Dag Ralph,

Volgens mij verkijk je je op die Δp. Uitgaande van een grote toevoerleiding naar de aansluiting zal p op die aansluiting constant zijn, p aan de uitgang van je eigen leidingstelsel ook (laten we zeggen de atmosferische druk). Daarmee is Δp dus een constante for all practical purposes. 

En dat is geheel analoog aan elektrische schakelingen, waar binnen zekere grenzen de spanning over die schakeling niet wijzigt als je wat met weerstandjes gaat prutsen in een deel van de schakeling. Zo lang de inwendige weerstand van de spanningsbron en de weerstanden van de aanvoer-en afvoerdraden verwaarloosbaar blijft t.o.v. de totale weerstand van de schakeling blijft de spanning constant.

groet, Jan

Bedankt Jan. Ik vermoedde dat eigenlijk al een beetje toen ik mijn vraag stelde. Ik hoopte al dat iemand daar mee zou komen, want dit maakt het een stuk makkelijker!

Ik moet dus eerst Δp_o uitrekenen voor de oude situatie zonder de nieuwe leiding. Dus dan is Δp_n = 0 en kunnen we stellen dat het totale drukverlies gelijk is aan de oude, bestaande leiding: Δp = Δp_o.

Ik snap nu alleen nog even niet precies hoe ik verder moet, maar eerst even wat meer context, want ik heb een dergelijke berekening nodig voor een waterleidingprojectje waar ik mee bezig ben.

De waterleiding komt het huis binnen met een bepaalde druk. Nu wordt er een warmwaterleiding verlengd en het is van belang die zo nauw mogelijk te maken, zodat het zo kort mogelijk duurt voordat je warm water hebt (voor de keuken) en zo min mogelijk stilstandsverliezen hebt, maar met niet al teveel verlies in debiet natuurlijk.

Op het punt waar de nieuwe leiding aangesloten wordt is het eenvoudig om te meten wat het debiet (Qo) is (met een emmer en een stopwatch). Zeg dat het 8 liter per minuut is. De nieuwe leiding wordt 7 meter lang. Ik wil weten wat het debiet wordt bij een interne diameter van slechts 6 millimeter. Dus in mijn bovenstaande vergelijking vul ik in:

Q = 8 l/m
L_n = 7 m
D_n = 6 mm

Maar wat vul ik nu in voor L_o en D_o? In een theoretische situatie kun je stellen dat je maar één soort oude leiding hebt met maar één diameter en lengte (en zonder bochten e.d.), maar in de praktijk zitten er tussen het aansluitpunt en het waterleidingbedrijf vele honderden meters leiding van verschillende soorten en maten.

Moet ik daar gewoon wat benaderende waarden voor nemen? Zodat ik een ratio krijg van L_o/D_o⁵ die een beetje overeenkomt met de gemiddelde ratio over het hele traject? Of denk ik nu te ingewikkeld of is hier een heel andere aanpak nodig?

En nog iets: ik dacht dat ε min of meer een constante was, zodat hij uit de vergelijking zou vallen, maar nu zie ik dat f, de Darcy-wrijvingscoëfficiënt afhangt van het Renoldsgetal, welke weer afhangt van de lengte van een leiding en de snelheid van het water. (Daarnaast zit ook nog de viscociteit in het Renoldsgetal, en ook de dichtheid van het water, welke trouwens ook nog apart van ε in de vergelijking zit. Nu zal dit allebei voor een grove benadering bij deze casus niet zoveel uitmaken. Al is de viscositeit natuurlijk wel wat lager bij het warme water.) We moeten dus volgens mij ook rekenen met ε_o en ε_n.

Het wordt nu wel een beetje een heel toegepast verhaal, maar ik ben benieuwd hoe het op te lossen is en of ik bij benadering kan uitrekenen hoeveel debiet ik overhoud aan het einde van de leiding!

Oeps, er moet natuurlijk staan:

Q = gevraagd (in de nieuwe situatie met de nieuwe leiding)
L_n = 7 m
D_n = 6 mm

En Q_o = 8 l/m, wordt alleen gebruikt om Δp te berekenen aan de hand van L_o en D_o in de oude situatie.

Dan heb je dus toch de kern van mijn betoog niet begrepen: de druk in de straatleiding  en daarmee de druk vóór jouw watermeter gaat zich niks aantrekken van een open kraantje meer of minder in jouw huis, tenzij het waterleidingbedrijf heel ernstige fouten bij de aanleg zou hebben gemaakt. Zou een mooie boel worden: de buurman gaat zijn auto wassen en dan sta ik onder een nog slechts druppende douche?

