Als je het niet met 10 cijfers achter de komma wil hebben kan dit prima met Galileïsche relativiteit, oftewel weinig meer dan een ouderwets redactiesommetje. Dat de drie treinen verschillende tijden kennen is tot heel ver achter de komma totaal oninteressant bij dit soort snelheden. Einstein halen we er pas bij vanaf 0,5-0,7c, of wanneer fracties van seconden significante gevolgen hebben (zoals bij gps-satellieten). 

80+5=85 km/h snelheidsverschil tussen voorste trein en achterste trein. Sommetje klaar.

Groet, Jan

Relativiteit is het beschrijven van bewegingen gezien vanuit iemands gezichtspunt. Die iemand kan stilstaan of bewegen (op een fiets rijden bijvoorbeeld), maar in zijn eigen referentiestelsel staat hij stil en beweegt al het andere (dus ook de bomen langs de weg waarlangs hij fietst).
v_{ander gemeten door mij} = v_{ander gemeten in stilstaand stelsel} -  v_{mijn snelheid gemeten in stilstaand stelsel} 

Van  je treinbeschrijving snap ik weinig (tekening toevoegen helpt!).  Ze rijden parallel, maar er is een voorste/middelste/achterste. Op 3 parallelle banen met afstand achter elkaar? En dan rechts inhalen? Dus de rechtertrein gaat sneller dan de middelste? Ik bedacht er het volgende bij:



In het stelsel V(oorste) staat de linkertrein stil. En beweegt M(middelste) met een snelheid v. En A(chterste) blijkbaar met v+5 km/h . Klassiek werkt hier voldoende, maar als je de 80ste decimaal wilt uitrekenen, dan kun je de relativiteitsformules er op loslaten. Als het het over snelheden van 5 km/h hebben is klassiek meer dan genoeg (=1,39 m/s = 4,6 . 10^-9 c dus verwaarloosbaar lage snelheid tov lichtsnelheid).

Het snelheidsverschil (u) tussen M en A is niet 5 km/h als alles vanuit het stelsel V wel 5 km/h (w) wordt gemeten.
Als tussen M en A een snelheidsverschil van 5 km/h geldt (u), dan zal V een ander snelheidsverschil meten (w) als M met een snelheid v beweegt.

Jaren kon je stellen dat A en M tov elkaar met 5 km/h bewogen (en stelsel V zou een stilstaande boom kunnen zijn) - die opvatting werd Galileiaans of "klassiek" genoemd.

Tot Einstein en voor hem al Antoon Lorentz daaraan begonnen te twijfelen omdat ze constateerden dat wat er ook gebeurde, niets sneller dan licht ging en die Galileiaanse relativiteit bij dergelijke snelheden niet meer waar kon zijn. Uiteindelijk mondde dit uit in de speciale relativiteitstheorie. Daarbij waren alle Galileiaanse stellingen en formules fout, maar bij lage snelheden (minder dan een kwart lichtsnelheid) verwaarloosbaar afwijkend van de vertrouwde formules en inzichten.
Alles is gebaseerd op aannames 

• dat de lichtsnelheid de hoogst haalbare is
• dat stelsels met vaste snelheid tov elkaar bewegen (voor speciale relativiteitstheorie)
• dat er geen voorkeursstelsel is - er is geen absoluut "stilstaand" stelsel

Daaruit volgt (zie allerlei boeken voor de complete uitleg)

• de tijd van de waarnemer gaat sneller dan het kloktempo in het bewegende stelsel ("bewegende klokken gaan langzamer" - tijddilatatie)
• de lengte bij de waarnemer is groter dan in het bewegende stelsel (lengte-krimp) (gebeurtenissen zijn dus niet meer simultaan want gebeurt bij de ene klok op t₁ seconden en op de andere klok op t₂ en beide tijden zijn niet gelijk)

Zo blijft de lichtsnelheid constant. De waarnemer meet zijn lengte/tijd = c en ziet in het bewegende stelsel een kleinere afstand / kortere tijd = c

