oefeningen rond trillingen
Elke stelde deze vraag op 04 december 2005 om 20:21.
Zouden jullie ook mij kunnen helpen met de volgende vragen aub?
1. Bepaal de vergelijking van de baan van de resulterende beweging van twee onderling loodrechte bewegingen gegeven door x=4sinwt en y=3sin(wt+a) voor a=0 , Pi/2 en Pi
2. Een stalen kogel (m=16g) valt verticaal in een cilinder gevuld met olie, men stelt vast dat de limietsnelheid 0,60 m/s. Dezelfde kogel wordt vastgehecht aan een veer met k=7,5N/m, ondergedompeld in de cilinder en tot oscilleren gebracht. Vind de hoekfrequentie wanneer het stelsel zou trillen in afwezigheid van de olie en de algemene uitdrukking van de uitwijking x(t) . Neem aan dat de visceuze kracht evenredig is met v(L)
Dus: gevraagd w , w.olie , en x (x=A.e^(-8,175t)cos(20,05t)) Wat ik wel reeds vond: w²= k/m = 21,65rad/s
Maar hoe ik de rest kan berekenen weet ik niet??
3. Een lichaam, massa m=100kg is opgehangen aan een lange vertical spiraalveer. Men trekt het lichaam naar beneden en men brengt het 10cm uit zijn periode van 2s. Wat is de versnelling als het paseert door een punt 5cm boven de evenwichtspositie?
Hoeveel tijd is er nodig om tijdens de opwaartse beweging vanuit 5cm onder het evenwichtspunt, 5cm erboven te komen?
Alvast hééééél erg bedankt! :)
1. Bepaal de vergelijking van de baan van de resulterende beweging van twee onderling loodrechte bewegingen gegeven door x=4sinwt en y=3sin(wt+a) voor a=0 , Pi/2 en Pi
2. Een stalen kogel (m=16g) valt verticaal in een cilinder gevuld met olie, men stelt vast dat de limietsnelheid 0,60 m/s. Dezelfde kogel wordt vastgehecht aan een veer met k=7,5N/m, ondergedompeld in de cilinder en tot oscilleren gebracht. Vind de hoekfrequentie wanneer het stelsel zou trillen in afwezigheid van de olie en de algemene uitdrukking van de uitwijking x(t) . Neem aan dat de visceuze kracht evenredig is met v(L)
Dus: gevraagd w , w.olie , en x (x=A.e^(-8,175t)cos(20,05t)) Wat ik wel reeds vond: w²= k/m = 21,65rad/s
Maar hoe ik de rest kan berekenen weet ik niet??
3. Een lichaam, massa m=100kg is opgehangen aan een lange vertical spiraalveer. Men trekt het lichaam naar beneden en men brengt het 10cm uit zijn periode van 2s. Wat is de versnelling als het paseert door een punt 5cm boven de evenwichtspositie?
Hoeveel tijd is er nodig om tijdens de opwaartse beweging vanuit 5cm onder het evenwichtspunt, 5cm erboven te komen?
Alvast hééééél erg bedankt! :)
Reacties
Elke
op
04 december 2005 om 20:33
Bij het bekijken van dit forum merk ik dat er nog een Elke in het spel is... Bij deze, om verwarring te voorkomen... ;)
Jaap
op
04 december 2005 om 23:40
Dag Elke II,
Wordt met limietsnelheid bedoeld de constante eindsnelheid die de zinkende kogel bereikt onder invloed van de zwaartekracht en de wrijvingskracht?
Wordt met de visceuze kracht de wrijvingskracht Fw van de olie op de met willekeurige snelheid bewegende kogel bedoeld?
U noteert "visceuze kracht evenredig is met v(L)"... ik begrijp de L niet; al oscillerend heeft de kogel niet steeds de limietsnelheid?
Wordt met de gevraagde hoekfrequentie bedoeld omega=2*pi*frequentie?
Omega0, zonder olie, heeft u zelf gevonden, afgezien van wat verwarring met kwadraat en wortel.
