De bandentheorie volgend uit het uitsluitingsprincipe van Pauli
Werner stelde deze vraag op 07 september 2004 om 19:15.
Ik las in een pdf documentje het volgende: Een deeltje in gebonden toestand kan volgens de kwantummechanica enkel op discrete energie-niveaus voorkomen. Zo zal ook een elektron dat gebonden is aan een atoom slechts op bepaalde discrete orbitalen kunnen voorkomen.
Elk elektron dat tot een bepaald atoom behoort wordt gekarakteriseerd door een kwantumgetal. Volgens verbodsprincipe van Pauli kunnen geen twee elektronen van eenzelfde atoom een gelijk kwantumgetal hebben. Wanneer twee identieke atomen elkaar naderen zullen ook elektronen met dezelfde kwantumgetallen elkaar naderen. Aangezien twee elektronen die zich dicht bij elkaar bevinden niet hetzelfde kwantumgetal mogen bezitten, zullen de energie-niveaus waarop ze zich bevinden in twee opsplitsen. Wanneer meerdere atomen zich in elkaars nabijheid bevinden zoals in een atoomrooster zal hetzelfde gebeuren, en elk energie-niveau zal opgesplitst worden in meerdere dicht bij elkaar gelegen niveaus. Deze energie-niveaus liggen zo dicht bij elkaar dat ze bijna een continu geheel vormen, men kan ze beschouwen als energie-banden. Nu ben ik bekend met de kwantummechica (kwantumgetallen e.d.) en het uitsluitingsprincipe van Pauli, maar wat moet ik me voorstellen bij energieniveaus die zich opsplitsen? Als een energieniveau die opeens een lagere karakteristieke energie krijgt?
Elk elektron dat tot een bepaald atoom behoort wordt gekarakteriseerd door een kwantumgetal. Volgens verbodsprincipe van Pauli kunnen geen twee elektronen van eenzelfde atoom een gelijk kwantumgetal hebben. Wanneer twee identieke atomen elkaar naderen zullen ook elektronen met dezelfde kwantumgetallen elkaar naderen. Aangezien twee elektronen die zich dicht bij elkaar bevinden niet hetzelfde kwantumgetal mogen bezitten, zullen de energie-niveaus waarop ze zich bevinden in twee opsplitsen. Wanneer meerdere atomen zich in elkaars nabijheid bevinden zoals in een atoomrooster zal hetzelfde gebeuren, en elk energie-niveau zal opgesplitst worden in meerdere dicht bij elkaar gelegen niveaus. Deze energie-niveaus liggen zo dicht bij elkaar dat ze bijna een continu geheel vormen, men kan ze beschouwen als energie-banden. Nu ben ik bekend met de kwantummechica (kwantumgetallen e.d.) en het uitsluitingsprincipe van Pauli, maar wat moet ik me voorstellen bij energieniveaus die zich opsplitsen? Als een energieniveau die opeens een lagere karakteristieke energie krijgt?
Reacties
Frank
op
07 september 2004 om 19:43
Hoi Werner,
Het probleem ligt wat ingewikkelder dan ik hieronder schets, maar hopelijk geeft het in ieder geval een idee van wat er gebeurt.....
Zoals je (hopelijk) weet wordt in de kwantummechanica elk deeltje beschreven door middel van een golffunctie. Het kwadraat van deze golffunctie is een kansverdeling voor de positie van het desbetreffende deeltje. Voor een elektron dat om een bepaalde kern beweegt, zal deze golffunctie op bepaalde afstanden van de kern een piek hebben. Dit is de positie waar het elektron zich "het meest bevindt" en wordt dan ook een orbital genoemd. Voor een bepaald atoom met een bepaalde kernlading is deze orbital specifiek en uit te rekenen. Dit zijn de discrete energieniveau's waar jij het over hebt waarin 2 elektronen zich kunnen bevinden (spin-up & spin-down).
Wat gebeurt er als twee atomen elkaar naderen? Het zal je niet verbazen dat de golffuncties van elektronen met hetzelfde kwantumgetal (=hetzelfde orbital) zullen gaan overlappen. De nieuwe golffunctie (dus orbital/energieniveau) die ontstaat zal een lineaire combinatie zijn van twee originele golffuncties. Er zijn echter twee combinaties mogelijk, want je kunt de golffuncties immers optellen, maar ook aftrekken van elkaar (beiden zijn geldige lineaire combinaties). Er zijn dus twee kansverdelingen (=golffunctie in het kwadraat) met twee verschillende pieken en dus twee verschillende orbitals. Het lijkt alsof één van de twee orbitals qua energieniveau iets omhoog wordt geduwd en de ander iets omlaag. Deze orbitals zullen echter zeer dicht bij elkaar liggen en vandaar dat er een soort "band" onstaat.
Hopelijk is het nu iets duidelijker?
