significante cijfers en meetnauwkeurigheid
Theo de Klerk stelde deze vraag op 11 oktober 2017 om 13:18.
Meetnauwkeurigheid
Metingen zijn zo nauwkeurig als het meetinstrument dat je ervoor gebruikt. Daar kan nog een systematische fout in zitten (de aanwijzing is bijv. altijd 2 cm te weinig) maar we gaan in de rest van het verhaal ervan uit dat er geen systematische fout is. Het instrument geeft goed aan wat het meten kan. Maar elk instrument heeft zijn beperkingen in hoe nauwkeurig het kan meten.
Als je een meetlat hebt ingedeeld in centimeters, dan is een lengtebepaling nauwkeurig tot op de centimeter. Je meet een lengte als liggend tussen 74 en 75 cm. Het is dus meer dan 74 cm. Dat "meer dan" kun je na enige ervaring vaak schatten, maar niet aflezen: je "schat" de lengte op 74,3 cm.
Tegelijk weet je ook dat een schatting niet precies is. Je zou kunnen veronderstellen dat jouw schatting van 0,3 cm meer ook wel eens 0,1 cm of 0,4 cm zou kunnen zijn. Je meting van 74,3 cm is dan nauwkeurig binnen 74,1 cm < L < 74,4 cm
Het is niet aannemelijk dat je schatting "naar onderen" (tussen 74,1 cm en 74,3 cm) een grotere foutmarge toelaat als een schatting "naar boven" (tussen 74,3 cm en 74,4 cm). Die foutmarge is gelijk. We nemen daarvoor de grootste waarde en noteren als meting 74,3 ± 0,2 cm. Dat betekent dat de gemeten lengte ligt tussen 74,1 cm < L < 74,5 cm.
Als de foutmarge niet expliciet gemeld wordt dan betekent dit dat de foutmarge de helft van de positiewaarde van het laatste cijfer kan zijn. Bij 74 cm betekent dit 74 ± 0,5 cm. De "4" is in dit geval de positiewaarde 1 (voor de "7" is dit 10) zodat de foutmarge een halve eenheid is.
Foutmarges worden meestal met één cijfer (decimaal) aangegeven, hooguit met twee:
- 100 ± 0,3 cm of 100 ± 0,32 cm (meetlat in cm)
De grootte van een foutmarge is altijd een gedeelte van de kleinste eenheid die goed gemeten kan worden. Kun je in centimeters meten, dan is de foutmarge minder dan 10 mm en wordt in mm (of tienden van centimeters) uitgedrukt. Geeft een odometer (kilometerteller in een auto) alleen kilometers aan, dan zal de foutmarge minder dan een kilometer zijn.
Het is zinloos om de foutmarge meer nauwkeurigheid toe te kennen dan mogelijk is.
Bij een kilometerteller die nauwkeurig is op de kilometer, kun je een schatting maken binnen een kilometer en de fout hierbij. Dat zijn tienden van kilometers (hectometers) en zeker geen meters, laat staan millimeters.
Een voorbeeld. Bij een auto met pas 100 km op de teller waarbij de "0" een beetje richting "1" is doorgedraaid kun je schatten dat de gereden weg 100,4 km zal zijn met een fout van bijv. 0,3 km: 100,1 km < afstand < 100,7 km. Zeggen dat de fout 0,32 km is kun je niet hard maken. Er wordt niet gemeten in stukken van 10-meter, de honderd-meter afstanden zijn al een inschatting ("een goede gok").
Zeg je niets over fouten dan is het beter af te ronden naar wèl bekende dichstbijzijnde zekere getal, 100 km. Dat betekent 100 ± 0,5 km (99,5 km < afstand < 100,5 km). Stond de teller al bijna op 101 km dan neem je die waarde: 101 ± 0,5 km.
