
Op de evenaar is Fz=Fg–Fmpz=G·m·M/R²–4·π²·m·R/T²=9,820–0,034=9,786 N
De valversnelling is g=9,820 m/s² op de pool en 9,786 m/s² op de evenaar.
Aan het eind van het vwo kunnen leerlingen voor de draaiende aardbol in beginsel:
• beredeneren dat Fmpz op de evenaar groter is dan elders
• beredeneren dat Fz op de evenaar kleiner is dan elders en kleiner dan Fg
• berekenen hoe groot Fg is op het aardoppervlak
• berekenen hoe groot Fz is op de pool en de evenaar
Getalenteerde leerlingen kunnen zich wagen aan een berekening op tussengelegen plaatsen, zoals Nederland.
Vraag 4
De bij vraag 3 berekende valversnellingen g=9,820 m/s² op de pool en g=9,786 m/s² op de evenaar verschillen van de (gemeten?) waarden 9,832 m/s² en 9,780 m/s² in Binas tabel 30A. Immers, door de afplatting van de aarde is de 'straal' van de aarde op de pool kleiner dan de straal van de bol. En op de evenaar groter.
We kunnen de vorm van de aarde benaderen als een omwentelingsellipsoïde. In het World Geodetic System, dat gebruikt wordt voor geodesie, is een ellipsoïde gedefinieerd met (WGS 84)
• halve lange as a=6378137 m (equatoriale radius, exact)
• halve korte as b=6356752,314 m (polaire radius, afgerond)
Voor de valversnelling op de ellipsoïde geldt, rekening houdend met zowel de draaiing als de afplatting van de aarde:
=g_%5Ctext%7Be%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1+0,00193185%5Ccdot%5Csin%5E2%5Cvarphi%7D%7B%5Csqrt%7B1-0,00669438%5Ccdot%5Csin%5E2%5Cvarphi%7D%7D)
met ge=9,780325 m/s² is de valversnelling op de evenaar
Achtergrondinformatie, met 'gravity' is de valversnelling g, is te vinden op
https://en.wikipedia.org/wiki/Theoretical_gravity
https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_anomaly
en in de bijlage.
Aan de orde komen ook de invloed van het bodemreliëf, de dichtheid van de aarde die van plaats tot plaats verschilt, en de veranderende stand van de maan en andere hemellichamen ten opzichte van de aarde.
De bij vraag 3 berekende valversnellingen g=9,820 m/s² op de pool en g=9,786 m/s² op de evenaar verschillen van de (gemeten?) waarden 9,832 m/s² en 9,780 m/s² in Binas tabel 30A. Immers, door de afplatting van de aarde is de 'straal' van de aarde op de pool kleiner dan de straal van de bol. En op de evenaar groter.
We kunnen de vorm van de aarde benaderen als een omwentelingsellipsoïde. In het World Geodetic System, dat gebruikt wordt voor geodesie, is een ellipsoïde gedefinieerd met (WGS 84)
• halve lange as a=6378137 m (equatoriale radius, exact)
• halve korte as b=6356752,314 m (polaire radius, afgerond)
Voor de valversnelling op de ellipsoïde geldt, rekening houdend met zowel de draaiing als de afplatting van de aarde:
met ge=9,780325 m/s² is de valversnelling op de evenaar
Achtergrondinformatie, met 'gravity' is de valversnelling g, is te vinden op
https://en.wikipedia.org/wiki/Theoretical_gravity
https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_anomaly
en in de bijlage.
Aan de orde komen ook de invloed van het bodemreliëf, de dichtheid van de aarde die van plaats tot plaats verschilt, en de veranderende stand van de maan en andere hemellichamen ten opzichte van de aarde.
Vraag 5
In de bovenbouw van het vwo in Nederland zijn het examenprogramma en de syllabus richtinggevend.
Het examenprogramma geeft de domeinen en eindtermen voor het schoolexamen en het centraal examen.
Subdomein C3 'Gravitatie' geeft eindterm 20: 'De kandidaat kan ten minste in de context van het heelal bewegingen analyseren en verklaren aan de hand van de gravitatiewisselwerking'.
De woorden gravitatiekracht, zwaartekracht, valversnelling, gravitatieversnelling en middelpuntzoekende kracht en hun symbolen staan niet in het examenprogramma. Het examenprogramma vermeldt geen formules.
In de syllabus voor het centraal examen vinden we het volgende.
• Bij de specificaties van subdomein C1 'Kracht en beweging' hoort de formule
voor de 'zwaartekracht'
• Bij de specificaties van subdomein C3 'Gravitatie' horen de formules
voor de 'gravitatiekracht' en de 'middelpuntzoekende kracht'.
• Bijlage 2 geeft het symbool g voor de 'Valversnelling'. Het woord gravitatieversnelling staat niet in de syllabus.
In de bovenbouw van het vwo in Nederland zijn het examenprogramma en de syllabus richtinggevend.
Het examenprogramma geeft de domeinen en eindtermen voor het schoolexamen en het centraal examen.
Subdomein C3 'Gravitatie' geeft eindterm 20: 'De kandidaat kan ten minste in de context van het heelal bewegingen analyseren en verklaren aan de hand van de gravitatiewisselwerking'.
De woorden gravitatiekracht, zwaartekracht, valversnelling, gravitatieversnelling en middelpuntzoekende kracht en hun symbolen staan niet in het examenprogramma. Het examenprogramma vermeldt geen formules.
In de syllabus voor het centraal examen vinden we het volgende.
• Bij de specificaties van subdomein C1 'Kracht en beweging' hoort de formule
• Bij de specificaties van subdomein C3 'Gravitatie' horen de formules
voor de 'gravitatiekracht' en de 'middelpuntzoekende kracht'.
• Bijlage 2 geeft het symbool g voor de 'Valversnelling'. Het woord gravitatieversnelling staat niet in de syllabus.