De bewegingsvergelijking van de gedempte trilling is m*a=-k*x-c*v
met m=massa=0,016 kg;
a=versnelling;
k=veerconstante=7,5 N/m;
c uit Fw=-c*v;
v is snelheid.
Bij constante eindsnelheid ve geldt, afgezien van het teken,
Fw=Fz > c*ve=m*g > c=m*g/ve=0,016*9,81/0,60=0,26 kg/s
We kunnen de bewegingsvergelijking noteren als een differentiaalvergelijking.
Een bijzondere oplossing daarvan is x(t)=A*e^(-gamma*t)*sin(omega*t) met gamma=c/(2*m)=(m*g/ve)/(2*m)=g/(2*ve)=9,81/*2*0,60=8,2 rad/s [8,1750]
en in de olie omega=sqrt[omega0²-gamma²]=sqrt[21,65²-8,175²]=20 rad/s [20,048]
Wat denkt u ervan?
Wordt met limietsnelheid bedoeld de constante eindsnelheid die de zinkende kogel bereikt onder invloed van de zwaartekracht en de wrijvingskracht?
Wordt met de visceuze kracht de wrijvingskracht Fw van de olie op de met willekeurige snelheid bewegende kogel bedoeld?
U noteert "visceuze kracht evenredig is met v(L)"... ik begrijp de L niet; al oscillerend heeft de kogel niet steeds de limietsnelheid?
Wordt met de gevraagde hoekfrequentie bedoeld omega=2*pi*frequentie?
Omega0, zonder olie, heeft u zelf gevonden, afgezien van wat verwarring met kwadraat en wortel.
De bewegingsvergelijking van de gedempte trilling is m*a=-k*x-c*v
met m=massa=0,016 kg;
a=versnelling;
k=veerconstante=7,5 N/m;
c uit Fw=-c*v;
v is snelheid.
Bij constante eindsnelheid ve geldt, afgezien van het teken,
Fw=Fz > c*ve=m*g > c=m*g/ve=0,016*9,81/0,60=0,26 kg/s
We kunnen de bewegingsvergelijking noteren als een differentiaalvergelijking.
Een bijzondere oplossing daarvan is x(t)=A*e^(-gamma*t)*sin(omega*t) met gamma=c/(2*m)=(m*g/ve)/(2*m)=g/(2*ve)=9,81/*2*0,60=8,2 rad/s [8,1750]
en in de olie omega=sqrt[omega0²-gamma²]=sqrt[21,65²-8,175²]=20 rad/s [20,048]
Wat denkt u ervan?
Jaap
op
04 december 2005 om 23:59
Dag Elke II,
Ik lees "men brengt het 10cm uit zijn periode van 2s" als "men brengt het 10cm uit zijn evenwichtsstand en meet zonder demping een periode van 2s".
Tekenafspraak: positie boven de evenwichtsstand is positief; opwaartse versnelling ook.
Laten we aannemen dat de kogel op t=0 door de evenwichtsstand omhoog gaat.
Dan geldt x(t)=A*sin(2*pi/T*t) > vul de amplitudo en periode in.
Bepaal de tweede afgeleide van x(t); dat is de versnelling a(t)=...... Ga na: als het lichaam 5 cm boven evenwicht is, is sin(pi*t)=1/2 > a(t)=............ Tweede onderdeel: begin bij x=-5 > sin(pi*t)=-1/2 > t=...; eindig bij x=+5 > t=...
Ik lees "men brengt het 10cm uit zijn periode van 2s" als "men brengt het 10cm uit zijn evenwichtsstand en meet zonder demping een periode van 2s".
Tekenafspraak: positie boven de evenwichtsstand is positief; opwaartse versnelling ook.
Laten we aannemen dat de kogel op t=0 door de evenwichtsstand omhoog gaat.
Dan geldt x(t)=A*sin(2*pi/T*t) > vul de amplitudo en periode in.
Bepaal de tweede afgeleide van x(t); dat is de versnelling a(t)=...... Ga na: als het lichaam 5 cm boven evenwicht is, is sin(pi*t)=1/2 > a(t)=............ Tweede onderdeel: begin bij x=-5 > sin(pi*t)=-1/2 > t=...; eindig bij x=+5 > t=...