Zinnig zijn metingen in nauwkeurigheden en foutmarges (onnauwkeurigheden) die bij elkaar passen:
100 ± 3 km (nogal onnauwkeurig: de fout is 3% van de meetwaarde. Mogelijk als meetlat slechts in 3 km lengtes kan meten)
100 ± 0,5 km
100 (= 100 ± 0,5 km = impliciete onnauwkeurigheid)
Niet zinnig zijn:
100 ± 0,04 km - foutmarge veel kleiner dan de meetnauwkeurigheid
(hoe kan een foutmarge 40 m zijn als de meting in eenheden van 1000 m lengte gaat?)
100,000 ± 0,04 km - fout marge (honderdsten) veel groter dan de meetnauwkeurigheid (duizendsten)
(als de afstandsmeter tot op de meter nauwkeurig kan meten, dan is een foutmarge van 40 meter heel vreemd. Als ik 4 m rijd dan kan ik dus ook -36 m gereden hebben?)
100 ± 0,45674 km - foutmarge meer dan 1 of 2 cijfers
(een foutmarge kan nooit veel nauwkeuriger zijn dan de grofheid van de meting zelf)
Zie ook https://nl.wikihow.com/Onnauwkeurigheid-berekenen
Metingen zijn zo nauwkeurig als het meetinstrument dat je ervoor gebruikt. Daar kan nog een systematische fout in zitten (de aanwijzing is bijv. altijd 2 cm te weinig) maar we gaan in de rest van het verhaal ervan uit dat er geen systematische fout is. Het instrument geeft goed aan wat het meten kan. Maar elk instrument heeft zijn beperkingen in hoe nauwkeurig het kan meten.
Als je een meetlat hebt ingedeeld in centimeters, dan is een lengtebepaling nauwkeurig tot op de centimeter. Je meet een lengte als liggend tussen 74 en 75 cm. Het is dus meer dan 74 cm. Dat "meer dan" kun je na enige ervaring vaak schatten, maar niet aflezen: je "schat" de lengte op 74,3 cm.
Tegelijk weet je ook dat een schatting niet precies is. Je zou kunnen veronderstellen dat jouw schatting van 0,3 cm meer ook wel eens 0,1 cm of 0,4 cm zou kunnen zijn. Je meting van 74,3 cm is dan nauwkeurig binnen 74,1 cm < L < 74,4 cm
Het is niet aannemelijk dat je schatting "naar onderen" (tussen 74,1 cm en 74,3 cm) een grotere foutmarge toelaat als een schatting "naar boven" (tussen 74,3 cm en 74,4 cm). Die foutmarge is gelijk. We nemen daarvoor de grootste waarde en noteren als meting 74,3 ± 0,2 cm. Dat betekent dat de gemeten lengte ligt tussen 74,1 cm < L < 74,5 cm.
Als de foutmarge niet expliciet gemeld wordt dan betekent dit dat de foutmarge de helft van de positiewaarde van het laatste cijfer kan zijn. Bij 74 cm betekent dit 74 ± 0,5 cm. De "4" is in dit geval de positiewaarde 1 (voor de "7" is dit 10) zodat de foutmarge een halve eenheid is.
Foutmarges worden meestal met één cijfer (decimaal) aangegeven, hooguit met twee:
- 100 ± 0,3 cm of 100 ± 0,32 cm (meetlat in cm)
De grootte van een foutmarge is altijd een gedeelte van de kleinste eenheid die goed gemeten kan worden. Kun je in centimeters meten, dan is de foutmarge minder dan 10 mm en wordt in mm (of tienden van centimeters) uitgedrukt. Geeft een odometer (kilometerteller in een auto) alleen kilometers aan, dan zal de foutmarge minder dan een kilometer zijn.
Het is zinloos om de foutmarge meer nauwkeurigheid toe te kennen dan mogelijk is.
Bij een kilometerteller die nauwkeurig is op de kilometer, kun je een schatting maken binnen een kilometer en de fout hierbij. Dat zijn tienden van kilometers (hectometers) en zeker geen meters, laat staan millimeters.
