dag Thanos,

 je kunt zelf in je berichten afbeeldingen zichtbaar invoegen (dat scheelt ons weer wat werk)
gebruik het knopje berglandschap:
 
groet, jan

 zelfde richting (of voor Vlaamse lezers: zelfde zin) 


een kracht van 20 N en een kracht van 40 N die samen in dezelfde richting trekken geven een totaalkracht / nettokracht / resultantekracht van 60 N 

 bedenk eens? 

0 graden betekent dat de vectoren in dezelfde richting wijzen (en hun resultante berekend wordt door de groottes van de vectoren op te tellen. Bij 180° wijzen ze tegengesteld en trek je de groottes van elkaar af)

Er zijn 2 vectoren met grootte 20 N en 40 N. Afhankelijk van de richting waarin ze wijzen en dus de hoek die ze met elkaar maken, is de resulterende som:

a) 60 N - dat kan alleen als 20+40=60 en beide vectoren in dezelfde richting wijzen: 0º
b) 20 N - dat kan als 40-20=20 en beide vectoren tegengesteld staan: 180º
c) 45 N - die is ingewikkeld want ze liggen niet in elkaars verlengde (al dan niet tegengesteld) maar onder een hoek waardoor vectorieel opgeteld 60 N + 20 N gelijk aan 45 N wordt.
Bij benadering staan die vectoren onder 90° (maar feitelijk iets minder) omdat met Pythagoras uitgerekend 20² + 40² < 45² (nl 400 + 1600 < 2025 )

Maar hoe weet u dat bij c) een hoek van 90 graden hoort.

Want ik zou totaal geen idee hebben om een hoek erbij te bapalen. Hoe komt u bij deze benadering.

Ze hebben wel als enige een uitleg bij C, maar het is een beetje onbegrijppelijk (de reden)

Als de krachten loodrecht op elkaar staan: het antwoord ligt tussen dat van opdracht a en b in, dus de hoek moet ook er ergens tussenin liggen. Met de stelling van Pythagoras (in een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengten van de rechthoekszijden (20 N en 40 N) gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde (45 N)), kun je nagaan dat de hoek loodrecht is (90°): 45 = √202 + 402   

Ik weet wat ze bedoelen, maar voor een leerling is dit toch heel lastig, want ook met inzicht zou het niet zomaar kunnen. De precieze richtingen/hoeken van de vectoren zijn niet gegeven. Dus hoe zou u adviseren om op een benadering te komen?

 die hoek was nu juist de vraag. 

Ik vind c) trouwens ook nogal ver gezocht. 
50 N ligt ook tussen 20 en 60 N in, en is dus ook te maken, maar pythagoras doet dan al niet meer mee want er zijn geen rechte hoeken meer, en dan ga je al een heel wat ingewikkelder afleiding via sinusregel en cosinusregel moeten uitvoeren.

Dus hier maakt dat antwoordenboekje zich er al heel makkelijk van af, want die hebben de boel andersom aangepakt (van een bekende hoek naar grootte van de resultante) en dan is het inderdaad poepsimpel.

Ik weet niet dat er een hoek van 90 graden bij hoort - in feite geef ik aan dat het "bijna" 90 graden is. De precieze hoek zou wat rekenwerk vereisen en de opgave lijkt dit niet te vragen.
Maar hoe weet je precies onder welke hoek beide vectoren moeten staan?
Daarvoor moet je eerst kunnen vector-optellen. Soms gebruiken we de parallellogram-methode, soms de "kop-staart" methode. Beide zijn variaties op hetzelfde.
Hier gebruik ik de kop-staart methode. Dat wil zeggen dat je alle vectoren tegen elkaar aan legt en wel zo dat de kop/punt van de een aansluit aan de staart van de ander. De laatst toegevoegde vector heeft dan een punt die wijst naar wat de resultante kracht zou aanwijzen als die vanuit de staart van de eerste vector wordt getrokken.

Zie de tekening. Vector b wordt tegen vector a aangelegd. De punt van b wijst dan naar de positie van de punt van de resultante a+b.  En die a+b vector begint bij de staart van de eerste vector, a in ons geval.

Nu kennen we van beide vectoren a en b en het resultaat a+b alleen de lengte. Hoe staan ze ten opzichte van elkaar?
Dan teken je eerst vector a (goede lengte, willekeurige richting, ik kies ervoor langs de x-as te tekenen). Vector b moet daarbij worden opgeteld. We weten waar de staart moet zitten (in de punt van a) maar verder kan die alle kanten op wijzen. "Alle kanten" betekent dat de kop van vector b ergens op een cirkelrand zit van de cirkel die we tekenen vanuit de kop van a met een straal gelijk aan de lengte van b.
Op dezelfde manier beredeneer je waar de kop van de resultante moet zitten. Die zit ergens op een cirkel vanuit de staart van a getekend, met een straal gelijk aan de lengte van de resultante a+b.
Alleen op de snijpunten van beide cirkels wordt aan de conditie voldaan dat de resultante gemaakt kan worden uit de vector a plus een goedgerichte vector b.
En zo vind je welke hoek vectoren a en b met elkaar moeten maken.

In het vraagstuk is dat bijna 90 graden. Precies uitrekenen betekent dat je je meetkunde (en goniometrie - vooral cosinusregel)kennis op de tekening moet loslaten. Dan vind je 89,1º

Grafisch is dat een stuk simpeler trouwens±

1. vector van 40 N tekenen
2. Rondom punt van vector 40 een cirkel van 20 N tekenen (nog onbekend is de richting die die vector moet hebben) 
3. dan vanuit voet van vector 40 een vector tekenen met lengte 50 die op de cirkel uitkomt
4. ten slotte de hoek opmeten tussen de vectoren 40 en 50.

Doe je dat met een fijn potlood, en op voldoende grote schaal, dan vind je die hoek ook wel tot op een graad nauwkeurig

(hmm, Theo was er wat eerder)