Dag Stefanie,

Laten we aannemen dat er geen wrijving is en dat bij het gat geen contractie optreedt, zie (#).

a Voor de snelheid vx waarmee de moleculen uit het gat bewegen, geldt vx=wortel(2*g*h).
Dit is de wet van Torricelli in formulevorm, die volgt uit de wet van Bernoulli.

Eenmaal uit het gat, gedragen de moleculen als bij een horizontale worp. Verticaal leggen ze een afstand y=H-h af.
De tijdsduur t van gat tot vloer volgt uit
y=H-h=1/2*g*t² > t=wortel[2*(H-h)/g]

De gevraagde afstand is
x=vx*t=wortel(2*g*h)*wortel[2*(H-h)/g]=2*wortel[(H-h)*h]

b Ja, dat kan, op hoogte h2=H-h1.
Eis x2=x1
> 2*wortel[(H-h2)*h2]=2*wortel[(H-h1)*h1]
> (H-h2)*h2=(H-h1)*h1 > h2²-H*h2+H*h1-h1²=0
> h2={H+wortel[H²-4*(H*h1-h1²)]}/2={H+wortel[H²-4*H*h1+4*h1²]}/2
> h2={H+wortel[(H-2*h1)²]}/2={H+(H-2*h1)]}/2=H-h1
(met h2={H-wortel[H²-4*(H*h1-h1²)]}/2 volgt h2=h1, triviaal)

c Eis dat de afgeleide naar h van x=2*wortel[(H-h)*h] nul is.
De afgeleide is {2*(-h+H-h)}/{2*wortel[(H-h)*h]}=0 > h=H/2

Mee eens?

(#) In de praktijk treedt dikwijls contractie op: het dunner worden van de waterstraal die uit het gat in de zijwand treedt. Omdat daarover niets staat in de opgave, is contractie hierboven buiten beschouwing gelaten.

Dag Stefanie, Het debiet PHI met wrijving bij laminaire stroming is
PHI=(pi*dp*R^4)/(8*èta*L) met
pi=3,14...;
dp=drukverschil over een lengte L van de buis;
R is de straal van de buis;
èta is de dynamische vicositeit (relatie van Hagen-Poiseuille).

De stroomsnelheid op een afstand r vanaf de as is
v(r)=dp/(4*èta*L)*(R²-r²)
Op de as is dit v(0)=dp/(4*èta*L)*R²
> daarvan de helft is v=dp/(8*èta*L)*R²
Invullen in PHI=v*A geeft
PHI={dp/(8*èta*L)*R²}*{pi*R²}=(pi*dp*R^4)/(8*èta*L)

Beste,In elk geval super bedankt! Ik heb alleen een klein vraagje bij 1c. Hoe komt u erij om het af te leiden? Ik kan me daarbij ff niet volgen...Als u zo vriendelijk zou willen zijn...grts

Dag Stefanie,Met dank voor uw reactie, nog een verduidelijking...Bij 1c moet de stroom zo ver mogelijk reiken: de horizontaal gemeten afstand x moet maximaal zijn. Daarvoor is nodig dat de afgeleide van x naar h [dus de functie x(h) gedifferentieerd naar h] nul is. Daarom is de afgeleide bepaald.(Voor de volledigheid: de voorwaarde dx/dh=0 is noodzakelijk, maar op zich zelf niet voldoende. Ook is nodig dat dx/dh groter dan nul is voor h iets kleiner dan H/2, en dat dx/dh kleiner dan nul is voor h iets groter dan H/2. Dat is hier inderdaad het geval.)