Een voorbeeld. Bij een auto met pas 100 km op de teller waarbij de "0" een beetje richting "1" is doorgedraaid kun je schatten dat de gereden weg 100,4 km zal zijn met een fout van bijv. 0,3 km: 100,1 km < afstand < 100,7 km. Zeggen dat de fout 0,32 km is kun je niet hard maken. Er wordt niet gemeten in stukken van 10-meter, de honderd-meter afstanden zijn al een inschatting ("een goede gok").
Zeg je niets over fouten dan is het beter af te ronden naar wèl bekende dichstbijzijnde zekere getal, 100 km. Dat betekent 100 ± 0,5 km (99,5 km < afstand < 100,5 km). Stond de teller al bijna op 101 km dan neem je die waarde: 101 ± 0,5 km.
Zinnig zijn metingen in nauwkeurigheden en foutmarges (onnauwkeurigheden) die bij elkaar passen:
100 ± 3 km (nogal onnauwkeurig: de fout is 3% van de meetwaarde. Mogelijk als meetlat slechts in 3 km lengtes kan meten)
100 ± 0,5 km
100 (= 100 ± 0,5 km = impliciete onnauwkeurigheid)
Niet zinnig zijn:
100 ± 0,04 km - foutmarge veel kleiner dan de meetnauwkeurigheid
(hoe kan een foutmarge 40 m zijn als de meting in eenheden van 1000 m lengte gaat?)
100,000 ± 0,04 km - fout marge (honderdsten) veel groter dan de meetnauwkeurigheid (duizendsten)
(als de afstandsmeter tot op de meter nauwkeurig kan meten, dan is een foutmarge van 40 meter heel vreemd. Als ik 4 m rijd dan kan ik dus ook -36 m gereden hebben?)
100 ± 0,45674 km - foutmarge meer dan 1 of 2 cijfers
(een foutmarge kan nooit veel nauwkeuriger zijn dan de grofheid van de meting zelf)
Zie ook https://nl.wikihow.com/Onnauwkeurigheid-berekenen
Reacties
Theo de Klerk
op
11 oktober 2017 om 14:31
Significante cijfers
Over meetwaarden en hun nauwkeurigheid zijn boeken vol geschreven. Het draait er steeds om te bepalen hoe nauwkeurig een berekening is als daarvoor getallen worden gebruikt met een bepaalde foutmarge.
Een tafel die met een meetlat in meet-afstanden van 10 cm wordt gemeten zal tussen 90 cm en 100 cm lang zijn. Je kunt schatten dat het 94 cm zal zijn met een marge van 3 cm: 94 ± 3 cm.
Als je ook de breedte meet vind je bijvoorbeeld 72 ± 3 cm
Wat is nu het oppervlak? Want als je de grootst mogelijke waarden van lengte en breedte vermenigvuldigt dan vind je 97 x 75 = 7275 cm2
Neem je de kleinste waarden dan kom je op 91 x 69 = 6279 cm2
Het tafeloppervlak zal een waarde hebben tussen beide uitersten en je kunt dit dan weergeven als 6777±498 cm2
Om wat vlugger deze uitersten te kunnen vinden (weliswaar met een beetje "natte vinger") worden significante cijfers gebruikt. Die gaan uit van de "standaard" foutmarge (de helft van de laatste cijferpositie van de meetwaarde: 100 betekent 100 ± 0,5).
"Significantie" betekent "zinvol, betekenishebbend".
Je bepaalt het aantal significante cijfers in elk van de getallen die je gebruikt en bepaalt dan hoeveel significante cijfers het eindgetal heeft.
Kijken we naar de tafel, dan is deze gemeten als 94 x 72 cm2 Zowel lengte als breedtemeting hebben twee significante cijfers: 9 en 4 resp. 7 en 2.
Voorloop-nullen zijn niet significant: 000000002,5 is hetzelfde als 2,5 en heeft 2 significante cijfers. Naloop-nullen zijn wèl significant want die geven een nauwkeuriger meting aan: 2,5 is minder nauwkeurig als 2,50 of 2,500. Ze staan voor resp. 2,5 ± 0,05, 2,50 ± 0,005 en 2,500 ± 0,0005.
