Beste Lieneke,

eerst even een plattegrond:


Je loopt eerst (in een rechte lijn met snelheid 15 km/h) van het punt 0 naar P over het harde zand en dan (in een rechte lijn met snelheid 10 km/h) van P naar het punt A over het mulle zand.

Je wil een zo kort mogelijke tijd hebben. Dus moet je weten hoe lang je erover doet als je punt P ergens op positie x_P zet maar de y-coordinaat kan alles zijn tussen 0 en y_A. Feitelijk is het hele probleem de vraag "bij welke waarde van y moet ik punt P plaatsen zodat de totale tijd die verloopt minimaal is als ik van punt O via P naar A beweeg." En als ik nu die y_P verander dan kan ik die als variabele "y" noemen en de vraag stellen:
voor welke waarde van y is de looptijd t minimaal? Ofwel voor welke waarde van y is dt/dy=0 ?

De afstanden loodrecht op de zee en duinen zijn minder interessant - die liggen vast. Daarom kunnen we die "gewoon"
x_P = h₁ en (x_A - x_P) = h₂ (= 80 m) noemen.

De afstand die je aflegt op het harde zand is √(h₁²+ y²) (ga na!)
De afstand die je aflegt op het mulle zand is √(h₂²+(y_A-y)²) (ga na!)
De tijd die je over een afstand over elk stuk strand doet is t=x/v dus voor beide stukken samen is de totale tijd:
t₁=(1/v₁)*√(h₁²+y²)
t₂ = (1/v₂)*√(h₂²+(y_A - y)²)
t = t₁ + t₂ (ga deze tijden ook na!)

Om het minimum te vinden moet je kunnen integreren of de tijdsfunctie grafisch uitzetten tegen allerlei waarden van y. Bij differentiëren vind je een minimum als dt/dy = 0 (als je de positie y een beetje wijzigt met dy dan verandert de tijd t met een beetje dt. Maar dt = 0 voor een beetje dy als we voor y de minimum waarde gevonden hebben). Eigenlijk geeft dt/dy alleen maar de positie van een extreem (maximum of minimum) aan, maar in ons geval en formule gaat het om een minimum.

Differentiëren is niet helemaal eenvoudig omdat je met de kettingregel rekening moet houden (die je wel recht-toe-recht-aan uitvoert):

dt₁/dy = 1/v₁ . ½(h₁² + y²)^-½ . 2y = 1/v₁ . y /√(h₁² + y²)
Merk op dat dit gelijk is aan
dt₁/dy= 1/v₁ . sin i
waarbij i de "invalshoek" op de tekening is.

dt₂/dy = 1/v₂ . ½ (h₂² + ( y_A - y)²)^-½ .2(y_A - y)(-1) = - 1/v₂ . (y_A - y)/√(h₂² + (y_A - y)²)

Merk op dat
dt₂/dy = - 1/v₂ sin r
in de tekening is met r de "brekingshoek"

Als de afgeleide nul moet zijn dan geldt:
1/v₁ sin i - 1/v₂ sin r = 0
Daaruit volgt de bekende formule van Snellius voor lichtbreking die feitelijk het Fermat Principe van de minste tijd is:

1/v₁ sin i = 1/v₂ sin r
of v₂ sin i = v₁ sin r
(en met brekingsindex n = c/v wordt dit n₁ sin i = n₂ sin r bij overgang tussen twee media met brekingsindices n₁ en n₂ )

Voor het probleem met h₂ = 80 m en v₁ = 15 km/h en v₂ = 10 km/h kunnen we nu door invullen de minimum tijd berekenen want als de hoeken i en r bekend zijn ligt de positie van punt P ook vast.

Merk wel op, dat nu wel van belang is hoe breed het natte zand is (h₁) want het bepaalt mede de hoek i (en daarmee r). Dat is ook wel logisch als je i.p.v. hardlopen een lichtstraal zou sturen. Als die altijd in A moet aankomen, dan zal punt O (en daarmee P) op andere posities liggen om te zorgen dat sin i/sin r = n₂/n₁ geldig blijft. Als O naar boven zou schuiven, dan wordt hoek i kleiner, maar dan wordt hoek r ook kleiner. En om de baan vanaf P toch in A te laten eindigen, ligt punt P dan ook hoger.

Beste Lieneke en Melvin,

in het probleem van Lieneke zat een duidelijke hint naar de wet van Snellius. Deze brekingswet kan worden afgeleid uit een algemener beginsel, het zogenaamde Principe van Fermat.

Dit zegt dat een lichtstraal (net als de hardloper) de snelste weg kiest. De wet van Snellius geeft het verband geeft tussen brekingsindex en brekingshoek, maar omdat de voortplantingssnelheid omgekeerd evenredig is met de brekingsindex geldt ook: sin(theta1)/sin(theta2)=v1/v2 (theta is de hoek met de normaal).

Door hiervan gebruik te maken kun je de formules die Melvin gebruikt heeft omzeilen en direct de verhouding van de sinussen van de brekingshoeken bepalen. In het algemene geval van twee stroken met verschillende breedtes kom ik met deze wijsheid ook niet eenvoudig tot een oplossing (iemand anders wel misschien?) maar bij het oorspronkelijke probleem van Lieneke (lopen langs de vloedlijn, dus h1 = 0) weet je dat theta1 gelijk is aan 90 graden en als je dan Snellius toepast is het probleem opgelost!

Bert