traagheidsmoment, stelling van steiner en traagheidsstraal
stelde deze vraag op 29 augustus 2019 om 13:21.Reacties
Traagheidsmoment I is het rotatie-equivalent van massa bij rechtuitgaande beweging. De vergelijkingen zijn ook soortgelijk:
lineaire kinetische energie: E = 1/2 mv2
rotatie kinetische energie E = 1/2 Iω2
Bij lineaire beweging gaan alle deeltjes van de massa evenveel dezelfde kant op. Bij rotatie is dat niet zo: de deeltjes dichter bij de draaias maken een kleinere cirkel (met straal r) dan die deeltjes verderweg. Verderweg hebben een grotere baansnelheid.
Een wegsnellende auto heeft (kinetische) energie, maar een ronddraaiende slijpsteen ook, ook al komt die niet van zijn plaats, het stoppen kost kracht (en energie).
Om voor de verschillende afstanden te compenseren wordt bij het traagheidsmoment bepaald op welke afstand een deeltje met massa mi zich bevindt van de draaias: ri. Traagheidsmoment is dan miri2. En de hele draaiende massa bestaat uit heel veel van die deeltjes, dus moeten de resultaten worden opgeteld of, in het ultieme geval, geintegreerd.
Voor elk deeltje geldt dat diens traagheidsmoment gedefinieerd als Ii = miri2 is. Dat kun je ook als ΔI (stukje van de gehele I) of dI zien.. En de totale traagheidsmoment daarmee I = ∑ Ii of beter ∫ dI
Als je die integralen uitrekent voor allerlei vormen gevuld met massadeeltjes, dan is dat voor bollen, cilinders, blokken en zo goed te doen. Voor "echte" voorwerpen wordt het al snel benaderen of modelmatig optellen onder aannamen.
En dan Steiner: dat blijkt een handig hulpmiddel als je een voorwerp hebt dat ronddraait en lijkt op een voorwerp waarvan je het traagheidsmoment kent.
Bijv. je kunt opzoeken dat een frisdrankblikje dat om zijn lange as draait een traagheidsmoment heeft.
Datzelfde blikje draait nu om dezelfde as, maar is parallel verschoven. Waar eerst het blikje draait zonder van zijn plaats te komen, draait het nu langs een cirkel met straal d om die as.
Eigenlijk is er niks verandert - alleen de massa-deeltjes hebben nu een andere afstand tot de draai-as gekregen. De Stelling van Steiner berekent uit de bekende waarde van het traagheidsmoment nu de nieuwe waarde:
Id = I + md2
waarbij I de opgezochte waarde om de oorspronkelijke as is, m de totale massa en d de afstand tussen de oude en de nieuwe draaias (wel parallel aan elkaar!) Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner.
De traagheidsstraal vind je in https://nl.wikipedia.org/wiki/Traagheidsstraal uitgelegd, maar is een versimpeling van de situatie. In plaats van een voorwerp met afmetingen te hebben waarvoor je een traagheidsmoment berekent of opzoekt, gebruik je de formule weer:
I = mr2
waarbij r de traagheidsstraal is, I het opgezochte traagheidsmoment en m de totale massa van het voorwerp is. We doen net alsof dat hele voorwerp geen afmetingen meer heeft (en de deeltjes dus niet op verschillende afstanden tot de draaias zitten) maar alsof alles in 1 punt op afstand r zit. En die r kun je dan berekenen, want I heb je opgezocht of berekend, en m is gegeven...
lineaire kinetische energie: E = 1/2 mv2
rotatie kinetische energie E = 1/2 Iω2
Bij lineaire beweging gaan alle deeltjes van de massa evenveel dezelfde kant op. Bij rotatie is dat niet zo: de deeltjes dichter bij de draaias maken een kleinere cirkel (met straal r) dan die deeltjes verderweg. Verderweg hebben een grotere baansnelheid.
Een wegsnellende auto heeft (kinetische) energie, maar een ronddraaiende slijpsteen ook, ook al komt die niet van zijn plaats, het stoppen kost kracht (en energie).
Om voor de verschillende afstanden te compenseren wordt bij het traagheidsmoment bepaald op welke afstand een deeltje met massa mi zich bevindt van de draaias: ri. Traagheidsmoment is dan miri2. En de hele draaiende massa bestaat uit heel veel van die deeltjes, dus moeten de resultaten worden opgeteld of, in het ultieme geval, geintegreerd.
Voor elk deeltje geldt dat diens traagheidsmoment gedefinieerd als Ii = miri2 is. Dat kun je ook als ΔI (stukje van de gehele I) of dI zien.. En de totale traagheidsmoment daarmee I = ∑ Ii of beter ∫ dI
Als je die integralen uitrekent voor allerlei vormen gevuld met massadeeltjes, dan is dat voor bollen, cilinders, blokken en zo goed te doen. Voor "echte" voorwerpen wordt het al snel benaderen of modelmatig optellen onder aannamen.
En dan Steiner: dat blijkt een handig hulpmiddel als je een voorwerp hebt dat ronddraait en lijkt op een voorwerp waarvan je het traagheidsmoment kent.
Bijv. je kunt opzoeken dat een frisdrankblikje dat om zijn lange as draait een traagheidsmoment heeft.
Datzelfde blikje draait nu om dezelfde as, maar is parallel verschoven. Waar eerst het blikje draait zonder van zijn plaats te komen, draait het nu langs een cirkel met straal d om die as.
Eigenlijk is er niks verandert - alleen de massa-deeltjes hebben nu een andere afstand tot de draai-as gekregen. De Stelling van Steiner berekent uit de bekende waarde van het traagheidsmoment nu de nieuwe waarde:
Id = I + md2
waarbij I de opgezochte waarde om de oorspronkelijke as is, m de totale massa en d de afstand tussen de oude en de nieuwe draaias (wel parallel aan elkaar!) Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner.
De traagheidsstraal vind je in https://nl.wikipedia.org/wiki/Traagheidsstraal uitgelegd, maar is een versimpeling van de situatie. In plaats van een voorwerp met afmetingen te hebben waarvoor je een traagheidsmoment berekent of opzoekt, gebruik je de formule weer:
I = mr2
waarbij r de traagheidsstraal is, I het opgezochte traagheidsmoment en m de totale massa van het voorwerp is. We doen net alsof dat hele voorwerp geen afmetingen meer heeft (en de deeltjes dus niet op verschillende afstanden tot de draaias zitten) maar alsof alles in 1 punt op afstand r zit. En die r kun je dan berekenen, want I heb je opgezocht of berekend, en m is gegeven...