Frank (technische natuurkunde Universiteit Twente)
Het probleem ligt wat ingewikkelder dan ik hieronder schets, maar hopelijk geeft het in ieder geval een idee van wat er gebeurt.....
Zoals je (hopelijk) weet wordt in de kwantummechanica elk deeltje beschreven door middel van een golffunctie. Het kwadraat van deze golffunctie is een kansverdeling voor de positie van het desbetreffende deeltje. Voor een elektron dat om een bepaalde kern beweegt, zal deze golffunctie op bepaalde afstanden van de kern een piek hebben. Dit is de positie waar het elektron zich "het meest bevindt" en wordt dan ook een orbital genoemd. Voor een bepaald atoom met een bepaalde kernlading is deze orbital specifiek en uit te rekenen. Dit zijn de discrete energieniveau's waar jij het over hebt waarin 2 elektronen zich kunnen bevinden (spin-up & spin-down).
Wat gebeurt er als twee atomen elkaar naderen? Het zal je niet verbazen dat de golffuncties van elektronen met hetzelfde kwantumgetal (=hetzelfde orbital) zullen gaan overlappen. De nieuwe golffunctie (dus orbital/energieniveau) die ontstaat zal een lineaire combinatie zijn van twee originele golffuncties. Er zijn echter twee combinaties mogelijk, want je kunt de golffuncties immers optellen, maar ook aftrekken van elkaar (beiden zijn geldige lineaire combinaties). Er zijn dus twee kansverdelingen (=golffunctie in het kwadraat) met twee verschillende pieken en dus twee verschillende orbitals. Het lijkt alsof één van de twee orbitals qua energieniveau iets omhoog wordt geduwd en de ander iets omlaag. Deze orbitals zullen echter zeer dicht bij elkaar liggen en vandaar dat er een soort "band" onstaat.
Hopelijk is het nu iets duidelijker?
Frank (technische natuurkunde Universiteit Twente)
patrick
op
12 september 2004 om 23:27
Beste Frank,
in grote lijnen ben ik het met je antwoord eens maar op enkele punten dus niet ;).
Om te beginnen worden de orbitalen niet gedefinieerd bij de piek van de golffunctie maar op basis van een percentage. Een orbitaal is het gebied waar een elektron zich meestal bevind, hier wordt meestal 90 of 95 % voorgenomen. Dit is een van de redenen waarom orbitalen in principe niet met een plot weer te geven zijn. Ten tweede wil ik je erop wijzen dat de opsplitsing van atomic orbitals naar bonding en nonbonding orbitals wel degelijk een aanzienlijke grootte kan hebben. Dit verschil bepaalt ook de plaats van de banden aangezien banden ontstaan bij een bonding -> non bonding en vice versa overgang.
Hopelijk heb ik zo mijn visie ietwat duidelijk gemaakt ;).
groetjes Patrick
in grote lijnen ben ik het met je antwoord eens maar op enkele punten dus niet ;).
Om te beginnen worden de orbitalen niet gedefinieerd bij de piek van de golffunctie maar op basis van een percentage. Een orbitaal is het gebied waar een elektron zich meestal bevind, hier wordt meestal 90 of 95 % voorgenomen. Dit is een van de redenen waarom orbitalen in principe niet met een plot weer te geven zijn. Ten tweede wil ik je erop wijzen dat de opsplitsing van atomic orbitals naar bonding en nonbonding orbitals wel degelijk een aanzienlijke grootte kan hebben. Dit verschil bepaalt ook de plaats van de banden aangezien banden ontstaan bij een bonding -> non bonding en vice versa overgang.
Hopelijk heb ik zo mijn visie ietwat duidelijk gemaakt ;).
groetjes Patrick
Frank
op
12 september 2004 om 23:43
Hoi Patrick, Ik ben het helemaal eens met jouw correctie.
In mijn uitleg bedoelde ik zeer zeker niet dat een orbital zich op één bepaalde positie zou bevinden (beetje ongelukkig omschreven als ik het zo terug lees). Ik probeerde alleen op een simpele manier aan te geven dat, hoewel het woord "orbital" suggereert dat er een bepaalde baan is waarin het electron zich beweegt, dit eigenlijk een bepaald gebied is waar de golffunctie het hoogst is en het electron zich dus het meest waarschijnlijk bevindt (dus idd die 90-95% grens).
Met vriendelijke groet, Frank
(technische natuurkunde Universiteit Twente)
In mijn uitleg bedoelde ik zeer zeker niet dat een orbital zich op één bepaalde positie zou bevinden (beetje ongelukkig omschreven als ik het zo terug lees). Ik probeerde alleen op een simpele manier aan te geven dat, hoewel het woord "orbital" suggereert dat er een bepaalde baan is waarin het electron zich beweegt, dit eigenlijk een bepaald gebied is waar de golffunctie het hoogst is en het electron zich dus het meest waarschijnlijk bevindt (dus idd die 90-95% grens).
Met vriendelijke groet, Frank
(technische natuurkunde Universiteit Twente)
