Beste Joris,

In essentie is dit een heel erg moeilijk probleem, aangezien het genereren van elektrisch vermogen temperatuursafhankelijk is, en dus overal in de draad een ander vermogen geleverd kan worden. Waarschijnlijk moet je dan ook aannemen dat alle warmte in het centrum gegenereerd wordt. In dat geval krijg je volgens mij een temperatuur die afvalt als een e-macht:

T = To*exp(r/R) , met T de temperatuur, r de afstand van het centrum van de draad en R een parameter die zegt hoe snel de temperatuur afvalt.

Het probleem zit hem in het bepalen van deze R. Wanneer je die weet, dan is To te bepalen door:

T = To*exp(-6.5*10^-6/R) = 815K, dus
To = 815*exp(6.5*10^-6/R)

Wat de R precies is, kan ik niet zo snel bedenken, maar misschien dat er iets in je boek over staat.

Groet,
Melvin

Dag Joris en Melvin,
De door Joris vermelde opgave is me niet geheel duidelijk.
Over de draad staat er: "Hier wordt een vermogen van 325600 kW door gepompt". Wat betekent dit? Is de 325600 kW het vermogen van de warmte die in de draad ontstaat? Of is de 325600 kW het vermogen dat via de draad wordt getransporteerd, waarbij  het vermogen van de warmteontwikkeling in de draad een gedeelte is van de 325600 kW?
Wat moeten we ons voorstellen bij de eenheid W/(s×cm׺C) van de thermische geleidbaarheid? Moet dit misschien zijn J/(s×cm׺C)?
Mogen we aannemen dat de thermische geleidbaarheid onafhankelijk is van de temperatuur ter plaatse in de draad?
Groeten,
Jaap Koole

De volgende opgave sluit aan op de bovenstaande opgave van Joris.

Men heeft een rechte elektriciteitsdraad met een lengte van 3 m. Deze draad heeft een uniforme cirkelvormige doorsnede en een diameter van 6,5 mm. Door de draad loopt een elektrische stroom. Het vermogen van de warmte die de elektrische stroom in de draad ontwikkelt, is 1200 kW. De buitenzijde (mantel) van de draad heeft een temperatuur van 815 °C.
In de draad treedt warmtegeleiding op volgens de wet van Fourier. De warmtegeleidingscoëfficiënt (thermische geleidbaarheid) is λ=45 W/(m×K). We nemen aan dat λ niet afhangt van de temperatuur.
De elektrische weerstand R hangt wel af van de temperatuur T. Voor de (elektrische) soortelijke weerstand geldt rho(T)=rho(0)×(1+alfa×T) met rho(T) is de soortelijke weerstand bij een temperatuur T graden Celsius; rho(0) is de soortelijke weerstand bij nul graden Celsius; alfa is de weerstandstemperatuurcoëfficiënt. Het materiaal van de draad heeft alfa=0,005 per graad Celsius.
Het materiaal van de draad heeft een smeltpunt van 1325 °C. We nemen aan dat de elektrische stroom en de warmtestroom zich in de vloeibare en de vaste fase op dezelfde manier gedragen, met dezelfde waarden van de materiaalconstanten.
De situatie is stationair: warmteproductie en warmteafvoer zijn in evenwicht.
a. Bereken de axiale temperatuur van de draad (bij straal r=0).
b. Bereken de straal r van het gesmolten kerngedeelte van de draad.

Hieronder een eerste uitwerking van de bovenstaande opgave 2, waarbij we ten onrechte aannemen dat de elektrische weerstand R niet afhangt van de temperatuur T. Correcties zijn welkom.
We verdelen de massieve draad (straal R) in cilindrische schillen met dikte dr en lengte L.

