Dag Jan,

De opdracht lijkt me netjes punt voor punt uitgespeld. Je zou dan beter maar eens aangeven op welk punt in de opdracht je vast zit. 

Waarmee wij je NIET zullen kunnen helpen is met alles rondom die `custom calculator` . De uitleg schijnt in een powerpoint te staan en wij hebben ook niet de vaagste notie van wat dat ding vertelt. 
Dan houdt het dus redelijk gauw op. 

die calculator lijkt gebaseerd te gaan zijn op de wet van Torricelli, of waarschijnlijk zelfs Bernoulli. Die theorie bestuderen zou dus voor jou een eerste zinvolle stap zijn.

Groet, (andere) Jan

Beste (andere) Jan,

In eerste instanstie bedankt voor je reactie.
Ik had zelf ook al ondervonden dat het om de wet van Torricelli of Bernoulli gaat.
Maar als ik hier uitleg over zoek kom ik in de formule eenheden en tekens tegen waar ik nog nooit mee heb gewerkt. En dit onderwerp is nog niet behandeld en word ook de komende tijd niet besproken zover ik weet. Ik snap wel een deel van de formule maar daar komt bij dat alle voorbeelden een gat direct in het midden en aan de onderkant van het vat hebben of ook nog dat er water word toegevoegd bijvoorbeeld door een kraan. Maar dit is in mijn opdracht niet het geval. Dit is dus een beetje waar ik vast loop in het bepalen van de formule die we benodigd zijn.
Ik hoop dat jij of iemand anders mij daarbij wat hulp kan bieden.

Bij voorbaat heel erg bedankt.

Met vriendelijke groet,

Jan.

 dag Jan,

dan houdt het programmeren op, helaas.
Want de enige manier om een computer te vertellen hoe hij iets moet uitrekenen is door dat domme ding stapje voor enkel stapje te vertellen wat hij moet doen met de diverse ingevoerde getalletjes. Daarvoor moet je dus eerst zèlf dat soort berekeningen handmatig kunnen uitvoeren, begrijpend wàt je doet en waarom. 

Maar een lichtpuntje: Torricelli is niet zo heel ingewikkeld. Beperking is alleen dat die eigenlijk alleen maar geldt voor een vat met een oneindig grote diameter en een gaatje met oneindig kleine diameter. Bij benadering nog van toepassing op situaties waarbij het vat een veel grotere diameter heeft dan het uitstroomgat. Geldt zeker niet bij alle combinaties van diameters in de specificaties: een gaatje honderd keer zo klein als je vat geeft nog een zeker fatsoenlijke benadering, maar bij een factor 10 ga je toch al forse afwijkingen van de realiteit krijgen. 

Laten we eens eenvoudig proberen:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Wet_van_Torricelli

Die wet volgt uit de wet van behoud van energie. De formule is middelbareschoolniveau.
Als je eenmaal de uitstroomsnelheid kent en de diameter van dat gat dan ken je ook het debiet (m³/s), en kun je dus uitrekenen hoe ver het niveau na bijvoorbeeld een seconde gezakt is. 
Met die nieuwe hoogte bereken je weer een een nieuwe uitstroomsnelheid enz. Nu komt de computer om de hoek kijken, want als je hem eenmaal dit trucje hebt geleerd, dan kun je hem dat duizend keer feilloos laten doorrekenen voor duizend opeenvolgende tijdstapjes. Daar is die computer veel beter en sneller in dan jij of ik. 

dus, laten we eens aannemen
vat diameter 500 mm
gat diameter 5 mm
hoogteverschil vloeistofoppervlak 1,000 m

1) bereken de uitstroomsnelheid (torricelli) 
2) bereken welk volume er in 1 s uitstroomt
3) bereken de nieuwe vloeistofhoogte
en herhaal
en herhaal
en....
start die berekening eens , type hem hier uit, en als je vastloopt, specificeer dan je probleem. Dat werkt vlotter dan dat wij moeten gaan raden


En dàt kun je dan in programmataal gaan omzetten.
Maar daar heb je geen bijzondere software voor nodig: dat kan in excel ook. Wij kunnen je alleszins niet helpen bij alles wat die "custom calculator" betreft. 

Groet, Jan

Ook wel leuk: applet https://phet.colorado.edu/sims/html/under-pressure/latest/under-pressure_en.html waarbij een vat wordt aangevuld terwijl het leegloopt.

Dag vraagsteller Jan,

Zonder de presentatie "Systeemdynamica leegstromend vat" kan ik slechts gissen hoe daarin een formule wordt opgesteld waarmee een nieuwe waterhoogte in het vat wordt berekend op basis van een oude waterhoogte bij een kleine toename van de tijd. Een afleiding van deze differentiaalvergelijking volgt hieronder.
Zonder de "custom calculator" kunnen we de opdracht hier niet uitvoeren, maar wel de vermoedelijke werking van de calculator nabootsen met een modelleerprogramma dat voor ieder toegankelijk is.