Verder ben je voor dit soort doeleinden met kanonnen als Darcy-Weissbach en Hagen-Poiseuille aan het schieten op een mug van een probleem. Ook, een wat te krappe kraan kiezen en al je ingewikkelde leidingberekeningen kunnen bij het oud papier. Hoe ga je bijvoorbeeld ook de weerstand van je warmtewisselaar (in je combiketel of zo?) inrekenen? 

70 dm x π x 0,05² = 0,55 L 
70 dm x π x 0,03² = 0,2 L

dat zijn de inhouden van 7 m leiding met een inwendige diameter van 10 resp 6 mm. 
Tap je niet zo heel vaak maar wel grotere hoeveelheden heet water? Dan wacht je liever niet te lang tot je teil vol is en neem je de grotere diameter. De paar keer per dag extra 0,3 L nutteloos verwarmd water neem je dan voor lief.
Tap je vrij vaak kleinere hoeveelheden heet water? Dan is tien tellen langer wachten per keer mogelijk de moeite voor de vele keren per dag uit te sparen 0,3 L nutteloos verwarmd water.
Overigens, zeg niet dat je met de 10 mm leiding bijna 3 x zoveel warm water weggooit: als ik in de keuken warm water wil tappen komt er eerst een liter of 3 koud water uit de kraan: maar de leiding naar de combiketel op zolder is echt geen 40 m lang, hoogstens een meter of 12-13. Het verwarmingstoestel heeft een eigen inhoud en opwarmtijd die in dit verhaal een grotere rol lijken te spelen dan die leidinginhoud.

Ten slotte: In dit tijdperk van zelfwarmende wasmachines en afwasmachines is het gewoonlijke verbruik van heet water in de keuken overigens toch al beperkt. De dunnere leiding (met geïsoleeerde mantel) lijkt dan in de gemiddelde keuken sowieso de logische keuze. 

You pays your money and you takes your choice.  

Groet, Jan

Bedankt Jan voor je reactie. Ik snap dat het drukverlies nagenoeg nul moet zijn ergens vóór de watermeter, of althans voordat het naar een veel kleinere diameter gaat bij je huis. Ik had je betoog daarover ook wel begrepen, maar ik deed een poging om de natuurkunde erachter wat beter te begrijpen en daar was ik nog niet helemaal uit. Ik weet niet precies hoe dik de leidingen zijn die in de straat liggen, maar ik vermoed wel een decimeter. En leidingen waar straten bij elkaar komen vast nog meer. Dat is natuurlijk maar heel weinig relatief t.o.v. het debiet waar het hier om gaat, en dat is dus de reden waarom het verwaarloosbaar is.

Dat die straatleidingen een weerstand hebben die verwaarloosbaar is ten opzichte van de rest van de weerstand in huis volgt ook wel uit Darcy-Weisbach met daarin Q²/D⁵. De weerstand neemt toe met de stromingssnelheid in het kwadraat en neemt af met de vijfde macht van de diameter. Q zoals we die berekenen voor ons huishoudelijk gebruik is natuurlijk maar heel klein ten opzichte van wat die leiding aankan, zelfs al is de lengte (L) groot. De stroomsnelheid op basis van alleen ons gebruik is nagenoeg nul. En die diameter is natuurlijk helemaal groot vergeleken met het debiet.

De leiding die in de straat ligt is natuurlijk relatief gezien (ten opzichte van de stromingssnelheid of debiet van één huishouden dus) enorm dik. Dit komt natuurlijk doordat de straatleidingen gedimensioneerd zijn op basis van gemiddeld gebruik van alle huishoudens die erop zijn aangesloten in de straat/wijk/stad. Als je berekeningen zou doen met meerdere huishoudens (een hele wijk gaat tegelijkertijd douchen, dus de formule toepassen op de debieten van meerdere huishoudens) dan zou het natuurlijk wel uit kunnen maken (dat de druk dus elders daalt doordat er in meerdere huizen water wordt getapt), maar dat is een vraagstuk op een grotere schaal. Dus: ook al is je eigen "bijdrage" aan het drukverlies in de leiding verwaarloosbaar voor je eigen leidingsysteem, alle huishoudens samen maken natuurlijk wel uit.

Alleen heb ik hierbij wel een kanttekening: ik denk dat dit hier niet volledig opgaat, want het waterleidingbedrijf zal harder gaan pompen zodra meer mensen de kraan open draaien. Zo heb je bij je eigen watermeter altijd evenveel druk, ook op piek- en dalmomenten. Heb je een constant vermogen bij de bron dan is het volgens mij anders. Dan moet je zorgen dat je nog grotere leidingen hebt volgens mij, speciaal voor de piekmomenten (bijvoorbeeld bij een watertoren?).

