> is dat op het moment dat de schakelaar nog open is, er sprake is van serieschakeling

Klopt

Daarna, met  gesloten schakelaar lijkt het ingewikkelder: er is een parallel stuk van twee keer 8Ω. Daarvan bereken je de vervangingsweerstand. En die staat weer "gewoon" serieel met R

De Rv van het parallelstuk is 4, maar wat moet je dan verder daarnee berekenen?

Daarna tel je de weerstanden op: R_tot = R + 4  

Dus we hebben in totaal R_tot = R + 8  en R_tot = R + 4

P = UI = U(U/R) = U²/R en de spanning U verandert niet.
Dus als P₂ = 1,5 P₁   dan moet  U²/(R+4) = 1,5 U²/(R+8)
Daaruit is R wel oplosbaar...