Vuistregel 1: het aantal significante cijfers van een product (of deling) is gelijk aan het minste aantal significante cijfers van de getallen in het product.
In het geval van de tafel hebben beide getallen voor lengte en breedte 2 significante cijfers en daarmee het eindantwoord (oppervlak, het product van lengte en breedte) ook: oppervlak = 94 x 72 = 6768 cm2 Het antwoord heeft "maar" twee significante cijfers en geen vier, zodat het antwoord herschreven wordt (na afronding) tot 6,8 x 103 cm2
De 6,8 heeft dan een foutmarge van ±0,05 ofwel het oppervlak ligt tussen
6,75 . 103 cm2 < oppervlak < 6,85 .103 cm2
Zou je het uitgerekend hebben met minimale lengte 94 - 0,5 = 93,5 cm en minimale breedte 72 - 0,5 = 71,5 cm dan zou het oppervlak 6685 cm2 (6,7.103) zijn geweest. Bij maximale waarden 94,5 x 72,5 = 6851 cm2 (6,9.103). Deze uiterste waarden vallen net buiten de berekende extreme oppervlaktewaarden via de significantieregel (0,05 teveel of teweinig) maar deze omvat alle mogelijke waarden die "ook goed" zijn binnen de fout in de meetwaarde. De vuistregel 1 werkt alleen veel vlugger dan de extreme waarden expliciet uit te rekenen.
Vuistregel 2: Als getallen worden opgeteld (of afgetrokken), dan geldt dat het antwoord het kleinste aantal cijfers achter de komma (decimalen) heeft van de elementen van de optelling.
Als je een lat hebt van 74,5 cm en eentje van 12,66 cm dan is de totale lengte gelijk aan 74,5 + 12,66 = 87,16 cm. Het getal 74,5 heeft slechts 1 decimaal cijfer (5), het getal 12,66 twee (66). De som heeft dan ook maar 1 cijfer. De totale lengte wordt dan 87,2 cm (0,16 afronden op 0,2). Het aantal signifante cijfers is drie (8, 7 en 2). Dat is belangrijk als de som verderop gebruikt wordt als onderdeel van een vermenigvuldiging of deling.
Er geldt weer impliciet dat de lengte kan variëren tussen 87,2 ± 0,05 cm (86,7 < lengte < 87,25 cm). Dit interval bevat de uitgerekende waarde van 87,16 cm.
Bij optellingen en aftrekkingen kan het aantal significante cijfers wijzigen. Dat is belangrijk als de som of verschil later gebruikt wordt in een vermenigvuldiging of deling.
Kijk naar bijv. een 99,4 cm lange lat. Deze wordt verlengd met een 5,56 cm lange lat. De lengte volgens de vuistregel is dan 99,4 + 5,56 = 104,96 en dit wordt 105,0 cm (1 decimaal cijfer). De significantie is toegenomen van drie (9,9,4 of 5,5,6) naar vier (1,0,5,0).
De volgende drie vuistregels kom je bij natuurkunde minder vaak tegen en worden ook vaak "onder het vloerkleed" geveegd in de boeken.
Vuistregel 3 (chemisch rekenen): bij gebruik van logaritmen is de significantie van de mantisse gelijk aan de significantie van het getal.
Voorbeeld bij een getal als 345. De logaritme hiervan is log 345 = 2,5378
De mantisse is 0,5357. Omdat het getal 345 maar drie significante cijfers heeft, heeft de mantisse dit ook: log 345 = 2,538
Je kunt zeggen dat 345 = 3,45 x 100 = 100,5378 x 102 De significantie is nu de factor waarmee een tien-tal (102 in dit geval) wordt vermenigvuldigd. De tientallen zijn altijd exact 1, 10, 100, 1000 enz: de getalwaarde wordt met name door 3,45 bepaald. Deze is maar beperkt nauwkeurig, de mantisse is dan dan ook.
