Quantummechanica
Johan stelde deze vraag op 07 maart 2007 om 20:04.Wij doen ons profielwerkstuk over quantummechanica. Er zijn echter een aantal vragen:
1: Stel dat je een deeltje hebt in een toestand die een superpositie is van meerdere eigentoestanden van de bijbehorende hamiltoniaan. Hoe kun je op een eenvoudige manier de verwachtingswaarde van die energie bepalen, en in welk geval kun je deze verwachtingswaarde ook vinden bij meting?
2: Stel dat een deeltje met energie E op een potentiaaldrempel V0 botst, met V0>E. In dit geval kan er tunneling optreden. Wat zijn in deze de amplitudes van de gereflecteerde en de doorgelaten golffuncties? Kun je van tevoren voorspellen of er ergens tunneling op kan treden?
3: Stel, je hebt van een deeltje de plaats gemeten, en er vindt 'collapse of the wave function' plaats. Is dit permanent, of zal na verloop van tijd de golffunctie weer groeien zodat de plaats van het deeltje weer onbekend is? Heeft dit ook gevolgen voor de impuls van het deeltje (dmv de onzekerheidsrelatie van Heisenberg)?
Hopelijk kan iemand ons helpen,
Johan en Eva
Reacties
Beste Johan en Eva,
Wat een uitdagend onderwerp voor jullie PWS. Erg goed!
1. Stel dat je de toestand uitdrukt in de eigentoestanden, dan krijg je iets van:
T = a*T_1 + b*T_2 + c*T_3 ...
Waarbij T de gemengde toestand is, T_1, T_2 enzovoorts de eigentoestanden 1, 2 etcetera en a, b, c de constanten die aangeven hoeveel die bepaalde eigentoestand vertegenwoordigd is in de toestand T.
Een energie-eigentoestand is zo gedefinieerd dat als je de hamiltoniaan (dat is een matrix) erop laat werken, je de energie keer dezelfde toestand terugkrijgt:
H*T_1 = E_1*T_1;
H*T_2 = E_2*T_2; etc.
Als je nu de energie wil weten van toestand T, dan krijg je dus:
H*T = H*(a*T_1 + b*T_2 + c*T_3 ...) = a*E_1*T_1 + b*E_2*T_2 + c*E_3*T_3 ...
De energie is dus gewoon de energie van de eigentoestanden, gewogen met hoeveel die eigentoestanden voorkomen in de totale toestand.
Maar wat gebeurt er nu als je meet? Dan springt de toestand in een van zijn eigentoestanden (met kansverhouding a, b, c etcetera) en meet je dus alleen bijvoorbeeld E_2, of E_5 of zoiets. Dus je kan alleen de verwachtingswaarde precies meten, als die toevallig samenvalt met een eigenwaarde E_n van een van de toestanden, T_n.
In plaats van T wordt over het algemeen de griekse letter psi gebruikt voor het aangeven van een toestand, maar dat is hier wat lastig typen...
2. Hier is iets meer informatie voor nodig, bijvoorbeeld over de breedte van de drempel.
Kijk hiervoor eens op: http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_potential_barrier_%28QM%29
Verder kan overal en altijd tunneling optreden. De kans is gewoon vaak nogal klein. Zo bestaat er ook een kans dat ik heen en weer naar Groningen tunnel... gelukkig voor het normale leven is de kans daarop wel heeeeeeel erg klein.
3. Zolang het deeltje geisoleerd is, zal de 'collapse' permanent zijn. Zodra er interactie met de omgeving is, zal de superpositie waarin de omgeving zich bevindt het deeltje steeds meer in een superpositie brengen.
Stel bijvoorbeeld dat er twee toestanden zijn en het deeltje is in toestand 1. De omgeving is, stel, in superpositie van toestanden 3 en 4. Toestand 3 zorgt er bijvoorbeeld voor dat het deeltje in zijn toestand blijft en 4 ervoor dat de toestand van het deeltje van de een naar de andere toestand gaat. Steeds als het deeltje de omgeving in toestand 4 'voelt', zal hij meer naar toestand 2 gaan, maar als hij toestand 3 'voelt', dan zal hij meer in 1 blijven. Hierdoor is het dus afhankelijk van kwantummechanische kansen wat het deeltje gaat doen. Hierdoor komt hij (weer) langzaam in een superpositie van toestanden.
Omdat zijn plaats weer minder goed bekend is, kan zijn impuls weer beter bekend worden, maar of de impuls ook minder onzeker wordt, hangt van het systeem af. Tenslotte is Dx*Dp > h/(2pi) en niet Dx*Dp = h/(2pi), dus het de onzekerheid in de impuls, Dp, hoeft niet kleiner te worden... het kan.
Hopelijk heb ik jullie genoeg op gang geholpen. Succes verder!
Groet,
Melvin