De speciale relativiteitstheorie berekent hieruit dat vanuit iemands gezichtspunt (die "stilstaat" in zijn eigen stelsel maar dat tov andere stelsels kan bewegen met snelheid v) alles wat beweegt met afwijkende snelheden beweegt tussen 0 m/s en bijna de lichtsnelheid maar die nooit bereikt. De afwijking met de klassieke relatieve snelheden wordt pas merkbaar als een stelsel met 0,25c of hogere snelheid beweegt.
Met als ultiem resultaat dat 2 lichtstralen die op elkaar afkomen met elk snelheid c, elkaar niet passeren met 2c maar ook met c. Ook al gaat je eigen stelsel met snelheid c, een stelsel dat nadert met snelheid c heeft toch een relatieve snelheid c.

De snelheid w die V meet van de snelheid van A tov M (terwijl M tov V met snelheid v beweegt) wordt gegeven door

waarbij u de snelheid is waarmee A beweegt tov M .
Blijkbaar is w 5 km/h volgens jou omschrijving (beweging A tov V) of is u gelijk aan 5 km/h (beweging A tov M).

Voor elk stelsel is aan te geven hoeveel trager een klok in een ander bewegend stelsel loopt. Het enige wat je moet weten is de snelheid tussen beide stelsels. En het is wel handig om ergens een gemeenschappelijk tijdstip 0 aan te geven zodat de vertraging duidelijk is (bij de ene X seconden na het jaar 1 nChr en bij de andere Y seconden na Slartibartfast)

Jan van de Velde, bij uw antwoord gaat U er vanuit, dat t_i,j = t_k,l voor alle i, j, k en l en dat is juist niet de bedoeling.

Maar praten over referentiesystemen die met 10^-9 c ten opzichte van elkaar bewegen heeft ook verder geen zin buiten de "klassieke" relativiteit. De tijden zijn dan praktisch hetzelfde.
En de tijdsverschillen volgens de speciale relativiteit zijn dan van elkaar verschillend als
t_bewegend = β t_{mijn systeem} = √(1 - (v/c)² )  t_{mijn systeem} 
Dus bij die 5 km/h verschil tussen M en A zal de klok van A tov M trager lopen met een factor
√(1 - (1,39/300000000)²) = √(1 - 2,15.10^-17) ≈ 1 (minus een pietsie)

Theo de Klerk, om te beginnen: wat een prachtige illustratie heeft U gemaakt. Ik zou dat ook wel willen kunnen. Wat moet ik daarvoor doen? Verder maakt U in uw antwoord gebruik van de speciale relativiteitstheorie. Mij gaat het echter om het algemene begrip van relativiteit ongeacht welke specifieke natuurkundige theorie je daarbij gebruikt. Bij het uitleggen van het algemene begrip relativiteit gaat men er meestal vanuit dat t_ij = t_kl = t en dan is natuurlijk alles gemakkelijk en krijg je de transformatie van Galilei. Maar mij gaat het erom hoe de transformatieformules eruit zien wanneer je aanneemt dat t_ij niet noodzakelijk gelijk hoeft te zijn aan t_kl en zonder verder gebruik te maken van een specifieke natuurkundige theorie. Het lijkt me trouwens, dat wel in het algemeen geldt, dat v_ii = 0,maar hoe het zit met t_ii weet ik niet.

Gewoon Powerpoint gebruiken voor tekeningen.

Transformatieformules in klassieke zin zijn simpel: de tijd is voor ieder gelijk. Of met vaste offset als het t=0 s punt voor ieder anders ligt (zoals bij onze tijdzones):
x' = x + vt   (ditto voor y' en z' in het andere ( ' ) stelsel (dat met snelheid v beweegt tov mijzelf) dan mijn eigen)
t' = t

De tijd tussen stelsels is niet anders. Behalve bij een goedkoop Chinees horloge wat constant afwijkt, stel met Δt seconden per uur gaat voorlopen (vergelijk het met een snelheidsafwijking tussen twee horlogewijzers)  dan zal
t_Chinees = t_mijn + Δt * t_mijn /3600 s

Theo de Klerk, het plaatje zou nog mooier zijn als het een kwart slag naar links gedraaid wordt. Dan heb je de spoorrailsen horizontaal i.p.v. vertikaal en de voorste trein is dan de onderste. Dat maakt het, denk ik, wat makkelijker.

