Dag Wendy,

Zij ra=straal van de aarde=6,37*10^6 m;
rm=straal van de maan=1,74*10^6 m;
g=valversnelling aan het aardoppervlak=9,8 m/s²;
r=afstand vanaf het middelpunt van de aarde resp. de maan tot de te verplaatsen puntmassa van 1 kg;
x=afstand vanaf het middelpunt van de aarde tot de puntmassa.

Laten we aannemen dat de gegeven afstand van aarde tot maan (60*ra) gemeten is tussen hun middelpunten, niet tussen hun oppervlakken.
Zij Ma=massa van de aarde;
Mm=massa van de maan;
m=puntmassa van 1 kg.

Eerst bepalen we de arbeid W die ik moet verrichten om een puntmassa van 1 kg te verplaatsen in het gravitatieveld van de aarde. Daartoe moet ik een kracht uitoefenen die in elk punt even groot is als de gravitatiekracht van de aarde op de puntmassa.

De gravitatiekracht is Fg=gamma*Ma*m/r²=gamma*Ma*1/r²=gamma*Ma/r²
Mijn arbeid is W=integraal(F dr)=integraal(gamma*Ma/r² dr)=-gamma*Ma*1/r
Ik verplaats m van r=ra (aardoppervlak) tot r=x >
W=gamma*Ma*(1/ra-1/x)

Omdat aan het aardoppervlak geldt Fg=Fz
> gamma*Ma*m/ra²=m*g > gamma*Ma=g*ra²,
zodat mijn arbeid is
W=g*ra²(1/ra-1/x) [1].

Ik kan echter met minder arbeid volstaan. De gravitatiekracht van de man levert een deel van de benodigde arbeid.
De gravitatiekracht van de maan is Fg=gamma*Mm*m/r²=gamma*Mm/r².
Deze kracht is gericht naar het middelpunt van de maan en is dus tegengesteld gericht aan de vector r.
Daarom krijgt Fg in de nuvolgende integraal een minteken.

De maan verricht een arbeid
W=integraal(-gamma*Mm/r² dr)=gamma*Mm*1/r
Zoals hierboven aangegeven, verplaats ik m van het aardoppervlak tot een afstand x vanaf het middelpunt van de aarde.
Ten opzichte van het middelpunt van de maan gaat r dan van r=60*ra-ra=59*ra naar r=60*ra-x.
Daarbij verricht de maan een arbeid
W=gamma*Mm*(1/(60*ra-x)-1/(59*ra))
Analoog aan de situatie op aarde geldt op de maan Fg=Fz
> gamma*Mm*m/rm²=m*0,6*g gamma*Mm=0,6*g*rm²
> de maan verricht W=0,6*g*rm²*(1/(60*ra-x)-1/(59*ra)) [2].

Deze arbeid hoef ik zelf niet te verrichten. Ik trek deze arbeid [2] dus af van [1]. De arbeid die ik moet verrichten, is W=g*ra²(1/ra-1/x)-0,6*g*rm²*(1/(60*ra-x)-1/(59*ra)) Met x=60*ra-rm (=maanoppervlak) vinden we voor mijn arbeid W=51 MJ.

Dat is misschien de meest voor de hand liggende uitkomst. Reeds vóór x=60*ra-rm passeren we echter een punt waar de gravitatiekracht van de maan groter wordt dan die van de aarde. Gelijkstellen van Fg van de aarde resp. de maan leert dat dit gebeurt bij xgelijk=49,522*ra.
Om tot daar te geraken, moet ik een arbeid verrichten W=61 MJ; hierin is opnieuw rekening gehouden met de door de maan verrichte arbeid. Vanaf dat punt xgelijk tot aan het maanoppervlak verricht de maan meer versnellende arbeid dan de aarde remarbeid verricht. Indien ik heb verricht W=61 MJ, treft onze puntmassa het maanoppervlak met een kinetische energie 61-51=10 MJ. Als ik deze Ek in mindering mag brengen op de door mij verrichte arbeid van 61 MJ, is de minimale arbeid die ik moet verrichten 51 MJ.

Hierboven is aangenomen dat de massaverdeling in de aarde bolsymmetrisch is en in de maan ook. Aangenomen is dat de invloed van de gravitatie van andere hemellichamen, bij voorbeeld de zon, verwaarloosbaar is. Aangenomen is dat de rotatie van de aarde om zijn as buiten beschouwing mag worden gelaten (kinetische energie door rotatie die m bij het vertrek reeds meekrijgt).

Ook is de wrijving in de aardatmosfeer verwaarloosd.
Behouden vaart gewenst.
Graag discussie...

In elk geval bedankt voor uw (lijvige) uitleg.Ik had in tussentijd reeds een deel gevonden nl dat Epot2 - Epot1 mij de totale arbeid moest leveren. Door middel van uw uitleg is dit me ook een stuk duidelijker geworden.Ik volgde uw redenering tot gamma*Ma=r*ra²Waaruit ik dan afleidde:W=gamma*ra²(1/x-1ra) met dus uw gerbuikte xIk bekom hieruit 1,66*10^8 ??groetjes en alvast nogmaals bedankt hé !

Dag Wendy,Uw benadering met Upot is prima; ze komt getalsmatig op hetzelfde neer als W=int(F dr).Uw uitdrukkingen gamma*Ma=r*ra² en W=gamma*ra²(1/x-1ra) lijken me niet geheel juist.Liever gamma*Ma=g*ra² en W=g*ra²(1/ra-1/x) [1] met gamma=gravitatieconstante (6,67*10^-11) en g=valversnelling (9,8 m/s²); g is niet gamma.Laten we de massa brengen van het aardoppervlak naar het maanoppervlak.De afstand vanaf het middelpunt van de aarde gaat danvan ra=6,37*10^6 m (aardoppervlak)naar 60*ra-rm=60*6,37*10^6-1,74*10^6=380*10^6 m (maanoppervlak).De totaal benodigde arbeid is Wtot=g*ra²*(1/ra-1/(60*ra-rm)) >Wtot=9,8*(6,37*10^6)²*(1/6,37*10^6-1/380*10^6)=6,1*10^7 J=61 MJIk hoef niet al die arbeid zelf te verrichten, want de gravitatiekracht van de maan verricht een deel van Wtot. De afstand vanaf het middelpunt van de maan gaatvan 60*ra-ra=59*ra=59*6,37*10^6=376*10^6 m (aardoppervlak)naar rm=1,74*10^6 m (maanoppervlak).De door de maan verrichte arbeid is Wmaan=0,6*g*rm²*(1/rm-1/(59*ra)) >Wmaan=0,6*9,8*(1,74*10^6)²*(1/1,74*10^6-1/376*10^6)=1,0*10^7 J=10 MJ.Ik moet zelf verrichten Wtot-Wmaan=61-10=51 MJ.Het alternatief met een verplaatsing van het aardoppervlak tot x=49,522*ra laat ik nu even rusten.

Héél erg bedankt voor uw bijzonder goede uitleg!! Ik was echt heel blij dat i kdoor uw hukp uiteindelijk dejuiste oplossing kon vinden. Ik had er namelijk vooraf ook al heel wat energie ingestoken om het tevergeefs te kunnen vinden...vele groetjeswendy