Potentiaal als functie van r bij twee concentrische bolschillen
stelde deze vraag op 31 januari 2022 om 19:57.Hoi, ik heb een vraag. Ik kan bij de volgende opdracht wel een uitkomst vinden voor r>b, maar snap niet hoe je die van 0<r<a vindt. Zou iemand me kunnen uitleggen waarom je de term van de bolschil van B meeneemt bij V van 0<r<a?
Neem twee concentrische bolschillen met straal a en straal b (a<b). De binnenste bolschil draagt lading –Q, de buitenste bolschil draagt lading +3Q. Tussen de bolschillen bevindt zich een diëlektricum met permittiviteit Ke(=1). Leid uitdrukkingen af voor de potentiaal V als functie van r. Doe dit voor de drie gebieden: 0<r<a, a<r<b, en r>b. Neem V(r)=0 voor 𝑟 → ∞.
Hint: De potentiaal moet continu zijn op r=a en r=b.
De antwoorden:
Reacties
Potentiaal = energie van een ladingseenheid in het veld van een andere lading.
Uit de diverse eerdere vragen van je over elektrostatica hebben we al laten zien dat alleen de lading binnen de bol (0 <) r (< R) meetelt omdat de buitenschil ladingen elkaars werking opheffen. Geen kracht (F=Eelek q), dus geen veld (Eelek) dus geen energie (Eenergie=Uq)
Dus het berekenen van een potentiaal op afstand r is de potentiaal van de lading binnen de bol met straal r.
En met 2 bolschillen en een dielectricum lijken de schillen ook op op (gebogen) condensatorplaten waarvoor (zonder dielektrikum) Arthur Kipp in zijn boek al een beschrijving geeft (Elektriciteit en magnetisme, Prisma Technica 6) met een aanpak die ook in jouw probleem kan werken.( en capaciteit uit Q = CU )
Uit de diverse eerdere vragen van je over elektrostatica hebben we al laten zien dat alleen de lading binnen de bol (0 <) r (< R) meetelt omdat de buitenschil ladingen elkaars werking opheffen. Geen kracht (F=Eelek q), dus geen veld (Eelek) dus geen energie (Eenergie=Uq)
Dus het berekenen van een potentiaal op afstand r is de potentiaal van de lading binnen de bol met straal r.
En met 2 bolschillen en een dielectricum lijken de schillen ook op op (gebogen) condensatorplaten waarvoor (zonder dielektrikum) Arthur Kipp in zijn boek al een beschrijving geeft (Elektriciteit en magnetisme, Prisma Technica 6) met een aanpak die ook in jouw probleem kan werken.( en capaciteit uit Q = CU )
Dag Tycho,
De uitdrukking voor r>b kun je vinden, schrijf je. Dat kan met
met E is de veldsterkte en een omsloten lading Q=3–1=2 C.
Voor r>b geldt de randvoorwaarde dat V(r)→0 als r→∞ en vind je uitdrukking (#1)
=%5Cfrac%7B2%5Ccdot&space;Q%7D%7B4%5Ccdot%5Cpi%5Ccdot%5Cvarepsilon_0%5Ccdot&space;r%7D%5Cquad(%5C&hash;1))
Voor a<r<b gebruiken we eenzelfde integraal, met een omsloten lading Q=–1 C.
Nu geldt als randvoorwaarde dat de uitdrukkingen voor r>b respectievelijk a<r<b dezelfde waarde moeten opleveren bij r=b (continuïteit). Anders zou bij r=b immers een "energiesprong" optreden, waarbij een lading die deze grens oversteekt, uit het niets energie krijgt of verliest. Deze randvoorwaarde leidt tot de integratieconstante B=3·Q/(4·π·ε0·b), die te zien is als de tweede term binnen de haken in uitdrukking (#2)
=%5Cfrac%7B-Q%7D%7B4%5Ccdot%5Cpi%5Ccdot%5Cvarepsilon_0%7D%5Ccdot%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7Bb%7D%5CBig)%5Cquad(%5C&hash;2))
Op dezelfde manier volgt uitdrukking (#3) voor V als r<a. De omsloten lading is nu nul, zodat de integraal levert "nul plus integratieconstante". De integratieconstante volgt weer uit de randvoorwaarde, namelijk dat de uitdrukkingen (#2) en (#3) dezelfde waarde opleveren bij r=a. Dit betekent dat integratieconstante voor r<a gelijk is aan de waarde van uitdrukking (#2) bij r=a, zodat
=%5Cfrac%7B-Q%7D%7B4%5Ccdot%5Cpi%5Ccdot%5Cvarepsilon_0%7D%5Ccdot%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7Bb%7D%5CBig)%5Cquad(%5C&hash;3))
Van belang is het verschil in potentiaal tussen twee punten. Dat bij r<a een constante term ongelijk nul opduikt, is vanwege de eis dat de potentiaal continu is bij r=a. Het zou alarmerend zijn als V bij r=a twee verschillende waarden had, volgens twee verschillende uitdrukkingen. Dat V bij r<a ongelijk nul is hoewel de omsloten lading nul is, is niet alarmerend.
Helpt dit?
Groet, Jaap
De uitdrukking voor r>b kun je vinden, schrijf je. Dat kan met
met E is de veldsterkte en een omsloten lading Q=3–1=2 C.
Voor r>b geldt de randvoorwaarde dat V(r)→0 als r→∞ en vind je uitdrukking (#1)
Voor a<r<b gebruiken we eenzelfde integraal, met een omsloten lading Q=–1 C.
Nu geldt als randvoorwaarde dat de uitdrukkingen voor r>b respectievelijk a<r<b dezelfde waarde moeten opleveren bij r=b (continuïteit). Anders zou bij r=b immers een "energiesprong" optreden, waarbij een lading die deze grens oversteekt, uit het niets energie krijgt of verliest. Deze randvoorwaarde leidt tot de integratieconstante B=3·Q/(4·π·ε0·b), die te zien is als de tweede term binnen de haken in uitdrukking (#2)
Op dezelfde manier volgt uitdrukking (#3) voor V als r<a. De omsloten lading is nu nul, zodat de integraal levert "nul plus integratieconstante". De integratieconstante volgt weer uit de randvoorwaarde, namelijk dat de uitdrukkingen (#2) en (#3) dezelfde waarde opleveren bij r=a. Dit betekent dat integratieconstante voor r<a gelijk is aan de waarde van uitdrukking (#2) bij r=a, zodat
Van belang is het verschil in potentiaal tussen twee punten. Dat bij r<a een constante term ongelijk nul opduikt, is vanwege de eis dat de potentiaal continu is bij r=a. Het zou alarmerend zijn als V bij r=a twee verschillende waarden had, volgens twee verschillende uitdrukkingen. Dat V bij r<a ongelijk nul is hoewel de omsloten lading nul is, is niet alarmerend.
Helpt dit?
Groet, Jaap
