Beste meneer Van der Ven,

Allereerst, moet ik even flauw zijn, want ik moet zeggen dat ik het volledig met zowel het basisschoolkind, als Newton eens ben; het verschil met het klassieke geval is in dit geval ongeveer 0,0000005 % en dat is duidelijk verwaarloosbaar bij de gegeven significantie.

Waarom er een maximale snelheid is weten we niet. Als die er niet was geweest was het ook prima geweest... de wereld (en vooral het heelal) had er wat anders uitgezien, maar dat is a priori natuurlijk wel mogelijk.

Hier komt het verschil tussen wis- en natuurkunde, namelijk dat natuurkunde aannames doet. Deze aannames hebben soms verregaande gevolgen en kunnen natuurlijk fout zijn (daarom heten het theorien, modellen, etc.), maar als de gevolgen toetsbaar zijn en kloppen, dan gaan we er van uit dat de aannames kloppen. Wellicht is er een fundamentelere aanname te doen die vele andere, al geaccepteerde aannames tot gevolg hebben, maar ze uit het "niets" bewijzen gaat helaas niet. Descartes probeerde dit trouwens, beginnend met "cogito ergo sum", maar maakte ook allerlei aannames (zonder dat hij dit toe wilde geven overigens).

Dus als we er ooit achter komen waarom er een maximumsnelheid is, dan zal dat hoogstwaarschijnlijk voortkomen uit een andere aanname en kan je dezelfde vraag daarover stellen. Om die reden worden waarom-vragen meestal niet door natuurkundigen gesteld en beantwoord.

De maximumsnelheid an sich heeft nog niet zo heel veel gevolgen voor de ruimte-tijd, maar het feit dat hij universeel is (voor alle waarnemers met welke snelheid dan ook. Dit is het relativiteitsprincipe)  is wel erg belangrijk. Dit betekent namelijk dat de ruimte-tijd zo moet zijn dat je twee snelheden inderdaad niet zomaar bij elkaar kunt optellen, anders kan je over die maximumsnelheid heen gaan.

Over de kerktorens:
Als de hoeken gemeten worden door op een toren te gaan staan en naar de andere twee torens te kijken en hun onderlinge hoek op te meten, kom je zeker wel op 180 graden in totaal. Dit komt omdat je dan gewoon rechte lijnen (namelijk lichtstralen) gebruikt. Dus kerktorens zijn misschien niet het gelukkigste voorbeeld...

Maargoed, de premisse van zowel het basisschoolkind als Newton is dat er een absolute ruimte-tijd is, dat wil zeggen dat je de coordinatenstelsel van twee ten opzichte van elkaar bewegende waarnemers kunt vergelijken. Dat is niet het geval en daarom kan je niet gewoon de ene afstand/tijd (dus snelheid) bij de andere optellen.

Hopelijk was ik een beetje duidelijk.
Groet,
Melvin

Het antwoord van Melvin was althans voor mij niet nieuw, behalve zijn opmerking:

Waarom er een maximale snelheid is weten we niet. 

Ik kan dat bijna niet geloven. Ik dacht dat er zeker al aannames over de ruimte-tijd gemaakt waren, waaruit volgt, dat er een maximale snelheid moet zijn.

Mijn vraag is nu: Is het echt waar, dat men op dit moment niet weet, waarom er een maximale snelheid is.

Beste meneer Van der Ven,

Er is inderdaad een aanname te maken over de ruimte-tijd die een maximale snelheid impliceert, namelijk dat lege ruimte de Minkowski-metriek heeft (en dat afstanden reeel moeten zijn, niet complex). Een metriek vertelt hoe ruimte en tijd samenhangen en deze specifieke geeft de volgende vergelijking voor de eigenafstand:

(ds)^2 = (c*dt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2 , met s de eigenafstand (zeg maar de "echte" afstand van het deeltje in de 4-dimensionale ruimte), t de tijd, c de lichtsnelheid, x, y en z de ruimtelijke coordinaten en d... betekent een klein stukje van...

