Dozen met Water
Sander stelde deze vraag op 11 september 2004 om 09:12.
Hallo,
er zijn twee dozen gevuld met water, alletwee even groot. Aan de ene doos zit een korte slang, en aan de andere zit een lange slang. Waarom is de doos met de lange slang eerder leeg? Sommigen zeggen dat de korte eerder leeg is maar ik heb het met mijn eigen ogen gezien.
Dank
er zijn twee dozen gevuld met water, alletwee even groot. Aan de ene doos zit een korte slang, en aan de andere zit een lange slang. Waarom is de doos met de lange slang eerder leeg? Sommigen zeggen dat de korte eerder leeg is maar ik heb het met mijn eigen ogen gezien.
Dank
Reacties
Frank
op
11 september 2004 om 17:35
Hoi Sander, Ik denk dat het inderdaad zo is dat de doos met de lange slang eerder leeg is. Dit is redelijk gemakkelijk in te zien met behulp van de Wet van Navier-Stokes, die voor alle vloeistofstromen geldt. Ik zal hem hier niet proberen in de typen, maar op http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equations kun je de volledige vorm zien.
Als we aannemen dat het leeglopen van de doos een stationaire toestand is (dus dat de stroming constant is in de tijd) en het water niet ingedrukt wordt, kan de wet van Navier-Stokes als volgt versimpeld worden:
rho*v_x*dv_x/dx = rho*F - dP/dx
waarbij r de dichtheid van het water is (dus constant) en F de kracht op het water (waarschijnlijk de zwaartekracht, voor beide dozen constant).
Er geldt dus: v_x*dv_x/dx ~ -dP/dx ~ - (P_doos - P_buiten)/lengte pijp
Als de lengte van de pijp groter wordt, wordt -dP/dx negatiever (uitstromen), dus v_x*dv_x/dx wordt ook negatiever en dus wordt v_x ook negatiever (en dus groter). Het lijkt dus inderdaad zo te zien dat het water er sneller uitstroomt bij een langere pijp. Uiteraard is deze oplossing sterk versimpeld, maar hopelijk is hij goed genoeg om het te verklaren.
Frank
(technische natuurkunde Universiteit Twente)
Als we aannemen dat het leeglopen van de doos een stationaire toestand is (dus dat de stroming constant is in de tijd) en het water niet ingedrukt wordt, kan de wet van Navier-Stokes als volgt versimpeld worden:
rho*v_x*dv_x/dx = rho*F - dP/dx
waarbij r de dichtheid van het water is (dus constant) en F de kracht op het water (waarschijnlijk de zwaartekracht, voor beide dozen constant).
Er geldt dus: v_x*dv_x/dx ~ -dP/dx ~ - (P_doos - P_buiten)/lengte pijp
Als de lengte van de pijp groter wordt, wordt -dP/dx negatiever (uitstromen), dus v_x*dv_x/dx wordt ook negatiever en dus wordt v_x ook negatiever (en dus groter). Het lijkt dus inderdaad zo te zien dat het water er sneller uitstroomt bij een langere pijp. Uiteraard is deze oplossing sterk versimpeld, maar hopelijk is hij goed genoeg om het te verklaren.
Frank
(technische natuurkunde Universiteit Twente)
Sander
op
12 september 2004 om 11:24
wow, dank je! :)
Patrick
op
12 september 2004 om 23:22
Best Frank,
jouw uitleg is in principe geheel correct. Maar in dit soort gevallen wordt niet uitgegaan van de Navier-Stokes vergelijking maar van de vereenvoudigde vorm hiervan, de Bernoulli vergelijking, deze stelt:
p + rho*g*h + 0.5*rho*v^2 = constant
dit is in principe een eenvoudige energiebalans. Hierin kan je zien dat in het geval van de lange slang het eindpunt lager ligt en zodoende de uitstroomsnelheid groter wordt. Hierdoor is dan de bak sneller leeg. Ik blijf erbij dat Navier-Stokes een juiste aanpak is, maar voor het begrip is bernoulli heilig ;). En daarbij wordt Navier-Stokes meestal toegepast op wat exotischere situaties.
Met vriendelijke groet, Patrick
jouw uitleg is in principe geheel correct. Maar in dit soort gevallen wordt niet uitgegaan van de Navier-Stokes vergelijking maar van de vereenvoudigde vorm hiervan, de Bernoulli vergelijking, deze stelt:
p + rho*g*h + 0.5*rho*v^2 = constant
dit is in principe een eenvoudige energiebalans. Hierin kan je zien dat in het geval van de lange slang het eindpunt lager ligt en zodoende de uitstroomsnelheid groter wordt. Hierdoor is dan de bak sneller leeg. Ik blijf erbij dat Navier-Stokes een juiste aanpak is, maar voor het begrip is bernoulli heilig ;). En daarbij wordt Navier-Stokes meestal toegepast op wat exotischere situaties.