Vuistregel 4: Bij gebruik van sin (x) en tan(x) is het aantal significante cijfers gelijk aan het aantal significante cijfers van hoek x als die in radialen is uitgedrukt.
De achterliggende reden hiertoe is dan een sinus of tangens functie ontbonden kan worden tot sin (x) = x - x3/6 + ... zodat in eerste instantie vooral de significantie van x belangrijk is in berekeningen.
Vuistregel 5: Bij gebruik van cos (x) en cotan(x) is het aantal decimale cijfers gelijk aan het aantal decimale cijfers van hoek x als die in radialen is uitgedrukt.
De achterliggende reden hiertoe is dan een cosinus of cotangens functie ontbonden kan worden tot cos (x) = 1 - x2/2 + ... Dit is een optelling van het oneindig nauwkeurige getal 1 met x2. Hier geldt eerst de vuistregel voor producten (x2 heeft evenveel significante cijfers als x) en dan de optelregel (aantal decimalen van x2 bepaald significantie van 1,000000... - x2/2)
Over meetwaarden en hun nauwkeurigheid zijn boeken vol geschreven. Het draait er steeds om te bepalen hoe nauwkeurig een berekening is als daarvoor getallen worden gebruikt met een bepaalde foutmarge.
Een tafel die met een meetlat in meet-afstanden van 10 cm wordt gemeten zal tussen 90 cm en 100 cm lang zijn. Je kunt schatten dat het 94 cm zal zijn met een marge van 3 cm: 94 ± 3 cm.
Als je ook de breedte meet vind je bijvoorbeeld 72 ± 3 cm
Wat is nu het oppervlak? Want als je de grootst mogelijke waarden van lengte en breedte vermenigvuldigt dan vind je 97 x 75 = 7275 cm2
Neem je de kleinste waarden dan kom je op 91 x 69 = 6279 cm2
Het tafeloppervlak zal een waarde hebben tussen beide uitersten en je kunt dit dan weergeven als 6777±498 cm2
Om wat vlugger deze uitersten te kunnen vinden (weliswaar met een beetje "natte vinger") worden significante cijfers gebruikt. Die gaan uit van de "standaard" foutmarge (de helft van de laatste cijferpositie van de meetwaarde: 100 betekent 100 ± 0,5).
"Significantie" betekent "zinvol, betekenishebbend".
Je bepaalt het aantal significante cijfers in elk van de getallen die je gebruikt en bepaalt dan hoeveel significante cijfers het eindgetal heeft.
Kijken we naar de tafel, dan is deze gemeten als 94 x 72 cm2 Zowel lengte als breedtemeting hebben twee significante cijfers: 9 en 4 resp. 7 en 2.
Voorloop-nullen zijn niet significant: 000000002,5 is hetzelfde als 2,5 en heeft 2 significante cijfers. Naloop-nullen zijn wèl significant want die geven een nauwkeuriger meting aan: 2,5 is minder nauwkeurig als 2,50 of 2,500. Ze staan voor resp. 2,5 ± 0,05, 2,50 ± 0,005 en 2,500 ± 0,0005.
Vuistregel 1: het aantal significante cijfers van een product (of deling) is gelijk aan het minste aantal significante cijfers van de getallen in het product.
In het geval van de tafel hebben beide getallen voor lengte en breedte 2 significante cijfers en daarmee het eindantwoord (oppervlak, het product van lengte en breedte) ook: oppervlak = 94 x 72 = 6768 cm2 Het antwoord heeft "maar" twee significante cijfers en geen vier, zodat het antwoord herschreven wordt (na afronding) tot 6,8 x 103 cm2
De 6,8 heeft dan een foutmarge van ±0,05 ofwel het oppervlak ligt tussen
6,75 . 103 cm2 < oppervlak < 6,85 .103 cm2
Zou je het uitgerekend hebben met minimale lengte 94 - 0,5 = 93,5 cm en minimale breedte 72 - 0,5 = 71,5 cm dan zou het oppervlak 6685 cm2 (6,7.103) zijn geweest. Bij maximale waarden 94,5 x 72,5 = 6851 cm2 (6,9.103). Deze uiterste waarden vallen net buiten de berekende extreme oppervlaktewaarden via de significantieregel (0,05 teveel of teweinig) maar deze omvat alle mogelijke waarden die "ook goed" zijn binnen de fout in de meetwaarde. De vuistregel 1 werkt alleen veel vlugger dan de extreme waarden expliciet uit te rekenen.