Het vermogen van het warmtetransport in de vorm van geleiding door een schil met straal r is P₁=−λ×A×(dT/dr) met λ is de warmtegeleidingscoëfficiënt (thermische geleidbaarheid); A is het oppervlak van de schilwand en dT/dr is de temperatuurgradiënt ter plaatse van de schil. We verwachten dat de axiale temperatuur groter is dan de manteltemperatuur, zodat dT/dr negatief is. Het minteken zorgt dat P₁ een positieve waarde heeft.
Het oppervlak A van de schilwand is (cilinderomtrek)×(cilinderlengte)=2×π×r×L, zodat P₁=−2×π×λ×L×r×(dT/dr).

Als de elektrische weerstand niet afhangt van de temperatuur, wordt in elk stukje van de draaddoorsnede evenveel vermogen aan warmte geproduceerd. De grootte van de totale warmteproductie P₂ binnen de bovengenoemde schil is dan recht evenredig met de grootte van de doorsnede binnen de schil, zodat
P₂=(doorsnede binnen de schil)/(doorsnede van de gehele draad)*P=(π×r²)/(π×R²)×P
P₂=r²/R²×P met P is het gegeven totale vermogen van de warmteproductie in de gehele draad (1200 kW).

Warmteproductie en warmteafvoer zijn in evenwicht, zodat P₁=P₂ → −2×π×λ×L×r×(dT/dr)=r²/R²×P → dT=−P/(2πλLR²)×r dr
Integratie geeft T(r)=−P/(2πλLR²)×½r²+C₁.
Als randvoorwaarde geldt T(R)=manteltemperatuur T_m (815 °C) →
T_m=−P/(4πλLR²)×R²+C₁ → C₁=T_m+P/(4πλL) → T(r)=−P/(4πλLR²)×r²+T_m+P/(4πλL) →
T(r)=T_m+P/(4πλL)×{1−(r/R)²}.
De grafiek van T(r) is een halve bergparabool.

De bij opgave 2a gevraagde axiale temperatuur is T(0)=815+1200000/(4π×45×3)×{1−0}=1522 °C.
De straal r van het gesmolten kerngedeelte volgt uit 1325=815+1200000/(4π×45×3)×{1−(r/0,00325)²} → r=0,00172 m.
De werkelijke waarden zullen lager zijn. Bij kleine straal r is T hoger → de elektrische weerstand is daar groter → de warmteproductie U²/R (spanning kwadraat gedeeld door elektrische weerstand) in de binnenste gedeelten van de draad is wat kleiner dan hierboven is aangenomen.

Net als hierboven verdelen we de draad in dunne concentrische cilindrische schillen met dikte dr.
Is de elektrische soortelijke weerstand rho temperatuurafhankelijk volgens rho(T)=rho(0)×(1+alfa×T), dan is de weerstand van een schil R(T)=rho×L/opp=rho(0)×(1+alfa×T)×L/opp met opp is het oppervlak van de desbetreffende schil (loodrecht op de richting van de elektrische stroom).
Bij benadering geldt opp=(omtrek van de schil)×(dikte van de schil)=(2πr)×dr,
zodat R(T)=rho(0)×(1+alfa×T)×L/(2πr×dr).
Staat er een elektrische spanning U over de draad, dan geldt die spanning ook voor elke schil; ze zijn als het ware parallel geschakeld.
Het vermogen van de warmte die de elektrische stroom in een schil ontwikkelt, is
U²/R(T)=U²×2πr×dr/{rho(0)×(1+alfa×T)×L}=U²/{L×rho(0)}×{2πr/(1+alfa×T)}dr
Noemen we c=U²/{L×rho(0)}, dan is het in één schil ontwikkelde vermogen 2πc×{r/(1+alfa×T)}dr.
Het vermogen van de totale warmteproductie in alle schillen binnen de beschouwde schil volgt door integratie:
P₂=∫2πc×{r/(1+alfa×T)} dr = 2πc∫r/(1+alfa×T) dr waarbij de integraal loopt van 0 tot r.
Voor het vermogen van het warmtetransport in de vorm van geleiding door een schil is hierboven genoteerd P₁=−2×π×λ×L×r×(dT/dr).
Gelijkstellen van P₁ en P₂ levert −2×π×λ×L×r×(dT/dr)=2πc∫r/(1+alfa×T) dr, zodat
−λ×L×r×(dT/dr)=c∫r/(1+alfa×T) dr.
Heet dit een integro-differentiaalvergelijking? De oplossing van deze vergelijking (indien deze bestaat) is een functievoorschrift voor de temperatuur T als functie van de straal r. Is T(r) eenmaal gevonden, dan zijn we bijna klaar. Maar een "analytische" oplossing van deze vergelijking gaat me boven de pet. Melvin had gelijk: een lastig probleem.
Tja, wat nu gedaan?