Stel voor dat het deeltje voor het gemak alleen in de x-richting beweegt, dan geldt (ds)^2 = (c*dt)^2 - (dx)^2
Met de aanname dat afstanden reeel zijn, is het kwadraat altijd groter/gelijk 0. Dus:
0 < (ds)^2 = (c*dt)^2 - (dx)^2    (wegens gebrekkige tekenset gebruik ik < voor kleiner/gelijk)
(dx)^2 < (c*dt)^2
(dx/dt)^2 < c^2

Dus de snelheid van het deeltje (dx/dt) is kleiner of gelijk aan de lichtsnelheid. 

Dus uit de Minkowski-metriek volgt een maximale snelheid.
Zelf vind ik dit niet het meest zuivere uitgangspunt, want zomaar aannemen dat lege ruimte een Minkowski-metriek heeft, vind ik een veel grotere stap dan de veronderstelling dat als ergens in het heelal iets gebeurt, dat niet instantaan over het hele heelal merkbaar moet zijn. Maargoed, dat is natuurlijk een kwestie van smaak

Vriendelijke groet,
Melvin

Hallo Melvin,

Ik begin het nog leuker te vinden dan ik het al vond. Je zegt dus, dat lege ruimte een Minkowski-metriek heeft. Maar nu terug naar de beginvraag. Wat antwoordt je het kind van groep 8 van de Basisschool in eenvoudige taal zonder gebruik te maken van differentiaal vergelijkingen, want die heeft het kind van groep 8 nog niet gehad, maar wel met een duidelijk en volledig antwoord? Waar heeft het niet aan gedacht bij het geven van het antwoord van 85 km per uur? Van welke premisse ging het uit en hoe had de premisse moeten zijn. Ik weet, dat zo'n antwoord mogelijk is, want ik heb zelf, samen met twee wiskundigen, een theorie ontworpen en ik weet, dat je die aan een leek, ondanks de wiskunde, duidelijk en volledig kunt uitleggen.  

Beste meneer Van der Ven,

Graag zou ik die theorie (of in ieder geval de hoofdlijnen ervan) willen horen!
Over het basisschoolkind:
Het kind gaat ervan uit dat twee snelheden zomaar op te tellen zijn. (Wat duidelijk ook een zeer goede benadering van de werkelijkheid is bij die snelheden!) De juiste premisse zou zijn dat gecorrigeerd moet worden voor de tijdsdilatatie en lengtecontractie van de bewegende waarnemer.

De differentiaalvergelijking was niet zozeer nodig om uit te leggen dat twee snelheden niet op te tellen zijn, maar om te laten zien dat er een maximale snelheid is bij de aanname van een Minkowski-metriek.

Nogmaals, ik ben erg geinteresseerd in uw theorie, dus als het mogelijk is deze als bijlage toe te voegen zou ik dat zeer op prijs stellen.

Vriendelijke groet,
Melvin

Ik ben niet tevreden met je antwoord. Je schrijft: "De juiste premisse zou zijn dat gecorrigeerd moet worden voor de tijdsdilatatie en lengtecontractie van de bewegende waarnemer.". Maar dat zijn gevolgen. Het is net zoiets als tegen iemand in de Middeleeuwen, die denkt dat de aarde een pannenkoek is, zeggen, dat als je over de aarde als maar in één richting doorloopt, dat je dan weer op hetzelfde punt uitkomt. Dat is een gevolg van de bolvorming van de aarde, maar zegt op zich niets over die vorm. Je had ook kunnen zeggen: "De juiste premisse zou zijn dat gecorrigeerd moet worden m.b.v. de Lorentztransformatie." De formule is een gevolg van assumpties, maar niet de assumpties zelf.  Zo heeft Janusz Murakowski de Lorentztransformatie afgeleid uit de volgende assumpties:  

The velocity of the first observer with respect to the second one will be denoted as v<sub>1/2.

The velocity of the second observer with respect to the first one will be denoted as v2/1.

Note, that v = v2/1.

By shifting the time and/or space labeling by one of the observers we assure that the point (0,0) for the first observer corresponds to the point (0,0) for the second one. The simplest nontrivial function will then be the linear one, that is:

(i) t2 = a11t1 + a12x1 en x2 = a21t1 + a22x1

(ii) The coefficients aij depend only on the relative velocity (v) of the observers.

