Ik buig een strook zilver tot een cirkelvormige ring met straal 1. Het middelpunt van de cirkel bevindt zich in de oorsprong van een coördinatenstelsel (x;y). In een punt A(4;0) op de positieve x-as zet ik een lamp. In een punt C(3;5) is mijn oog. Mijn oog kijkt naar de spiegelrand. Het licht van de lamp wordt weerkaatst door een punt P(u;v) dat op de ring ligt. Er gaat dus een lichtstraal uit A (lamp) via P (op de spiegelende ring) naar C (m'n oog). Wat zijn nu de exacte uitdrukkingen voor de coördinaten u en v van punt P?
Alvast bedankt, Jaap
Reacties
Melvin
op
27 juli 2005 om 12:09
Beste Jaap,
Een leuk vraagstuk heb je daar.
Je kan dit op verschillende manieren oplossen, maar ik zal je de (volgens mij) makkelijkste uitleggen.
Je weet dat de lichtstraal de korste weg neemt van de lamp (via de spiegel) naar je oog. De lengte van het stuk lamp (A) - spiegel (P(u,v)) is volgens Pythagoras natuurlijk ((4-u)^2+v^2)^0,5 waarbij je u en v nog niet weet. De lengte van het stuk spiegel (P(u,v)) - oog (C) is ((3-u)^2+(5-v)^2)^0,5 met u en v nog steeds onbekend. De totale lengte is dus: L = ((4-u)^2+v^2)^0,5 + ((3-u)^2+(5-v)^2)^0,5 = (17-8u)^0,5 + (35-6u-10v)^0,5 In de laatste stap heb ik gebruikt dat u^2 + v^2 = 1 (namelijk de straal van de cirkel). Je kan nu het makkelijkst overgaan op de hoek (phi) om de plaats aan te geven op de cirkel, dus: u= cos(phi), v= sin(phi) Je hebt dan: L = (17-8cos(phi))^0,5 + (35-6cos(phi)-10sin(phi))^0,5 En je weet dat L minimaal moet zijn. Afleiden en gelijkstellen aan 0 geeft: phi = 0,49 rad
Je moet de stappen maar even nalopen en het vragen als iets niet duidelijk is. Groeten, Melvin
Jaap
op
27 juli 2005 om 20:14
Hoi Melvin,Daar was ik zelf nooit op gekomen. Op het eind kan ik je niet volgen. Je zegt "Afleiden en gelijkstellen aan 0 geeft: phi = 0,49 rad". Maar als ik differentieer naar phi, krijg ik een akelige combinatie met twee breuken die elk een wortel in de noemer hebben. Op één noemer brengen geeft nog steeds ellende met sin phi, cos phi en wortels. Hoe vind je daarvan een exacte oplossing? Groeten, Jaap
Melvin
op
05 augustus 2005 om 14:24
Beste Jaap, Tja, het is inderdaad een vervelend beestje, die vergelijking... Ik heb hem met de computer gedaan, maar als je een grafische rekenmachine hebt, is het ook goed te doen. Analytisch zou ik het ook niet weten.
Groeten, Melvin
Jaap
op
06 augustus 2005 om 23:14
Kom, ik ben eruit... Je gooit u en v eruit en krijgt een vergelijking in phi die analytisch niet gemakkelijk oplosbaar is. Verder puzzelend heb ik gezien dat je in plaats daarvan ook (alleen) v eruit kunt gooien. Je krijgt dan een vierdegraadsvergelijking in u die zich wel op een standaardmanier exact laat oplossen. Wil je m'n Excel-werkblad via e-mail?
