Dag fysicus,

Met de twee evenwichtsregels heeft u het probleem al opgelost. Nu alleen nog uitwerken...

Laten we de momenten bepalen ten opzichte van het punt S van de ladder dat op de grond rust.

In mijn figuur staat de muur links en ligt S rechts van de muur.
Noemen we het zwaartepunt van de ladder Z.
Op de ladder werken drie momenten:

1. van de zwaartekracht Fz op de massa ml van de ladder, 
2. van de gewichtskracht G die de persoon op de ladder uitoefent (even groot als de zwaartekracht mp*g op de persoon) 
3. en van de normaalkracht die de muur in horizontale richting uitoefent op het hoge uiteinde van de ladder. 

De twee eerstgenoemde momenten proberen linksom te draaien; het laatst rechtsom.
De eerste twee momenten zijn:
(Fz op ladder)*arm+(Fz op persoon)*arm=(ml*g)*(1/2*L*cos60)+(mp*g)*h/tan60 [1]
met L = lengte van de ladder.

Toelichting
wat betreft de armen Fz op de ladder werkt verticaal; de arm is de afstand van S tot de werklijn van deze Fz.
Fz grijpt aan in Z, op een afstand 1/2*L vanaf S.
In een kleine driehoek bij S zien we dat cos60=arm/{1/2*L} > arm=1/2*L*cos60.
De gewichtskracht van de persoon grijpt aan op de persoon, op een hoogte h (verticaal gemeten) vanaf de grond.
In een tweede driehoek bij S zien we dat tan60=h/arm, zodat arm=h/tan60.

Nu het moment van de normaalkracht Fn van de muur op het hoge einde van de ladder.
Het evenwicht van de horizontale krachten vereist dat deze Fn even groot is als de wrijvingskracht die de grond in S op de ladder uitoefent.
Fw=0,3*(Fn van de grond).
Het evenwicht van de verticale krachten betekent dat (Fn van de grond) even groot is als de som van (Fz op de ladder) en (Fz op persoon), dus (Fn van de grond)=ml*g+mp*g, zodat (Fn van de muur)=0,3*(ml*g+mp*g).

Voor de arm van deze (Fn van de muur) geldt in de grote driehoek sin60=arm/L > arm=L*sin60.
Zodoende kunnen we het derde moment schrijven als 0,3*(ml*g+mp*g)*L*sin60 [2]
We stellen [1] en [2] gelijk:
(ml*g)*(1/2*L*cos60)+(mp*g)*h/tan60=0,3*(ml*g+mp*g)*L*sin60
Na deling door g krijgen we
mp*h/tan60=0,3*(ml+mp)*L*sin60-1/2*ml*L*cos60
h=(L/mp)*{0,3*(ml+mp)*sin60*tan60-1/2*ml*cos60*tan60}
h=(L/mp)*{0,3*(ml+mp)*sin60*tan60-1/2*ml*sin60}
h=(L*sin60/mp)*{0,3*(ml+mp)*tan60-1/2*ml}
h=(5*sin60/75)*{0,3*(25+75)*tan60-1/2*25}=2 meter [2,2783] verticaal gemeten
Eventueel schuin langs de ladder gemeten h/sin60=3 m [2,6308]

Kunt u zich hierin vinden?

Onderstaande kan ik niet volgen, m.b.t. de stap naar Fn muur. 

Ik zou verwachten dat vertikaal ook de Fw muur meegenomen moet worden.  Fn grond + Fw muur = ml * g + ml * g 

Het evenwicht van de verticale krachten betekent dat (Fn van de grond) even groot is als de som van (Fz op de ladder) en (Fz op persoon), dus (Fn van de grond)=ml*g+mp*g, zodat (Fn van de muur)=0,3*(ml*g+mp*g).

Dag GHK,
inderdaad moet verticaal ook Fw van de muur worden meegenomen.
Dat heb ik in 2006 over het hoofd gezien.
Uw "Fn grond + Fw muur = ml*g+ml*g" moet zijn "Fn grond + Fw muur = ml*g+mp*g", lijkt me.

Bedankt voor de bevestiging en de correctie.

Verdiepingsvraagstuk, waar ik mee worstel.
Stel nu dat de muur niet loodrecht staat maar onder een hoek van 75 graden en de ladder onder een hoek van 60 graden.
Hoe ziet dan het krachtenspel er uit aan de onderkant van de ladder op de grond en aan de bovenkant tegen de schuine muur, waarbij wrijving optreedt op de grond EN langs de muur.
Zou iemand (b.v. Jaap) daar eens een schets van willen sturen?
Tevens hoe ontbindt je de krachten op de muur in horzontaal en verticaal zodat je de som van de momenten en krachten horzontaal en verticaal kunt gebruiken. (goniometrie ken ik wel, maar ik twijfel welke krachten er werken en hoe ik deze moet ontbinden.)

Aan de onderkant van de ladder verandert niks qua krachtrichtingen. De vloer duwt de ladder omhoog, de wrijving houdt slippen naar links tegen (tot een maximmum, daarna gaat de ladder onderuit).
De schuine wand verandert de krachten wel: de normaalkracht blijft loodrecht op de muur maar zal vanaf de grond gezien ineens schuin omhoog staan.