(iii) If the velocity is 0 then a11 = 1, a12 = 0, a21 = 0 en a22 = 1.
i.e. if the observers do not move with respect to each other, they label the spacetime in the same way.

(iv) If observer A perceives B moving at the velocity v then B perceives A moving at the velocity -v.

(v) If both observers switch the space labeling, i.e x1 -> -x1 and x2 -> -x2 the coefficients aij do not change.</sub>

Een vervolgpublicatie is in voorbereiding.

We zullen onze discussie over hoe je nou het kind moet antwoorden wat mij betreft voortzetten.

Er stonden wat foutjes in mijn vorige reactie, vandaar hieronder de korte herhaling.

Ga voor de afleiding naar: <http://www.ee.udel.edu/~murakows/lorentz/lorentz4/lorentz4.html>

De afleiding van de Lorentztransformatie snap ik precies, maar ik kan geen antwoord geven aan het kind!

Mijn theorie heb ik ontwikkeld om twee soorten verschijnselen te verklaren:

1. Reactietijdfluctuaties in z.g. prolonged work tasks, dat zijn mentale opgaven, sommetjes en dergelijke, die eenvoudig op te lossen zijn maar voortdurend zonder rustpauzes gedaan moeten worden. De reactietijden worden geregistreerd.

Literatuur:

Smit, J.C. & van der Ven, A.H.G.S. (1995). Inhibition in Speed and Concentration Tests: the Poisson Inhibition Model. Journal of Mathematical Psychology, 39, 265-273.

Om een idee te krijgen hoe het werkt, ga naar: <http://oase.uci.kun.nl/~aven1935/actengl.htm>
en klik op: Theoretical background daar vindt je ook een simulatieprogramma.

2. De theorie is ook ontworpen om de perceptietijden in binoculaire rivaliteit te verklaren. Ga naar de Engelstalige site van Wikipedia en zoek met Binocular Rivalry.

Literatuur:

Ven, A.H.G.S. van der, Gremmen F.M. & Smit, J.C. (2005). A Statistical Model for Binocular Rivalry. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 58, 97-116.

Een vervolgpublicatie is in voorbereiding.

We zullen onze discussie over hoe je nou het kind moet antwoorden wat mij betreft voortzetten.

Hallo Melvin,

In feite schrijf je: 

(dx/dt)^2 < c^2

In feite zeg je daar gewoon, dat de snelheid kleiner of gelijk aan c moet zijn, maar dat is juist wat je aan moest tonen.

De bottom-line is dus eigenlijk, dat het kwadraat van de afgeleide van t (tijd) naar x (ruimte, ééndimensionaal) kleiner of gelijk aan een positieve constante moet zijn. Dat zou dus betekenen, dat t een of andere functie is van x en wel zodanig, dat het kwadraat van de afgeleide van t naar x kleiner of gelijk is aan een positieve constante. Nou lijkt het me dat er nogal wat functies zijn die aan deze voorwaarde voldoen. Pas als je iets over de functie (of is het een relatie) weet kun je volgens mij ons kind van Groep 8 antwoorden.

Groetjes, Ad.

Beste Ad,

Ik ken de afleidingen van de Lorentz-transformaties en ik ben het met je eens dat het flauw en tamelijk onvolledig was om het kind uit groep 8 te antwoorden dat het met lengtecontractie en tijdsdilatatie te maken heeft. Dat zijn inderdaad slechts gevolgen van het feit dat er een maximale snelheid, die er voor zorgt dat snelheden niet meer additief zijn. Waarom er een maximale snelheid is, is (in ieder geval tot op heden) een credo. Vragen waarom er een maximale snelheid is, staat met de ronde-aarde-analogie gelijk aan het vragen "waarom is de aarde dan een bol?". "Tja," zou iemand antwoorden, "dat is gewoon zo; kijk maar vanuit de ruimte". Zo zit het ook met de maximale snelheid: "kijk maar naar de klok van vliegtuigen, satellieten en alles wat een tijd lang een redelijke snelheid ten opzichte van de aarde heeft; deze klokken gaan langzaam iets achterlopen, helemaal consistent met het hebben van de maximale snelheid c, de lichtsnelheid."

