Ik ben er zonet achter gekomen dat ik bij het uitrekenen van de stoot van de zwaartekracht ik vergeten ben de kracht met de tijd te vermenigvuldigen. De stoot van d ezwaartekracht wordt dan 1,05 en de stoot omhoog 20,0 Ns. Dat maakt niet veel uit, want ik kom dan op een snelheid van 500 m/s en een hoogte van 12,7 km.

Dag Ruben,Nog hoger dan je dacht (1)Je noteert voor de stoot van de voortstuwing 9,30*2,67 = 21,0 Ns. Moet dat niet 24,8 N*s zijn?Verminderen we deze stoot met die van de zwaartekracht, vinden we niet de 20,0 N*s die je in tweede instantie noteerde, maar 23,9 N*s. Daardoor zou de raket een maximale hoogte van 18019 m bereiken.Nog hoger dan je dacht (2)Bij deze 18019 m moet we nog optellen de hoogte die de raket bereikt in de eerste 2,67 s. Nemen we aan dat Fres constant is, dan is de gemiddelde snelheid in dit tijdvak 595/2=297 m/s en is de raket op t=2,67 s op een hoogte vgem*deltat=794 m. De raket zou dan een maximale hoogte van 794+18018=18813 m bereiken.Nog hoger dan je dacht (3)Je lijkt aan te nemen dat de massa van de raket gedurende de eerste 2,67 s constant is (40 gram). Is bij jouw raket inderdaad het geval?Raketten worden doorgaans voortgestuwd door uitstoting van materie naar achter. De resterende massa van de raket (inclusief inhoud) neemt dan in de eerste 2,67 s af. Stel bij voorbeeld dat de raket begint met 25 gram van een buskruitachtig mengsel dat bij de verbranding geheel overgaat in gasvormige stoffen die worden uitgestoten. Dan neemt de massa van de raket af tot 15 gram. Als de stuwkracht constant 9,30 N is, zoals je lijkt aan te nemen, neemt de versnelling tijdens de eerste 2,67 s toe en bereikt de raket een nog grotere hoogte. Indicatie: de snelheid na 2,67 s is in de orde van 960 m/s en de raket bereikt een hoogte van circa 48 km. Voor de profielwerkstuk is dat een indrukwekkende prestatie...Jammer, maar helaasDe raket zal geen stratosferische hoogten bereiken als gevolg van de wrijving.Voor de wrijvingskracht kunnen we noteren Fw=(1/2)*rho*cw*A*v² met rho is de dichtheid van de lucht, cw=luchtwrijvingscoëfficiënt (voor de raket circa 0,6?), A is het frontale oppervlak van de raket (circa 7 cm²?) en v is de snelheid op het desbetreffende tijdstip.Doordat de raket in de voortstuwingsfase een hoge snelheid bereikt, ondervindt de raket een grote wrijvingskracht.Enig cijferwerk leert dat de raket als gevolg van de wrijving met cw=0,6 een maximale hoogte bereikt in de orde van 500 m. Deze hoogte is sterk afhankelijk van de waarde van cw.Je hebt "analytisch" gewerkt: een combinatie van formules leidde in één keer tot het gevraagde resultaat (de maximale hoogte). Zo'n analytische werkwijze is niet mogelijk als je rekening wilt houden met de afnemende massa en de wrijvingskracht die afhangt van de snelheid. Daartoe moet je een "numerieke" werkwijze volgen. Dat kan bij voorbeeld met het onderdeel Modelleren van het computerprogramma IP Coach 5 (op sommige scholen gebruikt bij na12 in het vwo), of met een simulatieprogramma als Modellus.Overigens ben ik benieuwd naar je meetopstelling voor Fstuw=9,30 N. Kan zo'n bescheiden raket inderdaad zo'n grote stuwkracht opwekken? Heeft de balans wel voldoende tijd om betrouwbare waarden aan te geven binnen die korte 2,67 s? Is er gecorrigeerd voor eventuele zaken die op de balans staan om de de raket in de juiste positie te houden?Succes met je meesterproef...

