Formule van trillingstijd afleiden
stelde deze vraag op 07 november 2021 om 16:48.
Beste lezer,
Voor een PO dat ik komende week heb moet ik een voorbereiding maken. Alleen snap ik 1 van de vragen niet:
De formule T= 2π√(m/C) heb ik wel, maar ik snap niet hoe deze formule af te leiden is. Het zou heel erg fijn zijn als iemand mij hiermee zou kunnen helpen!
Groet, Isabel
Voor een PO dat ik komende week heb moet ik een voorbereiding maken. Alleen snap ik 1 van de vragen niet:
De formule T= 2π√(m/C) heb ik wel, maar ik snap niet hoe deze formule af te leiden is. Het zou heel erg fijn zijn als iemand mij hiermee zou kunnen helpen!
Groet, Isabel
Reacties
Dag Isabel,
Ik mag aannemen dat dit om bovenbouw vwo gaat?
Beginnen we met het makkelijkste stukje: als je 2π ziet staan, wat is dan altijd het eerste waar je aan denkt?
En zie je dat voor je als behorend bij een harmonische trilling?
https://gfycat.com/inexperiencedtediousasiaticlesserfreshwaterclam
Hoe zou je dus in om het even welke eenparige cirkelvormige beweging (denk dus nog even niet aan die massa en die veer) de tijd nodig voor één rondje (= trillingstijd) formulematig beschrijven?
Groet, Jan
Ik mag aannemen dat dit om bovenbouw vwo gaat?
Beginnen we met het makkelijkste stukje: als je 2π ziet staan, wat is dan altijd het eerste waar je aan denkt?
En zie je dat voor je als behorend bij een harmonische trilling?
https://gfycat.com/inexperiencedtediousasiaticlesserfreshwaterclam
Hoe zou je dus in om het even welke eenparige cirkelvormige beweging (denk dus nog even niet aan die massa en die veer) de tijd nodig voor één rondje (= trillingstijd) formulematig beschrijven?
Groet, Jan
Och, die sinus hangt daar ook aan vast ja:
https://electronics.stackexchange.com/questions/152600/why-is-sine-wave-preferred-over-other-waveforms/152624
maar ik denk bij 2π nog simpeler, aan cirkels
En in een eenparige cirkelbeweging (elke harmonische trilling is af te beelden op een cirkel waarop een punt met constante snelheid ronddraait zoals je ziet) geldt dus
T = 2π / ω
Om nou van die 1 / ω naar √(m/C) te gaan is een stuk minder triviaal.
Je kunt dan differentiaalvergelijkingen gaan loslaten op de energievergelijking
½mv² + ½Cu² = 0
Die wet van behoud van energie is ook grafisch weergegeven in dat geänimeerde gifje uit mijn bericht van 17:40..
Voor de rest ga ik je verwijzen naar mensen die dat veel beter kunnen dan ik:
https://phys.libretexts.org
Veel "plezier" daarmee.
Maar als ik jouw opdracht nog eens goed lees hoef je niet zo heel erg wiskundig aan de slag. De afleiding onder woorden brengen lijkt voldoende?
Groet, Jan
https://electronics.stackexchange.com/questions/152600/why-is-sine-wave-preferred-over-other-waveforms/152624
maar ik denk bij 2π nog simpeler, aan cirkels
En in een eenparige cirkelbeweging (elke harmonische trilling is af te beelden op een cirkel waarop een punt met constante snelheid ronddraait zoals je ziet) geldt dus
T = 2π / ω
Om nou van die 1 / ω naar √(m/C) te gaan is een stuk minder triviaal.
Je kunt dan differentiaalvergelijkingen gaan loslaten op de energievergelijking
½mv² + ½Cu² = 0
Die wet van behoud van energie is ook grafisch weergegeven in dat geänimeerde gifje uit mijn bericht van 17:40..
Voor de rest ga ik je verwijzen naar mensen die dat veel beter kunnen dan ik:
https://phys.libretexts.org
Veel "plezier" daarmee.
Maar als ik jouw opdracht nog eens goed lees hoef je niet zo heel erg wiskundig aan de slag. De afleiding onder woorden brengen lijkt voldoende?
Groet, Jan
Dag Isabel,
Je kunt de formule voor de periode van een massa-veersysteem als volgt afleiden.
De tweede wet van Newton is, voor een massa aan een fatsoenlijke veer:
Een oplossing van de differentiaalvergelijking is
=A%5Ccdot%5Csin%5Cbig(2%5Ccdot%5Cpi%5Ccdot%5Cfrac%7Bt%7D%7BT%7D%5Cbig))
zoals blijkt als je x(t) invult in de differentiaalvergelijking:
%5E2%5Ccdot&space;A%5Ccdot%5Csin%5Cbig(2%5Ccdot%5Cpi%5Ccdot%5Cfrac%7Bt%7D%7BT%7D%5Cbig)=-C%5Ccdot&space;A%5Ccdot%5Csin%5Cbig(2%5Ccdot%5Cpi%5Ccdot%5Cfrac%7Bt%7D%7BT%7D%5Cbig))
Omdat dit voor elke t moet gelden, eisen we dat
%5E2=C~%5Cto~T%5E2=%5Cbig(2%5Ccdot%5Cpi%5Cbig)%5E2%5Ccdot%5Cfrac%7Bm%7D%7BC%7D)
waaruit de gevraagde formule volgt.
(Een cosinus of een som van sinus en cosinus voldoet ook.)
Is dit niet de verlangde afleiding 'in woorden', dan kun je weglaten wat je niet bevalt.
Groet, Jaap
Je kunt de formule voor de periode van een massa-veersysteem als volgt afleiden.
De tweede wet van Newton is, voor een massa aan een fatsoenlijke veer:
Een oplossing van de differentiaalvergelijking is
zoals blijkt als je x(t) invult in de differentiaalvergelijking:
Omdat dit voor elke t moet gelden, eisen we dat
waaruit de gevraagde formule volgt.
(Een cosinus of een som van sinus en cosinus voldoet ook.)
Is dit niet de verlangde afleiding 'in woorden', dan kun je weglaten wat je niet bevalt.
Groet, Jaap