Vuistregel 2: Als getallen worden opgeteld (of afgetrokken), dan geldt dat het antwoord het kleinste aantal cijfers achter de komma (decimalen) heeft van de elementen van de optelling.
Als je een lat hebt van 74,5 cm en eentje van 12,66 cm dan is de totale lengte gelijk aan 74,5 + 12,66 = 87,16 cm. Het getal 74,5 heeft slechts 1 decimaal cijfer (5), het getal 12,66 twee (66). De som heeft dan ook maar 1 cijfer. De totale lengte wordt dan 87,2 cm (0,16 afronden op 0,2). Het aantal signifante cijfers is drie (8, 7 en 2). Dat is belangrijk als de som verderop gebruikt wordt als onderdeel van een vermenigvuldiging of deling.
Er geldt weer impliciet dat de lengte kan variëren tussen 87,2 ± 0,05 cm (86,7 < lengte < 87,25 cm). Dit interval bevat de uitgerekende waarde van 87,16 cm.
Bij optellingen en aftrekkingen kan het aantal significante cijfers wijzigen. Dat is belangrijk als de som of verschil later gebruikt wordt in een vermenigvuldiging of deling.
Kijk naar bijv. een 99,4 cm lange lat. Deze wordt verlengd met een 5,56 cm lange lat. De lengte volgens de vuistregel is dan 99,4 + 5,56 = 104,96 en dit wordt 105,0 cm (1 decimaal cijfer). De significantie is toegenomen van drie (9,9,4 of 5,5,6) naar vier (1,0,5,0).
De volgende drie vuistregels kom je bij natuurkunde minder vaak tegen en worden ook vaak "onder het vloerkleed" geveegd in de boeken.
Vuistregel 3 (chemisch rekenen): bij gebruik van logaritmen is de significantie van de mantisse gelijk aan de significantie van het getal.
Voorbeeld bij een getal als 345. De logaritme hiervan is log 345 = 2,5378
De mantisse is 0,5357. Omdat het getal 345 maar drie significante cijfers heeft, heeft de mantisse dit ook: log 345 = 2,538
Je kunt zeggen dat 345 = 3,45 x 100 = 100,5378 x 102 De significantie is nu de factor waarmee een tien-tal (102 in dit geval) wordt vermenigvuldigd. De tientallen zijn altijd exact 1, 10, 100, 1000 enz: de getalwaarde wordt met name door 3,45 bepaald. Deze is maar beperkt nauwkeurig, de mantisse is dan dan ook.
Vuistregel 4: Bij gebruik van sin (x) en tan(x) is het aantal significante cijfers gelijk aan het aantal significante cijfers van hoek x als die in radialen is uitgedrukt.
De achterliggende reden hiertoe is dan een sinus of tangens functie ontbonden kan worden tot sin (x) = x - x3/6 + ... zodat in eerste instantie vooral de significantie van x belangrijk is in berekeningen.
Vuistregel 5: Bij gebruik van cos (x) en cotan(x) is het aantal decimale cijfers gelijk aan het aantal decimale cijfers van hoek x als die in radialen is uitgedrukt.
De achterliggende reden hiertoe is dan een cosinus of cotangens functie ontbonden kan worden tot cos (x) = 1 - x2/2 + ... Dit is een optelling van het oneindig nauwkeurige getal 1 met x2. Hier geldt eerst de vuistregel voor producten (x2 heeft evenveel significante cijfers als x) en dan de optelregel (aantal decimalen van x2 bepaald significantie van 1,000000... - x2/2)
