Hallo Martin,

voor een adiabatisch (=isentropisch) proces in een ideaal gas geldt: p.V^gamma=constant.

Met bovenstaande vergelijking en gamma = 7/5 voor een twee-atomig gas (en dat is lucht in goede benadering) kun je het probleem oplossen als je de compressieverhouding kent.
Zie voor de p-V afhankelijkheid ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Adiabatic 

Bert

Hoi Bert,

Het probleem is dat bij de Atkinson-cycle de verhouding V4/V3 niet hetzelfde is als V1/V2 (de compressieratio).

Je kunt inderdaad met de compressieratio de druk op punt 2 uitrekenen. En, volgens mij, met de toegevoegde warmte per eenheid lucht, de druk op punt 3. Maar voor punt 4 heb je, volgens mij, de verhouding nodig tussen V4/V3 .. of zie ik iets over het hoofd? (Of kun je, vanaf punt 1 'terugrekenen' naar punt 4? Want de druk is hier hetzelfde, alleen de temperatuur verschilt (volgens mij), maar weer weet je de verhouding V4/V1 niet..)

Voor de Otto cyclus lukt het me wel, omdat daar V4/V3 hetzelfde is als V1/V2 (de compressieratio) maar bij de Atkinson niet :?

Heeft u misschien nog een tip voor mij, wat zie ik over het hoofd? :0 Heeft u ook mijn (slecht getekende) p-V diagrammen gezien van de Otto en Atkinson cyclus, voor zover ze u niet bekend zijn natuurlijk ;)

Even, voor het idee, zo los ik het op voor de Otto cyclus, met behulp van een tabel met de ideale gaseigenschappen van lucht:

Compressieratio r = 8
Maximale temperatuur = 2000 K
p1= 100 kPa
T1=300 K,

interpoleren uit de tabel:
u1 = 214.07 kJ/kg en
vr1 = 321.2 (relatieve volume)
Proces 1-2 isentropische compressie
vr2 = (V2/V1) * vr1 = (vr1/r) = 321.2 / 8 = 77.65
Interpoleren met vr2 in de tabel:
u2 = 491.2 kJ/kg en T2=673 K
p2 = p1 * (T2/T1) * (V1/V2) = (1bar) * (673/300) * (8) = 17.95 bar

Proces 2-3 vindt plaats bij constant volume
p3 = p2 * (T3/T2) = 17.95 * (2000/673) = 53.3 bar
Uit de tabel, bij T3 = 2000 K u3 = 1678.7 kJ/kg en vr3 = 2.776

Proces 3-4 adiabatische expansie
vr4 = vr3 * (V4/V3) = vr3 * (V2/V1) = 2.776 * 8 = 22.21
Interpoleren in de tabel met vr4 = 22.21 geeft:
T4=1043K en u4=795.8 kJ/kg

Hiermee weet je de u op elk punt van de cyclus en is de thermische efficiëntie etc. uit te rekenen..
Eventueel nog de druk op punt 4, met de ideale gaswet
V4=V1: p4= p1* (T4/T1) = (1bar) * (1043/300) = 3.48 bar

Maar (op deze manier in ieder geval) ben ik wel afhankelijk van de verhouding tussen V4/V3. Bovendien weet ik niet wat het totale volume betreft, ik kan alleen uit de tabel het relatieve volume, of de relatieve druk interpoleren

Hoi Martin,

voor een ideaal gas kun je - zoals ik al schreef - alles uitrekenen. Maar als ik jouw berekening voor de Otto-cyclus naloop kom ik tot de conclusie dat de getallen uit de tabellen die je gebruikt niet in overeenstemming zijn met de ideale gaswetten. Omdat het me niet duidelijk is wat "u" voorstelt (interne energie, enthalpie ?) en ik ook niet weet wat er precies in de tabellen is af te lezen, is het moeilijk voor me om je verder te helpen. Overigens geeft het niet dat je niet weet wat het totale volume is. De gevraagde grootheden zijn per kg dus het maakt niet uit hoeveel lucht je hebt.