Jaap
op
05 december 2005 om 00:23
a=0
y=3*sin(omega*t+a)=3*sin(omega*t+0)=3*sin(omega*t)=3*(x/4)=3/4*x
Welke meetkundige vorm heeft y=3/4*x ?
a=pi/2
y=3*sin(omega*t+a)=3*sin(omega*t+pi/2)=3*cos(omega*t)
Eens proberen.... (
x/4)²+(y/3)²=sin²(omega*t)+cos²(omega*t)=1
Welke meetkundige vorm heeft (x/4)²+(y/3)²=1 ?
a=pi
y=3*sin(omega*t+a)=3*sin(omega*t+pi)=-3*sin(omega*t)=-3*(x/4)=-3/4*x
Welke meetkundige vorm heeft y=-3/4*x ?
y=3*sin(omega*t+a)=3*sin(omega*t+0)=3*sin(omega*t)=3*(x/4)=3/4*x
Welke meetkundige vorm heeft y=3/4*x ?
a=pi/2
y=3*sin(omega*t+a)=3*sin(omega*t+pi/2)=3*cos(omega*t)
Eens proberen.... (
x/4)²+(y/3)²=sin²(omega*t)+cos²(omega*t)=1
Welke meetkundige vorm heeft (x/4)²+(y/3)²=1 ?
a=pi
y=3*sin(omega*t+a)=3*sin(omega*t+pi)=-3*sin(omega*t)=-3*(x/4)=-3/4*x
Welke meetkundige vorm heeft y=-3/4*x ?
Elke
op
10 december 2005 om 19:55
Elke II
Beste,
In ieder geval hartelijk dank voor uw hulp!
Wat ik echter nog niet zo goed begrijp...
vraag 2: Hoe bekomt u Fw=c*v ? (een "speciale vorm" van de wrijvingskracht?)
vraag 3: Ik volgde uw redenering: (1) x= Asin(wt) = Asin(pi*t) (2) a= Awcos(wt) = Awcos(pi*t)
invullen in (1) geeft: 5=10*sin(pi*t) => 1/2=sin(pi*t) => 30=pi*t => t= 30/pi
dit laatste invullen in (2) geeft:
a=10*pi*(30/pi)*cos(pi*(30/pi)) => a=10*30*cos(30)
Dit is echter niet de juiste oplossing, wat deed ik nog fout?
vraag 1: Misschien een beetje een stomme vraag maar wat heeft dit alles precies te maken met het feit dat beide loodrecht op elkaar staan?
Help? Dank bij voorbaat!!
Beste,
In ieder geval hartelijk dank voor uw hulp!
Wat ik echter nog niet zo goed begrijp...
vraag 2: Hoe bekomt u Fw=c*v ? (een "speciale vorm" van de wrijvingskracht?)
vraag 3: Ik volgde uw redenering: (1) x= Asin(wt) = Asin(pi*t) (2) a= Awcos(wt) = Awcos(pi*t)
invullen in (1) geeft: 5=10*sin(pi*t) => 1/2=sin(pi*t) => 30=pi*t => t= 30/pi
dit laatste invullen in (2) geeft:
a=10*pi*(30/pi)*cos(pi*(30/pi)) => a=10*30*cos(30)
Dit is echter niet de juiste oplossing, wat deed ik nog fout?
vraag 1: Misschien een beetje een stomme vraag maar wat heeft dit alles precies te maken met het feit dat beide loodrecht op elkaar staan?
Help? Dank bij voorbaat!!
Jaap
op
13 december 2005 om 22:58
Dag Elke II,
Opgave 1
Doordat gegeven is dat de afzonderlijke bewegingen onderling loodrecht zijn, beïnvloedt de ene de andere niet. Dat scheelt wat complicaties....
Stel in het andere geval dat het alleen om twee bewegingen elk langs de x-as ging; dan zou je de uitwijkingen bij elkaar moeten optellen.