In het algemeen geldt samenvattend dat je voor dit soort berekeningen alleen de leidingen mee moet tellen die een weerstandsverlies hebben dat niet verwaarloosbaar is ten opzichte van de stroom die je bekijkt. Met andere woorden, waarbij Q hoog genoeg is ten opzichte van D, en niet te vergeten ook L niet te kort is.

Met zulke waterleidingvraagstukken is het niet zo intuïtief dat de lengte van de oude leiding dus invloed heeft op het debiet dat je krijgt samen met de nieuwe leiding, vind ik althans. Als ik het goed begrijp dan moet je die Δp zien als het constante drukverschil van het water in de leiding (terwijl het water door de leiding stroomt natuurlijk, anders heb je overal in de leiding dezelfde druk) tussen het begin en eindpunt. Zoals Jan zegt en bovenstaande in aanmerking genomen zijn die allebei min of meer constant. Het water stroomt van de hoge leidingdruk naar de lage (atmosferische) druk. Het totale drukverlies Δp is dus de druk die verloren gaat vanwege de weerstand in de leidingen (terwijl het water stroomt).

Inderdaad is het ook inzichtvol om het te vergelijken met elektrische schakelingen (bij een gelijkstroomcircuit). Dan is het drukverlies dus analoog aan het voltage, oftewel de spanning, oftewel het elektrisch potentiaalverschil. Het "hydraulisch potentiaalverschil" zou je het dus ook kunnen noemen bij waterleidingen, en andersom "elektrisch drukverschil" bij elektriciteit. En niet voor niets wordt het voltage bij elektrische stromen ook wel het spanningsverlies genoemd. De hele formule van Darcy-Weisbach of Hagen-Poiseuille is daarbij analoog aan de wet van Ohm, want in het algemeen is het principe hetzelfde: drukverschil = stroomsterkte × weerstand.

De hydraulische leidingdruk zelf (in stilstaande, oftewel statische toestand) is volgens mij analoog aan de elektrische potentiaal, wat je dus zou meten met een manometer bij stilstaande stroom (bij vloeistoffen) of met een voltmeter/multimeter (bij elektriciteit). Dat zijn dus metingen vanaf het absolute nulpunt qua druk, als zoiets bestaat. Klopt dit idee een beetje?

Dat de gehele formule van Darcy-Weisbach (Δp = LQ/D) analoog is aan de wet van Ohm (U = IR): blijkt samengevat uit:
Δp (drukverlies, hydraulisch potentiaalverschil) is analoog aan U (spanningsverlies, elektrisch potentiaalverschil)
L/D (leidingweerstand) is analoog aan R (elektrische weerstand)
Q (hydraulische stroomsterkte, debiet) is analoog aan I (elektrische stroomsterkte)

Gek genoeg staat hier de term "electric pressure" als synoniem voor voltage, al zou dat volgens mij "electric pressure difference" moeten zijn, omdat voltage het "elektrische drukverschil" voorstelt. (Maar nu raken we een beetje off-topic denk ik.)

Dan rest nog de berekening. Een berekening van het debiet dat ik krijg is toch wel gewenst, want als ik de keuze heb uit een 6mm leiding of een 8mm leiding is er wel een groot verschil waarschijnlijk. Er zou bij de 8mm leiding een stuk hoger debiet zijn zodat het water toch een hogere snelheid heeft en ik dus minder lang hoef te wachten tot het warm wordt. Dat ligt natuurlijk ook aan de kraan die je erop aansluit. In ieder geval is er een optimum als watersnelheid een beslissende factor is.

Ik zou bijvoorbeeld een schatting kunnen maken van L₀ en D₀. De dunne leiding die ik wil aanleggen heeft waarschijnlijk een veelvoud aan drukverlies ten opzichte van de bestaande leiding en zal het debiet drastisch inperken. Dus laat ik zeggen dat er één rechte leiding ligt voor het aansluitpunt met

L₀ = 25 m en
D₀ = 13 mm.

In werkelijkheid is het een stuk minder lang tot de straat, maar in die 25 meter zit ook het drukverlies dat ik heb aan bochten, het verwarmingsapparaat en het hoogteverschil met de straatleiding onder de grond. Vaak wordt het drukverschil van bochten e.d. ook aangegeven in equivalente meters lengte, wat ik hiermee dus in feite ook doe. Eventueel zou je hiermee toch best een nauwkeurige berekening kunnen maken.