Voor de stroming van een vloeistof van een punt 1 naar een punt 2 geldt de wet van Bernoulli:
½·ρ·v₁²+ρ·g·y₁+p₁=½·ρ·v₂²+ρ·g·y₂+p₂  (#1)
met ρ is de dichtheid van de vloeistof, v is de stroomsnelheid (gemiddeld over de doorsnede), g=+9,81 m/s² is de valversnelling en p is de druk in de vloeistof, alles in de standaardeenheden van het SI.
Dit geldt mits de vloeistof:
onsamendrukbaar is (de dichtheid is overal even groot) en
een verwaarloosbare viscositeit (stroperigheid) heeft en
geen wrijving van wanden ondervindt.
In de opdracht ligt het voor de hand om punt 1 aan het wateroppervlak in de vat te kiezen en punt 2 in de uitstroomopening. Op beide plaatsen is de druk gelijk aan de druk van de buitenlucht, zodat p₁ en p₂ tegen elkaar wegvallen. Vervolgens kunnen we het linker en rechter lid van de vergelijking delen door ρ en vermenigvuldigen met 2, waarna we vinden
v₁²+2·g·y₁=v₂²+2·g·y₂  (#2)
Als we het hoogteverschil stellen op h=y₁–y₂, kunnen we schrijven
v₂²–v₁²=2·g·(y₁–y₂)=2·g·h  (#3)
De continuïteit van de vloeistofstroom eist dat het volume dat in een tijdsduur Δt bij plaats 1 en 2 passeert, even groot is. Zo'n volume heeft de vorm van een cilinder met doorsnede A, diameter D en lengte v·Δt.
A₁·v₁·Δt=A₂·v₂·Δt → ¼·π·D₁²·v₁=¼·π·D₂²·v₂ → v₂=(D₁/D₂)²·v₁  (#4)
We combineren (#3) en (#4) →
(D₁/D₂)⁴·v₁²–v₁²=[(D₁⁴–D₂⁴)/D₂⁴]·v₁²=2·g·h


We kiezen de negatieve wortel, omdat de snelheid v₁ omlaag gericht is.
Nu is v₁ de snelheid waarmee het wateroppervlak in het vat daalt. Deze snelheid is de afgeleide van het hoogteverschil x naar de tijd t → v₁=dx/dt
Hiermee vinden we de in de opdracht bedoelde differentiaalvergelijking


We kunnen de vermoedelijke werking van de "custom calculator" nabootsen met het programma Modelleertaal (MT), geschreven door Tom Kooij en toegankelijk op
https://www.tomkooij.nl/
Met de knop "Modelleertaal" (rechts) wordt als voorbeeld een model van een valbeweging uit een vwo-examen geopend. (Dit is een simulatie van een parachutesprong vanaf aan rots die "Champignon" heet.) Dit model gebruiken we niet.

Vervang alles in de kolom Startwaarden door:
g=9,81
D1=0,800
D2=0,050
c=sqrt(2*g*D2^4/(D1^4-D2^4))
h=0,500
v1=0
t=0
dt=0,1

Vervang alles in de kolom Modelregels door:
v1=-c*sqrt(h)
h=h+v1*dt
t=t+dt
als h<0 dan stop eindals

Stel het aantal iteraties in op 10000 en klik op RUN!"

MT leest eerst de gegevens uit de opdracht: de startwaarden. Hierbij wordt ook de constante c berekend. De startwaarden worden eenmalig gelezen, en wel van boven naar onder.
Daarna berekent MT de waarden van de veranderlijke grootheden: de modelregels. Dat gebeurt vele malen, telkens van boven naar onder. Een maal rekenen heet een iteratie.
MT maakt van de berekende waarden een tabel en een diagram.
Met de modelregel v1=–c*sqrt(h) berekent MT de nieuwe stroomsnelheid in punt 1 op basis van de actuele waterhoogte h. De modelregel h=h+v1*dt betekent "de nieuwe waarde van h is de oude waarde van h plus de verandering dh, die gelijk is aan v_1·dt". Met t=t+dt zorgt MT dat "de film verder gaat". Als het vat leeg is (h<0 en niet h=0 want dan is zelden precies het geval), stopt MT.
De leegstroomtijd is te zien in de tabel en het diagram.
De startwaarden kunnen veranderd worden, zodat men bij voorbeeld de invloed van de diameters op de leegstroomtijd kan onderzoeken.
Een kleinere "tijdstap" dt, bij voorbeeld 0,001 s, geeft een nauwkeuriger resultaat.

Met dank aan Tom Kooij voor het beschikbaar stellen van Modelleertaal.

Groet, Jaap