Theo de Klerk en Jan van de Velde,

Dat de relatieve tijden niet gelijk hoeven te zijn is wat moeilijk voor te stellen. Dus laten we aannemen, dat er zich ik elke trein ook een klok bevindt, maar dat de tijden op de klokken niet allemaal hetzelfde zijn. Laten we bij voorbeeld aannemen, dat de snelheid waarmee de klok op de middelste trein loopt, gezien vanuit de voorste trein, gelijk is aan 1.3 maal de snelheid van de klok in de voorste trein, u_M,V = 1.3, waarbij u de relatieve snelheid van de klok voorstelt. Een persoon op de voorste trein ziet dus, dat, na één uur op zijn klok, de klok op de middelste trein één uur plus 18 minuten verder is. Laten we verder aannemen, dat de snelheid waarmee de klok op de achterste trein loopt, gezien vanuit de middelste trein, gelijk is aan 1.5 maal de snelheid van de klok in de middelste trein, u_A,M = 1.5. Hoe zit het dan met de snelheden u_i,j en v_i,j?

Zie opmerking 12:40. En zoek eens een wiskundeboek op over lineaire transformaties tussen coordinatenstelsels. 

Theo de Klerk,

Ja, ik had al in de gaten, dat je beter kunt werken met matrices en matrixalgebra:

Dat lijkt mij ietwat overbodig voor deze vragen. Matrices komen vooral handig uit bij rotaties en niet lineaire veranderingen. Bij de klassieke snelheden komen er vooral "eigen-waarde matrices"  (diagonalen op 1, rest 0) uit. Wat je optekent zijn trouwens determinanten die uiteindelijk getallen leveren. Matrices gebruik je om van vectoren naar vectoren te rekenen: vector x matrix = andere vector.
Je kunt het leven ook ingewikkeld maken. Geen machinist op een trein die problemen heeft met tijd (wel soms met op tijd rijden).

Theo de Klerk,

Ja, helemaal gelijk. Met maar drie treinen kun je alles gemakkelijk uitschrijven. Nu denk ik, dat het met de gegeven relatieve kloksnelheden allemaal nog klassiek blijft. Het lijkt me interessanter te gaan worden, wanneer je de relatieve kloksnelheden evenredig met de relatieve treinsnelheden laat zijn en wel zodanig, dat als de relative treinsnelheid nul is, dat dan de klokken gelijk lopen. Op die manier heb je een natuurlijke aanloop naar de speciale relativiteitstheorie met de Lorentz transformaties, die je overigens kunt afleiden zonder gebruik te maken van de lichtsnelheid. Maar dat laatste hoef ik U natuurlijk niet te vertellen.

Ik vind het maar een ingewikkelde manier om ineens op Lorentztransformaties uit te komen. Feitelijk zeg je namelijk niks anders dan dat in elke trein de machinist van die trein zijn klok precies op tijd ziet lopen. En dat zijn lokomotief stil staat (want zijn coordinatenstelsel). 
Bij die andere treinen is dat niet zo - die bewegen en hun klokken lijken langzamer te lopen.

Lorentztransformaties kunnen niet zonder lichtsnelheid c - dat is deel van de lorentzfactor β of γ die beide een term v/c hebben.

Theo de Klerk,

Wat de Lorentztransformaties betreft lijkt het me dat U gelijk heeft, maar wat de speciale relativiteitstheorie betreft verwijs ik naar Wikipedia naar het artikel Special relativity en dan naar het hoofdstukje Relativity without the second postulate.

Theo de Klerk en Jan van de Velde

Ik heb indertijd zelf een verhaaltje geschreven over de afleiding van de Lorentztransformaties. De tekst is te lezen op:

http://www.socsci.ru.nl/advdv/Einstein/EinsteinBold.htm

Ik was echter over een paar dingen in het begin niet echt tevreden. Vandaar  de door mij gestelde vragen.