Opgave 2
Hoe bekom ik Fw=-c*v: dat concludeer ik op uit de opgave. Er staat: "Neem aan dat de visceuze kracht evenredig is met v(L)". Ik neem aan dat met de visceuze kracht de wrijvingskracht Fw wordt bedoeld. De opgave stelt dat deze evenredig is met v(L). Ik weet niet wat wordt bedoeld met die L achter de v; zie mijn eerdere vraag daarover.
Ik heb hierboven aangenomen dat wordt bedoeld: de wrijvingskracht van de olie op de kogel is evenredig met de snelheid die de kogel op dat tijdstip heeft in de olie; dus Fw=-constante*v (met een min omdat Fw werkt in de richting tegengesteld aan v). Dit is inderdaad een speciale vorm van wrijvingskracht: wet van Stokes, laminaire stroming of kruipende stroming.
Terzijde: het is mijns inziens niet waar dat Fw in dit geval evenredig is met de snelheid. De stroming rond deze kogel (diameter 1,6 cm) is bij de gegeven snelheid van 0,60 m/s niet laminair maar turbulent. Dan is de wrijvingskracht veeleer evenredig met v². Hierboven heb ik echter braaf aangenomen wat in de opgave is gesteld.
Opgave 3
Als we pi in het argument van de sinus zien, ruiken we radialen in plaats van graden.
De versnelling is de tweede afgeleide van x(t)=A*sin(2*pi/T*t).
Eerste afgeleide: v(t)=2*pi/T*A*cos(2*pi/T*t)
Tweede afgeleide: a(t)=-4*pi²/T²*{A*sin(2*pi/T*t)}=-4*pi²/T²*x(t) T = 2 s, zie de opgave.
We moeten de versnelling bepalen bij x(t) = 5 cm=0,05 m, zie de opgave.
a(t)=-4*pi²/2²*0,05=-pi²*0,05 m/s²
[sin(pi*t)=1/2 hebben we bij nader inzien niet nodig; excuus.]
Opgave 1
Doordat gegeven is dat de afzonderlijke bewegingen onderling loodrecht zijn, beïnvloedt de ene de andere niet. Dat scheelt wat complicaties....
Stel in het andere geval dat het alleen om twee bewegingen elk langs de x-as ging; dan zou je de uitwijkingen bij elkaar moeten optellen.
Opgave 2
Hoe bekom ik Fw=-c*v: dat concludeer ik op uit de opgave. Er staat: "Neem aan dat de visceuze kracht evenredig is met v(L)". Ik neem aan dat met de visceuze kracht de wrijvingskracht Fw wordt bedoeld. De opgave stelt dat deze evenredig is met v(L). Ik weet niet wat wordt bedoeld met die L achter de v; zie mijn eerdere vraag daarover.
Ik heb hierboven aangenomen dat wordt bedoeld: de wrijvingskracht van de olie op de kogel is evenredig met de snelheid die de kogel op dat tijdstip heeft in de olie; dus Fw=-constante*v (met een min omdat Fw werkt in de richting tegengesteld aan v). Dit is inderdaad een speciale vorm van wrijvingskracht: wet van Stokes, laminaire stroming of kruipende stroming.
Terzijde: het is mijns inziens niet waar dat Fw in dit geval evenredig is met de snelheid. De stroming rond deze kogel (diameter 1,6 cm) is bij de gegeven snelheid van 0,60 m/s niet laminair maar turbulent. Dan is de wrijvingskracht veeleer evenredig met v². Hierboven heb ik echter braaf aangenomen wat in de opgave is gesteld.
Opgave 3
Als we pi in het argument van de sinus zien, ruiken we radialen in plaats van graden.
De versnelling is de tweede afgeleide van x(t)=A*sin(2*pi/T*t).
Eerste afgeleide: v(t)=2*pi/T*A*cos(2*pi/T*t)
Tweede afgeleide: a(t)=-4*pi²/T²*{A*sin(2*pi/T*t)}=-4*pi²/T²*x(t) T = 2 s, zie de opgave.
We moeten de versnelling bepalen bij x(t) = 5 cm=0,05 m, zie de opgave.
a(t)=-4*pi²/2²*0,05=-pi²*0,05 m/s²
[sin(pi*t)=1/2 hebben we bij nader inzien niet nodig; excuus.]