Is het ook mogelijk om op een analytische manier de hoogte uit te rekenen rekening houdend met de luchtweerstand? Zo ja, hoe moet ik dat aanpakken?Ik ben nu bezig om het in modellus uit te rekenen maar dat lukt niet zo goed.

Dag Ruben,Ja, als je rekening houdt met luchtwrijving volgens Fw=-constante*v², maar niet met afnemende massa van de raket, kun je de beweging van de raket nog analytisch benaderen. De bijbehorende wiskunde gaat het niveau van vwo-wb12 te boven (differentiaalvergelijkingen, hyperbolische functies).Hieronder volgen enkele resultaten van die wiskunde. Misschien heb je er iets aan om je eigen berekeningen (bij voorbeeld met Modellus, IP Coach) te controleren.Het jargon is van de grafische rekenmachine TI-83 (of 84 of 84plus) van Texas Instruments.Zo is Y1 een van de Y-VARS die je als een functievoorschrift in de GR kunt invoeren.Maar je kunt natuurlijk ook een rekenblad zoals Excel gebruiken.Voor de hoogte Y1 van de raket op een tijdstip X geldt, indien X kleiner/gelijk T:Y1=M/C*Ln(cosh(D*X))T is het tijdstip waarop de voortstuwende kracht stopt (jouw 2,67 s);M is de constante massa van de raket in kg; C en D zijn constanten, zie verder;Ln is de natuurlijke logaritme; cosh is de "cosinus hyperbolicus".Voor de hoogte Y2 van de raket op een tijdstip X geldt,indien X groter/gelijk T is en X bovendien kleiner/gelijk U is:Y2=M/C*Ln(cos(F*(X-T)+A))+BU is het tijdstip waarop de raket zijn hoogste punt bereikt. A, B en F zijn constanten, zie verder.Om deze functies te gebruiken, moet je eerst de waarden van de constanten A, B enz. invoeren in de geheugens A, B enz. van de grafische rekenmachine. Ter voorkóming van invoerfouten en onnodig werk bij herhaalde berekeningen verdient het aanbeveling de onderstaande regels als een programma in de rekenmachine in te voeren.Stel je rekenmachine in op Radian (radialen).0.040 STO M (dat wil zeggen: sla de massa 0,040 op in het geheugen M).9.81 STO G (valversnelling)M*G STO Z (zwaartekracht)9.30 STO S (of een andere waarde van de stuwkracht)2.67 STO T (of een andere waarde van de eindtijd van de stuwkracht)0.5*1.293*0.6*1/4*pi*0.03² STO C (zie verder)wortel(C*(S-Z))/M STO Dwortel(C*G/M) STO Finvtan(-D/F*tanh(D*T) STO A (de min vóór de eerste D is de "haakjesmin")M/C*Ln(cosh(D*T)/cos(A)) STO BT-A/F STO UDe regel "0.5*1.293*0.6/4*pi*0.03²" geeft de constante C voor Fw=-C*v².Deze constante is (1/2)*(dichtheid lucht)*luchtwrijvingscoëfficiënt*(frontale oppervlak raket)De luchtwrijvingscoëfficiënt 0,6 is geschat. In het frontale oppervlak raket 1/4*pi*D² kun je de 0,03 meter vervangen door de gemeten diameter van je raket.invtan is de boogtangens, in de volksmond wel inverse tangens genoemd.tanh is de "tangens hyperbolicus".Met de genoemde getallen vinden we U=7,9275... en de hoogte op 5 s na de start Y2(5)=564 m.DisclaimerSchrijver aanvaardt geen aansprakelijkheid voor onjuistheden of onvolledigheden in deze tekst.

De derde programmaregel van onder "invtan(-D/F*tanh(D*T) STO A"moet luiden "invtan(-D/F*tanh(D*T)) STO A"

je bent de zwaartekracht vergeten:?