Met vriendelijke groet, Patrick
Frank
op
12 september 2004 om 23:30
Hoi Patrick,
Je hebt helemaal gelijk, misschien had ik het beter bij Bernoulli kunnen laten. Ik wilde het echter zo algemeen mogelijk houden, omdat dan eventuele andere vraagstukken hier ook mee op te lossen zouden zijn :9 Voor het begrip is het inderdaad wel iets lastiger.....
Met vriendelijke groet, Frank
(technische natuurkunde Universiteit Twente)
Je hebt helemaal gelijk, misschien had ik het beter bij Bernoulli kunnen laten. Ik wilde het echter zo algemeen mogelijk houden, omdat dan eventuele andere vraagstukken hier ook mee op te lossen zouden zijn :9 Voor het begrip is het inderdaad wel iets lastiger.....
Met vriendelijke groet, Frank
(technische natuurkunde Universiteit Twente)
Sander
op
13 september 2004 om 17:24
wow dit is echt best ingewikkeld :)
Patrick
op
13 september 2004 om 20:18
Beste Sander,
je wilt niet weten hoe ingewikkeld dit kan worden. In de techniek komen dit soort gevallen redelijk vaak voor. Waar we bij deze situatie vanuit gaan is dat er geen wrijvig optreedt. Indien je dat wel meeneemt dan is het meestal niet mogelijk om een exacte analytische oplossing te verkrijgen, en al helemaal niet bij het gebruik van Navier-Stokes. In dit soort gevallen maakt men dan gebruik van zogenaamde correlaties, dit zijn experimenteel bepaalde verbanden tussen verschillende (groepen van) variabelen die dan enige uitspraak kunnen doen over bijvoorbeeld wrijvingseffecten. Wat wel leuk is dat we hier kijken naar stromingsleer (= impulstransport), kijk je naar warmteoverdrachtsverschijnselen door geleiding en stoftransportverschijnselen door diffusie dan krijg je ongeveer hetzelfde soort vergelijkingen (ook Navier-Stokes genoemd).
Erger is nog dat je bepaalde stoftransport eigenschappen kan afschatten op basis van warmteoverdrachtseigenschappen (Chilton-Colburn analogie). Maar mocht je dit soort dingen interessant vinden, bij werktuigbouwkunde en scheikundige technologie wordt hier wel aandacht aan besteed. Voor het Navier-Stokes verhaal en dergelijke zal dat wel op Universitair niveau moeten zijn, Bernoulli kan je al op MBO en zeker op HBO tegenkomen. Hier staan wel wat leuke dingen:
http://www.navier-stokes.net/
http://www-unix.mcs.anl.gov/appliedmath/Flow/cfd.html http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/handoutFTVnov2001.doc http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/sheets1FTVinl.stroming http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/sheets2FTVwarmte.doc http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/sheets3FTVstof.doc
greetz Patrick
je wilt niet weten hoe ingewikkeld dit kan worden. In de techniek komen dit soort gevallen redelijk vaak voor. Waar we bij deze situatie vanuit gaan is dat er geen wrijvig optreedt. Indien je dat wel meeneemt dan is het meestal niet mogelijk om een exacte analytische oplossing te verkrijgen, en al helemaal niet bij het gebruik van Navier-Stokes. In dit soort gevallen maakt men dan gebruik van zogenaamde correlaties, dit zijn experimenteel bepaalde verbanden tussen verschillende (groepen van) variabelen die dan enige uitspraak kunnen doen over bijvoorbeeld wrijvingseffecten. Wat wel leuk is dat we hier kijken naar stromingsleer (= impulstransport), kijk je naar warmteoverdrachtsverschijnselen door geleiding en stoftransportverschijnselen door diffusie dan krijg je ongeveer hetzelfde soort vergelijkingen (ook Navier-Stokes genoemd).
Erger is nog dat je bepaalde stoftransport eigenschappen kan afschatten op basis van warmteoverdrachtseigenschappen (Chilton-Colburn analogie). Maar mocht je dit soort dingen interessant vinden, bij werktuigbouwkunde en scheikundige technologie wordt hier wel aandacht aan besteed. Voor het Navier-Stokes verhaal en dergelijke zal dat wel op Universitair niveau moeten zijn, Bernoulli kan je al op MBO en zeker op HBO tegenkomen. Hier staan wel wat leuke dingen:
http://www.navier-stokes.net/
http://www-unix.mcs.anl.gov/appliedmath/Flow/cfd.html http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/handoutFTVnov2001.doc http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/sheets1FTVinl.stroming http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/sheets2FTVwarmte.doc http://edu.chem.tue.nl/6S500/downloads/sheets3FTVstof.doc
greetz Patrick