De berekening begint uiteraard met de initiële situatie zonder nieuwe buis, zoals eerder geschetst. Daarvoor moeten ook de Reynoldsgetallen uitgerekend worden voor de oude situatie en de nieuwe voor de nieuwe en de oude buis. Dan moet ik om de Darcy-wrijvingscoëfficiënt (frictiefactor) uit te rekenen een impliciete benadering kiezen vanwege Colebrook-White, want het gaat allemaal om turbulente stromen (bij alle stromen in deze casus krijg je Reynoldsgetal dat veel hoger is dan 2000). Een alternatief daarvoor is bijvoorbeeld Serghides' benadering, zie https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae. Het enige is dat dat nog steeds een impliciete benadering wordt in deze casus, want de wrijvingscoëfficiënt hangt af van het Reynoldsgetal, en dat verandert weer door het debiet (alleen in de nieuwe situatie). Voor laminaire stromen (equivalent aan Hagen-Poiseuille) is dat niet het geval en kun je het direct uitrekenen (met f = 64/Re).

Het gaat wat ver om de berekening helemaal op te schrijven, maar in ieder geval kwam ik er op deze manier wel snel uit (met een itererende spreadsheet). Het levert  inzichtelijke grafiekjes op van o.a. watersnelheid en debiet vs. leidingdiameter.

Andere overwegingen, wat betreft comfort en waterverbruik: inderdaad is er altijd een afweging tussen snelheid van het water en hoeveelheid water (debiet). Wat wel voorkomen moet worden is dat de tapkraan de grootste weerstand geeft, want dan benut je niet de volle capaciteit van de leiding, gegeven de statische "startdruk" en dat is zonde. Of dat je naar wens juist niet genoeg druk overhoudt, terwijl met een grotere diameter het water sneller was geweest met een debiet dat meer naar wens is.

Dit betekent dat apparaten zoals vaatwassers en sommige wasmachines die ook op de warmwaterleiding aangesloten kunnen worden dat je die volgens mij het beste eigenlijk altijd wel met een zeer lage diameter kunt aansluiten. In sommige situaties kun je dan misschien zelfs beter twee leidingen leggen, eentje voor alles met een laag debiet en eentje voor een hoog debiet. Of een extra pompje zou wellicht zelfs een idee zijn, speciaal voor de keuken, met een zeer dunne leiding, zodat de keukenkraan voldoende debiet heeft en toch snel warm is.

Ik merk wel dat als ik snel warm water tot mijn beschikking heb dat ik dan ook sneller warm water neem. Dat is helemaal zonde in het geval van close-in boilers in het keukenkastje die op de warme leiding zijn aangesloten (hotfill). Indien zo'n boiler niet met een leiding aangesloten is die kort of dun genoeg is, geeft het extra vaak leidingverliezen doordat de gebruiker dikwijls warm water neemt omdat het zo snel opwarmt.

Dat CV-ketels en geisers traag zijn is ook mijn ervaring. Het probleem is geloof ik dat de tapdrempel gehaald moet worden over een periode van enkele seconden voordat het apparaat gaat verwarmen. Veel ketels hebben echter wel een voorraadvaatje waardoor er dus niet echt een tapdrempel is. Maar daar hebben we in de nabije toekomst waarschijnlijk toch geen last meer van, want verwarmen op gas verwijnt en doorstroomverwarmers of boilers hebben dat probleem niet.

De warmwaterleiding isoleren is dacht ik geen goed idee i.v.m. legionella, toch?

dat zal wel meevallen: we mogen er van uit gaan dat die warmwaterleiding toch wel minstens eens per week de 60^oC haalt (en dat gebeurt bij een geïsoleerde warmwaterleiding allicht makkelijker dan bij een ongeïsoleerde).
https://www.rivm.nl/legionella/legionella-preventie
  
En voor de rest, wàt je ook berekent, prima, maar de hamvraag blijft, wàt wil je? Want als je een leidingsysteem ontwerpt is dàt altijd de eerste vraag. En dan kies je de leiding die bij dat eisenpakket past. Zolang je die eisen niet helder hebt is rekenen sowieso zinloos. Besluit bijvoorbeeld eens of je blij wordt van de snelheid waarmee je huidige leiding warm water levert (vergeet daarbij ook de douche niet), dat geeft een referentie. En reken ook eens uit wat je aan warmte kwijtraakt op jaarbasis in dikkere of dunnere leidingen, en of dat verschil een interessante factor is. 

Groet, Jan