Lees onderstaand artikel:
In hun kronieken hebben Chinese sterrenkundigen opgetekend dat in 1054 een heldere ster aan de hemel verscheen die zelfs overdag te zien was. We weten nu dat ze een zogenaamde supernova waarnamen. Dat is een ster die explodeert en daardoor grote hoeveelheden materie de ruimte in slingert. Het restant van deze explosie is een enorme gaswolk die nog steeds uitdijt: de Krabnevel (zie figuur 1).
De straal van de (bij benadering bolvormige) Krabnevel zoals wij die nu waarnemen, is ongeveer 5,5 lichtjaar. Een lichtjaar is een veel gebruikte afstandsmaat in het heelal: de afstand die het licht (met een snelheid van driehonderdduizend kilometer per seconde) in één jaar aflegt.
Opgaven
a) Bereken met behulp van de gegevens in het artikel de gemiddelde snelheid waarmee de Krabnevel sinds de explosie uitdijt in de ruimte.
Ate is amateur astronoom en heeft zijn sterrenkijker op het midden van de Krabnevel gericht. In het brandvlak van het objectief (de voorste lens van de kijker) plaatst hij een plaat met lichtgevoelige sensoren.
Licht dat van één punt van de Krabnevel komt, mag als evenwijdig worden beschouwd omdat de Krabnevel op zeer grote afstand staat. In figuur 2 zijn twee lichtbundels getekend: lichtbundel A die van de bovenkant van de Krabnevel komt en lichtbundel B die van de onderkant van de Krabnevel komt. Van elke bundel zijn twee lichtstralen getekend. Figuur 2 is niet op schaal.
Het beeld van de Krabnevel wordt gevormd in het brandvlak van het objectief.
b) Neem figuur 2 over en construeer het verdere verloop van beide lichtbundels.
Het beeld van de Krabnevel op de lichtgevoelige plaat is bij benadering cirkelvormig en heeft een diameter van 1,57 * 10–3 m. Ondanks de kleine afmetingen van dit beeld kan er een foto van worden afgedrukt waarop veel details te zien zijn. Dat komt omdat de pixels (= lichtgevoelige sensoren) op de plaat zeer klein zijn: één pixel heeft een oppervlakte van 5,48 * 10–11 m2.
c) Bereken het aantal pixels dat informatie over de Krabnevel bevat.
De diameter van het beeld van de Krabnevel is dus 1,57 * 10–3 m terwijl de diameter van de Krabnevel in werkelijkheid 11 lichtjaar is.
Voor de vergroting van het objectief geldt in dit geval:
N = f / v
De brandpuntsafstand f van het objectief is 0,90 m.
d) Bereken de afstand tot de Krabnevel, in lichtjaar of in meter.
De Krabnevel staat op een enorme afstand van de aarde. Berry en Ate discussiëren over de vraag wanneer de explosie plaatsvond waaruit de Krabnevel is ontstaan.
Berry denkt dat de explosie gewoon in het jaar 1054 plaatsvond.
Ate zegt dat het veel langer geleden gebeurd moet zijn.
e) Leg uit wie van hen gelijk heeft.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De gemiddelde snelheid wordt gegeven door het verschil in afstand gedeeld door het verschil in tijd.
Het verschil in tijd is 954 jaar wat overeen komt met:
Δ t = 954 * 365 * 24 * 3600 = 3,01 * 1010s
Het verschil in afstand is volgens het artikel 5,5 lichtjaar, wat overeen komt met:
Δ s = 5,5 * 365 *24 * 3600 * 3,00 * 108 = 5,20 * 1016m
Dan wordt de gemiddelde snelheid gegeven door:
vgem = Δ s / Δ t = 5,20 * 1016 / 3,01 * 1010 = 17 * 106m/s
Uitwerking vraag (b)
Door een lichtstraal midden door de lens te laten gaan is het juiste punt op het brandvlak te bepalen. Het resultaat moet er ongeveer zo uitzien:
Uitwerking vraag (c)
Het totale oppervlakte van het beeld van de krabnevel is:
A = π * r2 = π * (1,57 * 10–3 / 2)2 = 1,94 * 10-6 m2
Het oppervlak van een pixel is gegeven. Door het totale oppervlak te delen door het oppervlak van een pixel kan het aantal pixels bepaald worden. Dit geeft:
1,94 * 10-6 m2 / 5,48 * 10–11 m2 = 3,53 * 104
Uitwerking vraag (d)
In de gegeven formule is f, de brandpuntsafstand bekend. De beeldafstand, v, dient bepaald te worden. De vergroting N moet dus berekend worden. Dit kan gedaan worden door de grootte van het beeld te delen door de werkelijke grootte. Dit geeft:
N = 1,57 * 10-3 m / 11 lichtjaar = 1,57 * 10-3 / ( 11 * 365 * 24 * 3600 * 3,00 * 108 ) = 1,51 * 10-20
Nu kan de beeldafstand bepaald worden:
v = f / N = 0,90 / 1,51 * 10-20 = 6,0 * 1019 m
Uitwerking vraag (e)
Op het moment dat de Chinezen de Krabnevel voor het eerst zagen, had het licht al een lange afstand afgelegd. De explosie moet dus voor het jaar 1054 plaats gevonden hebben. Dit betekent dat Ate gelijk heeft.