Verder zou ik graag wat meer over je theorie horen, maar als ik het goed begrijp is het niet zo zeer een natuurkundige theorie, als wel een cognitieve theorie. Ik zou graag willen weten wat de relativiteitstheorie daarmee te maken heeft.

Verder volgt (dx/dt)^2 < c^2 en dus ook het hebben van een maximale snelheid uit de Minkowski-metriek, dus ik nam het niet zomaar aan, ik legde het verband uit dat de Minkowski-metriek het hebben van een maximale snelheid tot gevolg heeft.

Het is vrij simpel af te leiden dat snelheden niet meer gewoon op te tellen zijn in het geval van relativiteitstheorie. De lorentztransformaties geven dat objecten beschreven door de ene waarnemer (x,y,z,t) omgerekend kunnen worden naar die van de andere waarnemer (x',y',z',t'). Deze luiden wanneer beide waarnemers een relatieve snelheid v in de x-richting hebben:

x = g(x' - vt')
t = g(t' - vx'/c^2)
y = y'
z = z'

Hieruit volgt dat een beweging voor de eerste waarnemer (v1 = dx/dt) omgeschreven kan worden tot een beweging voor de tweede waarnemer (v2 = dx'/dt') door:

v1 = dx/dt = g(dx' - vdt')/(g(dt' - vdx'/c^2))
boven en onder delen door gdt' geeft:
v1 = (v2 - v)/(1 - v*v1/c^2)

Stel dat er geen maximale snelheid was geweest (c=oneindig), dan wordt het
v1 = v2 - v en dan zijn snelheden dus wel additief.

En over je laatste berichtje:
(dx/dt)^2 < c^2
betekent dat (dt/dx)^2 > 1/c^2
dus als je tijd als functie van de plaats wil zien, moet de afgeleide juist groter zijn dan een zekere positieve constante.

Verder wil je graag het antwoord weten op deze differentiaalvergelijking, zodat je dat aan het kind kan voorleggen. Iedere levensloop van welk deeltje of golf dan ook voldoet aan deze vergelijking en de antwoorden zijn dus alle mogelijke plaats-tijd-paden die deeltjes kunnen afleggen. Dus daarmee help je het kind denk ik weinig mee.

Wat ik aan het kind zou uitleggen, is dat omdat er een maximale snelheid hebt, je hoge snelheden niet gewoon bij elkaar kan optellen. twee keer 0,75 c geeft tenslotte een snelheid van 1,5 c en dat is te veel. Omdat heel veel kleine snelheden een grote snelheid maken, mag je kleine snelheden ook niet helemaal bij elkaar optellen. Hier scheelt het maar een beetje, omdat je nog lang niet in zicht bent van de maximale snelheid.
Dit is in principe voldoende om het te snappen, hoewel het kind het wellicht niet geloofd. Aan de andere kant hoeft een kind ook niet te geloven dat de aarde rond is enkel omdat het beweerd wordt.

Groetjes,
Melvin

Hallo Melvin,

Naar aanleiding van je reactie van 31 oktober 2006 het volgende. Je schrijft: "Vragen waarom er een maximale snelheid is, staat met de ronde-aarde-analogie gelijk aan het vragen 'waarom is de aarde dan een bol?'." Daar ben ik het niet mee eens. Met het meten van de hoeken, kan een nauwkeurige observator vaststellen, dat op aarde de som van de hoeken altijd groter is dan 180 graden (zoals snelheden in het heelal gemeten altijd kleiner of gelijk zijn aan de lichtsnelheid), en de waaromvraag is dan: waarom is dat zo (nl. dat de som van de hoeken altijd groter is dan 180 graden)? Mensen, die denken, dat de aarde een pannenkoek is zullen zeggen, dat weet ik niet. Degenen die in de bolvorming geloven geven de bolvorming van de aarde als de verklaring. Zo vermoed ik ook, dat de maximumsnelheid in het heelal verklaard kan worden door een of andere eigenschap van de ruimte of ruimtetijd aan te nemen. Natuurlijk kun je, als die eigenschap eenmaal bekend is, dan kun natuurlijk weer verder vragen: waarom is dat zo, maar dat kan altijd.