Bert

Hoi Bert,

De u is inderdaad de interne energie in kJ/kg.
Bijvoorbeeld voor de netto arbeid van de cyclus:
( W(cyclus) / m ) = (W34 / m ) - (W12 / m) = (u3 - u4) - (u2 -u1)

Een poging voor de tabel: T h pr u vr so (K) (kJ/kg) (kJ/kg) (kJ/kg*K) 200 199.97 0.3363 142.56 1707.0 1.29559 210 209.97 0.3987 149.69 1512.0 1.34444 220 219.97 0.4690 156.82 1346.0 1.39105 230 230.02 0.5477 164.00 1205.0 1.43557 240 240.02 0.6355 171.13 1084.0 1.47824 250 250.05 0.7329 178.28 979.0 1.51917 260 260.09 0.8405 185.45 887.8 1.55848 270 270.11 0.9590 192.60 808.0 1.59634 280 280.13 1.0889 199.75 738.0 1.63279 285 285.14 1.1584 203.33 706.1 1.65055 290 290.16 1.2311 206.91 676.1 1.66802 295 295.17 1.3068 210.49 647.9 1.68515 300 300.19 1.3860 214.07 621.2 1.70203

http://www.google.nl/search?hl=nl&q=Ideal+gas+table+air&meta=En dan bij de eeste link (kahuna.sdsu.edu) op "in cache" klikken en even wachten..Deze tabel gebruk ik...

Hoi Martin,bedankt voor de link naar de tabel.Jammer dat de oorspronkelijke site niet meer toegankelijk is.Nog wat vragen:- moet je per se deze tabel gebruiken?- zo ja, weet je hoe de waarden in de tabel berekend zijn?Bert

Hoi Bert,Nee, de tabel hoef ik niet perse te gebruiken, dit is alleen de manier waarop 'ik weet hoe het moet'. Ik weet niet precies hoe de waarden in deze tabel berekend zijn, ik heb alleen een bronomschrijving:Overgenomen uit K. Wark 'Thermodynamics', 4th ed., New York 1983Als gebasseerd op J.H.Keenan & J. Kaye, 'Gas Tables', New York 1945Maar hier zul je niet heel veel verder komen, sinds het alleen verwijzingen zijn...Maar nogmaals, de tabel hoef ik niet perse te gebruiken.Had u mijn P-v diagrammen al gezien?Groet,Martin

Dag Martin,je bent wel lekker snel met je reacties.Als het zonder tabel mag, waarom doe je dat dan niet?Ik zou p*(V)^1.4 = constant gebruiken als vergelijking voor de isentropische stukken (dat mag, zoals gezegd voor een twee-atomig ideaal gas); je kunt dan zonder probleem beide cycli berekenen.Ik doe het je op verzoek graag voor.Bert

Sorry vor mijn late reactie:de p-V diagrammen heb ik gezien!

Hoi Bert,Als u het voor beide cycli eens voor zou kunnen doen, heel graag!Als gegevens kunt u dan natuurlijk iets willekeurigs gebruiken, of:T1 = 300Kp1 = 100 kPa (1bar)compressieratio = 8.5De constant volume warmtetoevoeging per eenheid lucht is 1400 kJ/kgOf in ieder geval deze vier soort gegevens.Dus dan bv.T1 = 500Kp1 = 100 kPacompressieratio = 12De constant volume warmtetoevoeging per eenheid lucht = 1400 kJ/kgMaar dat kunt u zelf vast heel goed verzinnen... [nat]Groet,Martin

Hoi Martin,hier de gevraagde berekening voor de Otto-cyclus(ik houd het maar even bij een compressieverhouding van 8).Proces 1-2 isentropische compressiep1*V1^gamma=p2*V2^gamma ("^" staat voor machtsverheffen)dus p2=p1*(V1/V2)^gamma=p1* 8^1.4= p1* 18.38 (iets meer dan jouw 17.95)p1*V1/T1 = p2*V2/T2 dus T2=(p2/p1)*(V2/V1)*T1=(18.38/8)*T1=2.297*T1=689 K (iets minder dan jouw 673 K)Proces 2-3 vindt plaats bij constant volumep3 = p2 * (T3/T2) = 18.38 * (2000/689) = 53.2 bar (bijna hetzelfde ...)V3=V2Proces 3-4 adiabatische expansiep4*V4^gamma=p3*V3^gammadus p4=p3*(V3/V4)^gamma=p3*(1/ 8)^1.4= p3/18.38=2.896 (aanzienlijk minder dan jouw 3.48)Als je de ideale gaswetten mag gebruiken dan kun je stap 4 ook zonder probleem voor het Atkinson-proces berekenen:Proces 3-4 adiabatische expansie (Atkinson-proces)p4*V4^gamma=p3*V3^gamma, waarbij p4=p1=1.0 barDus V4=V3*(p3/p4)^(5/7)=17.11*V3=2.14*V1Bert