Als opgave 2 met temperatuurafhankelijke weerstand niet "analytisch" oplosbaar is, kunnen we langs numerieke weg een oplossing zoeken. Met een computerprogramma zoals Basic maken we een programma dat de draad in dunne schillen verdeelt. Vanuit het midden van de draad tot aan de mantel berekent het programma na elke schil twee dingen.
1. Het totale vermogen P van de warmteproductie van alle meer naar binnen gelegen schillen.
Dit gebeurt met de rekeninstructie P=P+2πc×r×dr/(1+alfa×T), dus "nieuwe totale vermogen is oude totale vermogen plus het vermogen dat wordt geproduceerd in de huidige schil". Voor een toelichting op 2πc×r×dr/(1+alfa×T): zie de vorige bijdrage.
2. De temperatuur aan de buitenzijde van de huidige schil. Uit de vorige bijdrage gebruiken we:
P₁=−2×π×λ×L×r×(dT/dr) → het temperatuurverschil dT tussen de binnenzijde en de buitenzijde van de huidige schil is dT=−P₁/(2πλLr)×dr. De rekeninstructie voor de temperatuur aan de buitenzijde van de beschouwde schil is dan T=T-P×dr/(2πλLr), dat wil zeggen: de temperatuur aan de buitenzijde van de huidige schil is de temperatuur aan de buitenzijde van de vorige (meer naar binnen gelegen) schil minus het temperatuurverschil dT over de huidige schil.

Deze rekeninstructies P=P+2πc×r×dr/(1+alfa×T) en T=T-P×dr/(2πλLr) vormen de kern van het programma. Ze worden achtereenvolgens voor elke schil uitgevoerd, van binnen naar buiten. Na de berekening van de buitenste schil kennen we het totale geproduceerde vermogen P en de manteltemperatuur T_m.

Het programma heeft − behalve de waarde van de constanten straal, L, λ en alfa − ook startwaarden nodig voor de axiale temperatuur T(0) en de constante c. Als schatting van T(0) gebruiken we de eerder berekende 1522 °C. Een startwaarde van c bepalen we via:
P=U²/R=U²/{rho(T)×L/A)}=U²/{rho(0)×(1+alfa×T)×L/A}=U²/(rho(0)×L)×A/(1+alfa×T) →
P=c×A/(1+alfa×T) → c=P×(1+alfa×T)/A, toegepast op de draad als geheel. P=1200000 en alfa=0,005 en A=¼πD²=¼π0,0065² zijn gegeven. Met een schatting van 1100 °C voor de gemiddelde temperatuur van de draad vinden we c=2,4×10^11.

Verdere werkwijze: bereken het totale geproduceerde vermogen P en de manteltemperatuur T_m met de bovengenoemde rekeninstructies en startwaarden; als T_m te hoog uitvalt, kies een kleiner startwaarde voor de axiale temperatuur T(0) en omgekeerd; net zo lang tot T_m ongeveer op de gegeven 815 °C uitkomt; indien dan het berekende vermogen P hoger is dan 1200 kW, kies een lagere startwaarde van c en omgekeerd; net zo lang tot P=1200 kW en T_m=815 °C. Dit gepuzzel (steeds betere startwaarden van T(0) en c kiezen) kan in het rekenprogramma worden geautomatiseerd.

Zo vind ik, bij een verdeling in voldoende dunne schillen, een axiale temperatuur van 1443 °C en een straal van het gesmolten kerngebied van 1,5 mm.