Mijn theorie is inderdaad een cognitieve theorie. Je mag ook zeggen een psychofysische theorie. Hij bestaat bekend als de Inhibitie Theorie, omdat inhibitie het belangrijkste verklarende concept is, net zoals het gravitatieconcept bij de Gravitatie Theorie van Newton. Alleen mijn theorie is een probabilistische theorie, in tegenstelling tot Newton's theorie, die een deterministische theorie is. De theorie als zodanig heeft niets te maken met relativiteitstheorie. Ik wilde je alleen maar zeggen, dat ik echt wel weet hoe wetenschap werkt. Hoewel het me vele jaren gekost heeft om daar achter te komen. Als je iets meer over mij wilt weten, ga dan naar: <http://oase.uci.kun.nl/~aven1935/>

Je schrijft: "Verder zou ik graag wat meer over je theorie horen …". Om een eerste idee te krijgen hoe de theorie werkt, ga naar: <http://oase.uci.kun.nl/~aven1935/actengl.htm>

en klik op: Theoretical background daar vindt je ook een simulatieprogramma.

Beste Ad,

Precies zoals je de hoeken van een driehoek op het aardoppervlak kunt opmeten en op meer dan 180 graden uit kan komen, zo kan je metingen doen aan: tijdsdilatatie bij vliegtuigen, satellieten e.d., het Michelson Morley experiment, perihelium precessie van Mercurius, gravitatie lenzen etcetera.
Deze experimenten geven je een totaal inconsistent beeld, tenzij je in (algemene) relativiteitstheorie (en dus in een maximale snelheid) gelooft. Ik zou dus zeggen dat het meten van de hoeken op het aardoppervlak staat tot het rond zijn van de aarde als het doen van (A)RT-experimenten staat tot het hebben van een maximale snelheid. Zoals het rond zijn van de aarde verklaard kan worden met het principe zwaartekracht, zo zou het ook kunnen zijn dat het hebben van een maximale snelheid ergens uit verklaard kan worden. Wat dat is weten we niet en tot op heden is het dus een credo.

Ik heb de theoretische achtergrond gelezen en zal binnenkort (op een Windows computer) het simulatieprogramma draaien. Verder twijfel ik er niet aan dat je weet hoe wetenschap werkt.

Vriendelijke groet,
Melvin

Hallo Melvin,

Toch nog maar even terug naar de beginvraag. Wat antwoordt je het kind van groep 8 van de Basisschool in eenvoudige taal. Waar heeft het niet aan gedacht bij het geven van het antwoord van 85 km per uur? Van welke premisse ging het uit en hoe had de premisse moeten zijn?

Ik geloof, dat ik nu weet wat een begin van een antwoord zou kunnen zijn. De foute premisse is, dat het kind er van uitgaat, dat afstanden en tijdsintervallen op de trein, gezien door de waarnemer op de grond, niet veranderen. Terwijl Einstein's premisse is, dat deze afstanden en tijdsintervallen wel veranderen en wel in afhankelijkheid van de snelheid waarmee de trein rijdt.

Het is net zoiets als iemand die zich bevindt in een kamer en kijkt door een glazen wand in een andere kamer en ziet dat alles daar (in de andere kamer) kleiner is dan bij hem en ook sneller verloopt (net zoals bij een te snel aflopende film). Als hij plotseling getransporteerd zou worden naar de andere kamer, zou hij niets merken, maar kijkend vanuit zijn eigen kamer, ziet hij wel, dat alles verschillend is en niet omdat het een optische illusie is, maar omdat het echt zo is.

Kun je het tot zover met me eens zijn?

Groetjes, Ad.

Beste Ad,

Om het wat overzichtelijker te houden, vervolg ik de discussie in een nieuwe vraag. Zie dus http://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/view.do?request.requestId=11477 voor mijn repliek.

Groetjes,
Melvin