afleiding slingerformule
Lisanne stelde deze vraag op 06 december 2005 om 22:12.
Hallo allemaal! Ik had een vraagje, ik wil graag iets weten over de formule: T=2π*√(l/g) van een slinger Weet iemand hoe deze formule is afgeleid?? Groetjes!
Reacties
Jaap
op
07 december 2005 om 00:03
Dag Lisanne,
Kort antwoord
Je kunt de formule afleiden door te bedenken dat de kracht die de massa probeert terug te drijven naar de evenwichtsstand, (ongeveer) recht evenredig is met de uitwijking. Als de massa tijdens het slingeren 3 maal zo ver uit de evenwichtsstand is, is de terugdrijvende kracht ook (ongeveer) 3 maal zo groot.
Redeneer-achtig antwoord
Misschien ken je de formule voor de periode T van een massa m die op en neer danst aan een veer met veerconstante C > T=2*pi*wortel(m/C)
Die formule en jouw slingerformule T=2*pi*wortel(L/g) lijken op elkaar.
Op de plek van jouw slingerlengte L staat hier m. Hoe langer de slinger, hoe slomer hij heen en weer gaat. En hoe groter de massa m, hoe slomer hij op en neer danst aan de veer. Dus zou wel eens kunnen kloppen...
Op de plek van jouw valversnelling g staat hier C. Beide zeggen iets over de grootte van een kracht die de massa in zijn evenwichtsstand probeert terug te brengen. Dat zou ook wel eens kunnen kloppen...
Langer antwoord
We nemen een puntmassa m die hangt onderaan een massaloos koord met lengte L.
Als m stilhangt, is hij in de evenwichtsstand E: onder het ophangpunt O.
Trek je de massa opzij naar een punt P, krijgt hij een uitwijking.
Voor die uitwijking kun je nemen: de lengte van de cirkelboog EP.
Het ophangkoord OP maakt dan een hoek alfa met de verticaal OE.
Het wordt duidelijker als je dat tekent...
De lengte van de cirkelboog EP is L*alfa (met de hoek alfa in de eenheid radialen).
Op de massa werkt een terugdrijvende kracht Ft, die probeert de uitwijking te verkleinen. De richting van die kracht is de richting van de raaklijn aan de cirkelboog. De terugdrijvende kracht is de resultante van de zwaartekracht op m (verticaal omlaag) en de spankracht van het koord op m (gericht langs het koord).
Als je een krachtenparallellogram tekent, zie je dat sin(alfa)=Ft/Fz > Ft=Fz*sin(alfa)=m*g*sin(alfa).
Als alfa niet te groot is, geldt ongeveer sin(alfa)=alfa, zodat Ft=m*g*alfa Als alfa een hoek naar rechts is, wijst Ft naar links (en omgekeerd). Daarom is de resulterende kracht Fres=Ft=-m*g*alfa.
Volgens de tweede wet van Newton is Fres=m*a
De versnelling a is de tweede afgeleide van de uitwijking naar de tijd (afgeleide van de afgeleide).
Als je de uitwijking L*alfa differentieert, krijg je L*d(alfa)/dt.
Nogmaals differentiëren geeft versnelling=a=L*d²alfa/dt².
Dus Fres=m*a=m*L*d²alfa/dt².
Nu weten we dat Fres=m*L*d²alfa/dt²=-m*g*alfa > d²alfa/dt²=-(g/L)*alfa
We verzinnen een constante c zodat c²=g/L
Dan staat er d²alfa/dt²=-c²*alfa
Dat blijkt te kloppen als je neemt alfa=A*sin(c*t)
(Controleer maar door alfa twee maal te differentiëren.)
Een sinusfunctie is weer "terug bij af" als je 2*pi verder bent.
Terug bij af betekent dat je één hele periode T verder bent.
Dus c*T=2*pi > T=2*pi*1/c c²=g/L
> c=wortel(g/L)
> 1/c=wortel(L/g)
invullen geeft T=2*pi*wortel(L/g)
Kort antwoord
Je kunt de formule afleiden door te bedenken dat de kracht die de massa probeert terug te drijven naar de evenwichtsstand, (ongeveer) recht evenredig is met de uitwijking. Als de massa tijdens het slingeren 3 maal zo ver uit de evenwichtsstand is, is de terugdrijvende kracht ook (ongeveer) 3 maal zo groot.
Redeneer-achtig antwoord
Misschien ken je de formule voor de periode T van een massa m die op en neer danst aan een veer met veerconstante C > T=2*pi*wortel(m/C)
Die formule en jouw slingerformule T=2*pi*wortel(L/g) lijken op elkaar.
Op de plek van jouw slingerlengte L staat hier m. Hoe langer de slinger, hoe slomer hij heen en weer gaat. En hoe groter de massa m, hoe slomer hij op en neer danst aan de veer. Dus zou wel eens kunnen kloppen...
Op de plek van jouw valversnelling g staat hier C. Beide zeggen iets over de grootte van een kracht die de massa in zijn evenwichtsstand probeert terug te brengen. Dat zou ook wel eens kunnen kloppen...
Langer antwoord
We nemen een puntmassa m die hangt onderaan een massaloos koord met lengte L.
Als m stilhangt, is hij in de evenwichtsstand E: onder het ophangpunt O.
Trek je de massa opzij naar een punt P, krijgt hij een uitwijking.
Voor die uitwijking kun je nemen: de lengte van de cirkelboog EP.
Het ophangkoord OP maakt dan een hoek alfa met de verticaal OE.
Het wordt duidelijker als je dat tekent...
De lengte van de cirkelboog EP is L*alfa (met de hoek alfa in de eenheid radialen).
Op de massa werkt een terugdrijvende kracht Ft, die probeert de uitwijking te verkleinen. De richting van die kracht is de richting van de raaklijn aan de cirkelboog. De terugdrijvende kracht is de resultante van de zwaartekracht op m (verticaal omlaag) en de spankracht van het koord op m (gericht langs het koord).
Als je een krachtenparallellogram tekent, zie je dat sin(alfa)=Ft/Fz > Ft=Fz*sin(alfa)=m*g*sin(alfa).
Als alfa niet te groot is, geldt ongeveer sin(alfa)=alfa, zodat Ft=m*g*alfa Als alfa een hoek naar rechts is, wijst Ft naar links (en omgekeerd). Daarom is de resulterende kracht Fres=Ft=-m*g*alfa.
Volgens de tweede wet van Newton is Fres=m*a
De versnelling a is de tweede afgeleide van de uitwijking naar de tijd (afgeleide van de afgeleide).
Als je de uitwijking L*alfa differentieert, krijg je L*d(alfa)/dt.
Nogmaals differentiëren geeft versnelling=a=L*d²alfa/dt².
Dus Fres=m*a=m*L*d²alfa/dt².
Nu weten we dat Fres=m*L*d²alfa/dt²=-m*g*alfa > d²alfa/dt²=-(g/L)*alfa
We verzinnen een constante c zodat c²=g/L
Dan staat er d²alfa/dt²=-c²*alfa
Dat blijkt te kloppen als je neemt alfa=A*sin(c*t)
(Controleer maar door alfa twee maal te differentiëren.)
Een sinusfunctie is weer "terug bij af" als je 2*pi verder bent.
Terug bij af betekent dat je één hele periode T verder bent.
Dus c*T=2*pi > T=2*pi*1/c c²=g/L
> c=wortel(g/L)
> 1/c=wortel(L/g)
invullen geeft T=2*pi*wortel(L/g)
