Val naar het middelpunt van de aarde
Pandora stelde deze vraag op 04 februari 2005 om 17:05.
Newton en Hooke waren in een verwoedde brievenstrijd verwikkeld, en wel om het volgende vraagstuk; aangenomen dat de Aarde hol zou zijn en deze ruimte zonder weerstand, hoe zou de val van een bal van het oppervlakte naar het middelpunt van de aarde lopen? Newton en Hooke dachten aan spiraalvormen en 'jojo-effecten'. Weet iemand hoe het hedendaagse antwoord op deze vraag luidt?
Reacties
paul
op
04 februari 2005 om 21:21
als je de zwaartekracht houdt, dan zal ieder voorwerp op weg naar het zwaartekrachtmiddenpunt getrokken worden, Fg = G m1 m2 / r²
als je de draaiing van de aarde meerekent:
zal het voorwerp met een kracht haaks op de zwaartekracht maal de arm (dus een moment) worden meegetrokken in de in de richting van de rotatie van het zwaartekrachtmiddenpunt, M is moment F(loodrecht) = M(middenpunt) / r
zal de baan elipsvormig zijn omdat die roterende beweging om het middenpunt veroorzaakt door een constant sterker wordende kracht (door r²) een versnelling veroorzaakt en daardoor zal het voorwerp dus aan zijn cirkelvormige baan ontsnappen: de energie E(kin) wordt steeds hoger, op een gegeven moment zal de energie E(kin) groter zijn dan de zwaarteenergie E(z) en dus wijkt het voorwerp af van zijn cirkelvormige baan
hoop dat je hier wat aan hebt
als je de draaiing van de aarde meerekent:
zal het voorwerp met een kracht haaks op de zwaartekracht maal de arm (dus een moment) worden meegetrokken in de in de richting van de rotatie van het zwaartekrachtmiddenpunt, M is moment F(loodrecht) = M(middenpunt) / r
zal de baan elipsvormig zijn omdat die roterende beweging om het middenpunt veroorzaakt door een constant sterker wordende kracht (door r²) een versnelling veroorzaakt en daardoor zal het voorwerp dus aan zijn cirkelvormige baan ontsnappen: de energie E(kin) wordt steeds hoger, op een gegeven moment zal de energie E(kin) groter zijn dan de zwaarteenergie E(z) en dus wijkt het voorwerp af van zijn cirkelvormige baan
hoop dat je hier wat aan hebt
Richard
op
06 februari 2005 om 01:00
Beste Pandora,
Als ik het goed begrepen heb bedoel je dat alle massa van de aarde gecentreerd is in een bolschil die dezelfde straal als de aarde heeft.
Indien dit klopt is het antwoord enigzins teleurstellend; de bal valt niet.
Zoals Paul al opmerkte geldt voor de zwaartekracht tussen een bol en een (kleiner) balletje: F = G*M_bol* M_bal * 1/r^2 * 1/(4*pi) (in de juist gekozen eenheden) waarbij de richting van de kracht radi"eel naar binnen is, dus altijd naar het centrum van de bol gericht. r is de afstand tussen de bal en de bol.
Nu is er een (wiskundige) stelling die zegt dat de integraal over het oppervlak van het zogenaamde krachtveld (de zwaartekracht in dit geval) gelijk is aan G maal de ingesloten massa maal de massa van het bewegende voorwerp (voor details zie een goed calculus boek over de wet van Gauss ).
Laten we kijken wat een bal buiten onze bolschil aarde doet. Er geldt dat de ingesloten massa gelijk is aan M_aarde. De integraal over het oppervlak van het krachtveld is F*4*pi*r^2 (het boloppervlak) en de massa van de bol is gewoon M_bal.
We krijgen: F * 4*pi*r^2 = G*M_aarde*M_bal
Omschrijven levert de bovenstaande formule. We zien dus dit in dit geval de bal naar de bolschil aarde beweegt alsof de aarde niet hol zou zijn. Kijken we nu echter naar het binnenste van de bol, dan zien we dat de ingesloten massa (helaas) nul is. Dus F*4*pi*r^2 = 0 En moeten we hieruit concluderen dat er geen zwaartekrachtsversnelling is.
Het is niet vreemd dat Newton en Hooke hierover twistten, de wet van Gauss werd pas ver na hun overlijden ontdekt.
Als ik het goed begrepen heb bedoel je dat alle massa van de aarde gecentreerd is in een bolschil die dezelfde straal als de aarde heeft.
Indien dit klopt is het antwoord enigzins teleurstellend; de bal valt niet.
Zoals Paul al opmerkte geldt voor de zwaartekracht tussen een bol en een (kleiner) balletje: F = G*M_bol* M_bal * 1/r^2 * 1/(4*pi) (in de juist gekozen eenheden) waarbij de richting van de kracht radi"eel naar binnen is, dus altijd naar het centrum van de bol gericht. r is de afstand tussen de bal en de bol.
Nu is er een (wiskundige) stelling die zegt dat de integraal over het oppervlak van het zogenaamde krachtveld (de zwaartekracht in dit geval) gelijk is aan G maal de ingesloten massa maal de massa van het bewegende voorwerp (voor details zie een goed calculus boek over de wet van Gauss ).
Laten we kijken wat een bal buiten onze bolschil aarde doet. Er geldt dat de ingesloten massa gelijk is aan M_aarde. De integraal over het oppervlak van het krachtveld is F*4*pi*r^2 (het boloppervlak) en de massa van de bol is gewoon M_bal.
We krijgen: F * 4*pi*r^2 = G*M_aarde*M_bal
Omschrijven levert de bovenstaande formule. We zien dus dit in dit geval de bal naar de bolschil aarde beweegt alsof de aarde niet hol zou zijn. Kijken we nu echter naar het binnenste van de bol, dan zien we dat de ingesloten massa (helaas) nul is. Dus F*4*pi*r^2 = 0 En moeten we hieruit concluderen dat er geen zwaartekrachtsversnelling is.
Het is niet vreemd dat Newton en Hooke hierover twistten, de wet van Gauss werd pas ver na hun overlijden ontdekt.