En ontbinden: elk "geschikt" loodrecht of schuin assenstelsel voldoet. De vector daarna in 2 componenten langs die assen tekenen, zodanig dat de parallellogram-optelling van die componenten weer de kracht zelf geeft.

Hallo Theo,

De schuine normaal kracht moet dan ontbonden worden in een horizontale en verticale component om in de evenwichtsvergelijkingen mee te nemen. 
Maar dan..... er is natuurlijk ook een wrijvingskracht langs de schuine muur. Moet deze dan ook ontbonden worden en meegenomen worden in de evenwichtsvergelijkingen?

De wrijvingskracht telt zeker mee.
Bij de ladderpunt op de grond geeft de ladder een (component)kracht naar links, de wrijving naar rechts.
Op de muur zal de ladder een (component)kracht naar beneden geven, de wrijving omhoog. (en dan zijn er nog de normaalkrachten). Niet op schaal zijn die voor jouw situatie onderstaand geschetst.

Dag GHK,

Bij het verdiepingsvraagstuk vinden we de maximale hoogte h waarop de persoon op de ladder mag staan, door aan te nemen dat het voetpunt van de ladder net niet slipt. Er is dan een evenwicht van krachten en een evenwicht van krachtmomenten op de ladder.

Er werken zes krachten op de ladder.
Fng is de normaalkracht van de grond op de ladder, verticaal omhoog.
Fwg=0,3*Fng is de wrijvingskracht van de grond op de ladder, horizontaal naar de muur gericht.
Fzl is de zwaartekracht op de ladder, verticaal omlaag, aangrijpend in het midden van de ladder.
Fzp is de zwaartekracht op de persoon die op een hoogte h boven de grond op de ladder staat, verticaal omlaag. (Eigenlijk moeten we noemen de gewichtskracht van de persoon op de ladder, maar deze zijn even groot.)
Fnm is de normaalkracht van de muur op de ladder, loodrecht op de muur en van de muur af, zodat Fnm schuin omhoog is gericht, aangrijpend in het hoogste punt van de ladder.
Fwm=0,3*Fnm is de wrijvingskracht van de muur op de ladder, gericht langs de schuine muur omhoog, aangrijpend in het hoogste punt van de ladder.

Laten we het krachtenevenwicht in de horizontale en verticale richting beschouwen.
Fnm heeft de componenten Fnmh horizontaal van de muur af, en Fnmv verticaal omhoog.
Fwm heeft de componenten Fwmh horizontaal "de muur in" en van de ladder af gericht, en Fwmv verticaal omhoog.
Krachtenevenwicht horizontaal: Fwg+Fwmh=Fnmh; dat is
0,3*Fng+0,3*Fnm*cos75=Fnmsin75 zodat Fng=(sin75-0,3*cos75)/0,3*Fnm [1]
Krachtenevenwicht verticaal: Fng+Fnmv+Fwmv=Fzl+Fzp; dat is
Fng+Fnm*cos75+0,3*Fnm*sin75=Fzl+Fzp [2]
Als we uitdrukking [1] substitueren in [2] en rekenen met valversnelling =10m/s/s,
volgt Fnm=284,938N
(Of we rekenen met g=10 m/s/s of een andere waarde, maakt geen verschil voor de berekende waarde van h.)

Nu het evenwicht van de krachtmomenten. We zijn vrij in de keuze van het punt P ten opzichte waarvan we elk moment berekenen. Laten we het voetpunt van de ladder kiezen.
Het krachtmoment dat de ladder rechtsom poogt te draaien, is volgens de aanname even groot als het krachtmoment linksom.
Fng en Fwg grijpen aan in P, zodat ze geen moment uitoefenen.
Bij Fzl en Fzp gebruiken we "de hele kracht" maal "de loodrechte afstand van P tot de kracht", dat wil zeggen dat de arm horizontaal wordt gemeten.
Bij Fnm en Fwm werken we niet met hun horizontale en verticale componenten maar met hun component in de richting loodrecht op de ladder. De component in de richting langs de ladder oefent geen moment uit.
Het krachtmoment rechtsom wordt geleverd door Fzl en Fzp en bedraagt Fzp*h/tan60+Fzl*L/2*cos60
Het krachtmoment linksom wordt geleverd door Fnm en Fwm en bedraagt (een figuur helpt):
Fnm*L*cos(75-60)+0,3*Fnm*L*sin(75-60)
Invullen geeft 433,013*h+312,500=1486,768 zodat h=2,7 meter [2,711856]
Fng=Fzl+Fzp-Fnmv-Fwmv=843,684N
Fwm=0,3*Fnm=85,482N
Hopelijk is dit begrijpelijk en juist.

Theo en Jaap bedankt voor jullie reacties. 
Het is mij nu duidelijk hoe ik dit moet aanpakken. 
Ook mooi dat er nog zo snel gereageerd wordt op een artikel uit 2006.

De wrijvingskracht is maximaal 0,3 x de normaalkracht. Dat maakt dit vraagstuk volgens mij onoplosbaar. Er zijn vier onbekende krachten en maar 3 evenwichtsvergelijkingen. Weliswaar weet je dat Fw<Fwmax=0,3Fn is, maar daar heb je alleen achteraf iets aan om vast te stellen of de ladder gaat glijden. Daarom wordt er vaak van uitgegaan dat de ladder als het ware met wieltjes tegen de muur staat waardoor Fw bij de muur gelijk is aan 0.