Bedankt voor uw snelle antwoord. Ja, maar als u het heeft over ene afegeide denk ik aan de raaklijn aan de kromme en dus v(x)=0 ?sorry dat ik zo lastig doe hoor...PS: Vraagje drie toevallig over het hoofd gezien >:)groetjes

Dag Stefanie,Inderdaad moet de raaklijn aan de grafiek van x(h)=2*wortel[(H-h)*h] bij het gezochte maximum horizontaal zijn, maar pas op: het gaat hier om een diagram met de variabele h horizontaal en de afstand x verticaal.U denkt aan v(x)=0..... dat is niet bedoeld. Misschien denkt u aan v omdat dit de afgeleide van x is; maar dan gaat het om de afgeleide van x naar de tijd t, en om een raaklijn aan een heel andere grafiek, namelijk een (x;t)-grafiek.P.S.1: U doet niet lastig. U bent volhardend, wat bij natuurkunde goed van pas komt.P.S.2: vraag 3 niet over het hoofd gezien, maar ehh.. doucement juffrouw, het is m'n vrije zondag. En als madammeke haast heeft: Belgische bonbons worden in Nederland zeer geapprecieerd.

Dag Stefanie,

Hieronder wordt verdergerekend met niet-afgeronde tussenwaarden.

(a) Limietsnelheid
Als de bol de limietsnelheid heeft, is de snelheid constant en de resulterende kracht Fres nul. De resulterende kracht wordt gevormd door de wrijvingskracht Fw (omhoog) plus de opwaartse kracht Fop (omhoog) en de zwaartekracht Fz op de bol (omlaag). In eerste aanleg gebruiken we voor Fw de wet van Stokes:
Fw=6*pi*èta*r*v=6*pi*1,47*0,03*v=0,83*v
De opwaartse kracht van de glycerine op de bol is gelijk aan de zwaartekracht op de door de bol verplaatste glycerine (Archimedes):
Fop=mgly*g=rhogly*V*g=1260*0,00011*9,8=1,4 N
met volume van de bol is V=4/3*pi*r^3=4/3*pi*0,03^3=0,00011 m^3.
De zwaartekracht op de bol is Fz=m*g=rhobol*V*g=1560*0,00011*9,8=1,7 N.

Krachtenomhoog=krachtenomlaag, dus
0,83*v+1,4=1,7 > v=0,40 m/s

Mijn inziens is deze waarde niet juist, zie onder bij (c). Maar het is wel de door u genoteerde uitkomst. Daarom neem ik bij (b) toch aan dat de gevolgde benadering juist is. (

b) Snelheid als a=0,25 m/s²
Eerste mogelijkheid: de versnelling a is omlaag gericht; bij voorbeeld als de bol vanuit rust op snelheid komt.
Fres=Fz-Fop-Fw want Fop en Fw zijn tegengesteld gericht aan Fres en Fz.
Fres=m*a=rhobol*V*a=1260*0,00011*0,25=0,044 N
Fz=1,7 N en
Fop=1,4 N en
Fw=0,83*v zie boven.
Invullen geeft 0,044=1,7-1,4-0,83*v
en v=(1,7-1,4-0,044)/0,83=0,3 m/s [0,347]

Tweede mogelijkheid: de versnelling a is omhoog gericht; bij voorbeeld als de bol van grote hoogte in de vloeistof plonst en wordt afgeremd.

Fres=Fop+Fw-Fz want Fres en Fw en Fop zijn omhoog gericht en Fz wijst omlaag.
Invullen geeft 0,044=1,4+0,83*v-1,7 en v=0,5 m/s [0,453]

(c) Meer over de limietsnelheid
De wet van Stokes voor Fw geldt alleen indien het kental van Reynolds Re kleiner is dan circa 0,5.
Met de gevonden waarde voor v hebben we
Re=rhogly*v*Diameterbol/èta=1260*0,40*0,06/1,47=21
zodat Fw niet gelijk is aan 6*pi*èta*r*v.
De bol wordt niet laminair omstroomd.
In tweede aanleg nemen we daarom Fw=1/2*rhogly*cw*A*v² met cw=weerstandscoëfficiënt en A=frontale oppervlakte (=doorsnede van de bol).

Geschat op grond van aanvullende informatie: cw=3. Fw=1/2*rhogly*cw*A*v²=1/2*1260*3*(pi*0,03²)*v²=5,3*v²
Opnieuw krachtenevenwicht 5,3*v²+1,4=1,7 en v=0,25 m/s,
anders dan u bij de vraag noteerde.