Hoi Bert,Het was even etens- en bedenktijd...Nu ga ik even redeneren in mijn bericht, ik hoop dat het duidelijk wordt...Stel je weet niet wat de maximumtemperatuur van de cyclus is, maar wel dat de constant volume warmte toevoeging = 1400 kJ/kgVerder:Otto-cyclusT1 = 300 Kp1 = 1 bar(!)compressier. = 8.5 (ipv 8!)Dan ga ik rekenenProces 1-2 isentropische compressie p1*V1^gamma=p2*V2^gamma dus p2=p1*(V1/V2)^gamma=p1* 8.5^1.4= p1* 20.007p1*V1/T1 = p2*V2/T2 dus T2=(p2/p1)*(V2/V1)*T1=(20.007/8.5)*T1=2.354*T1=706 K Proces 2-3 constant volume warmte toevoegingDan stel ik:Q(in) / m = (u3 - u2)Q(in) / m = 1400 kJ/kgu2 is (dan toch 'helaas' met de tabel) bij T2=706 K, 516.5 kJ/kg1400 = (u3 - 516.5)u3 = 1400 + 516.5 = 1916.5 kJ/kgDan (interpoleren) T3 = 2240 Kp3 = p2 * (T3/T2) = 20.007 * (2240/706) = 63.48 barV3=V2 Proces 3-4 adiabatische expansie p4*V4^gamma=p3*V3^gamma dus p4=p3*(V3/V4)^gamma=p3*(1/8.5)^1.4= p3/20.007=3.17 barOmdat V4=V1 p4= p1 * (T4/T1)3.17 = (T4/300)T4 = 951 KDan voor de Atkinson-cyclus 3-4 berekenen: Proces 3-4 adiabatische expansiep4*V4^gamma=p3*V3^gamma en p4=p1=1.0 bar Dus V4=V3*(p3/p4)^(5/7)=19.39*V3V4=19.39*V3 dus V4/V3=19.39p1*V1^gamma=p2*V2^gamma dus p2=p1*(V1/V2)^gamma=p1* 8.5^1.4= p1* 20.007p3*V3/T3 = p4*V4/T4 dus T4=(p4/p3)*(V4/V3)*T3=(1/63.48)*T3=0.01575*T3=35.28 K!!!!!!!! >:) !!!!!!!!Kunt u zich hierin vinden, of ziet u nu nog een manier om dit zonder 'tabelgebruik' uit te rekenen??Zijn de waarden waarop ik kom enigsinds realistisch, of krijgt u er toch een verkeerd gevoel bij?Alvast reuze bedankt voor de hulp!Groet,Martin

Hoi Martin,in de laatste stap heb je de factor V4/V3 niet meegenomen.Doe je dat wel dan vind je voor T4: 684 K.(T4 moet wel hoger zijn dan T1, want het punt (p4,V4) ligt rechts van (p1,V1) in het (p,V)-diagram)Tenslotte: als je lucht beschouwt als een twee-atomig ideaal gas kun je U direct berekenen:U=Cv.T waarbijU: de inwendige energie per molCv=5/2*R (voor een gas dat uit 2-atomige moleculen bestaat)R: de gasconstante (8.3145 J/mol/K)Voor lucht moet je dan nog weten dat 1 mol 28.8 g weegt.1400 kJ/kg komt dan overeen met 40.3 kJ/mol.Je krijgt dan andere getallen, (T3 wordt b.v. 2644 K) maar je kunt in ieder geval de Otto-cyclus en de Atkinson-cyclus op een consistente wijze met elkaar vergelijken.Natuurlijk geven de tabellen een betere beschrijving van de eigenschappen van lucht. Er is rekening gehouden met het feit dat de soortelijke warmte afhangt van de temperatuur, en dat heeft een heel duidelijk effect, vooral bij hogere temperaturen (zie opm. over T3 hierboven).Mij is echter niet duidelijk hoe je de gegevens voor een isentropisch proces uit deze tabellen kunt halen.Misschien weet iemand anders dat wel !Bert

Ik vond het inderdaad al gek dat de temperatuur ver onder kamertemperatuur, zelfs ver onder nul geraakte.. Maar ik heb inderdaad de V4/V3 verhouding niet meegenomen..Het lijkt me inderdaad 'nuttiger' om beide cycli zonder tabel uit te rekenen, zodat een eerlijkere vergelijking kan worden opgesteld. Ik ga er nog wel even mee stoeien, en post mijn eindresultaat ook nog wel.Nogmaals bedankt,Martin