Een veer heeft in onbelaste toestand een lengte van 25 cm. Aan de veer wordt een massa van 50 gram gehangen, de veerconstante van de veer is 7,0 N / m
Opgave
a) Bereken de lengte die de veer heeft wanneer de massa van 50 gram er aan hangt (de massa is in rust).
De massa wordt vanuit de evenwichtstand 5,0 cm naar beneden getrokken en vervolgens losgelaten. Hierdoor gaat de massa een harmonische beweging uitvoeren.
b) Bereken de frequentie van deze harmonische beweging.
c) Bereken de maximale snelheid die de massa bereikt, gedurende de trilling.
Didier wil graag een systeem maken met een veerconstante van 10,0 N/m. Hiervoor gebruikt hij de veer met veerconstante van 7,0 N/m en een tweede veer met onbekende veerconstante C2. Hij kan deze tweede veer er naast hangen (parallel) of er boven hangen (serie). Zie figuur 1 hieronder.
d) Leg uit voor welke van de twee opstellingen hij moet kiezen.
e) Bereken de veerconstante C2 van de tweede veer.
Uitwerking vraag (a)
Op de massa van 50 gram werkt een zwaartekracht Fzwaarvoor geldt Fz = m * g = 0,050 * 9,81 = 0,4905 N.
De veer oefent precies deze kracht uit op de massa. De veerkracht Fveerberekenen we met de wet van Hooke: Fveer = C * u. In deze formule is C de veerconstante en u de uitwijking van de veer. Omzetten van deze formule levert u = Fveer / C = 0,4905 / 7,0 = 0,070 m(ofwel 7,0 cm)
De totale lengte van de veer in belaste toestand is 25 + 7 = 32 cm.
Schermafbeelding van de berekening op je GRM.
Uitwerking vraag (b)
De frequentie volgt uit de trillingstijd, we moeten dus eerst de trillingstijd berekenen. De trillingstijd T van een massa aan een veer berekenen we met de formule T = 2π * √ (m / C ).
Als we dit invullen vinden we T = 2π * √ (0,050 / 7,0 ) = 0,53 hieruit volgt voor de frequentie f = 1 / T = 1 / 0,53 = 1,9 Hz.
Schermafbeelding van de berekening op je GRM.
Uitwerking vraag (c)
We kunnen de maximale snelheid rechtstreeks bepalen uit de formule vmax = 2π *A / T.
Dit levert vmax = 2π *0,05 / 0,53 = 0,59 m / s
Schermafbeelding van de berekening op je GRM.
We kunnen ook kijken naar de energie van het systeem, voor het uitrekken van de veer is een kracht nodig F = C * u. Uitgeoefend over een zeer kleine afstand δu geeft dit voor de arbeid die op een veer moet worden uitgeoefend δW = F *δs een energie van δW = C * u *δu. De s uit de formule voor arbeid is immers dezelfde als de u uit de wet van Hooke. Wanneer we alle stukjes δW bij elkaar optellen tot de totale arbeid W, vinden we W = 1/2 C u2.
Hiemee vinden we voor de arbeid die op het systeem is verricht: W = 1/2 C u2 = 1/2 * 7,0 * 0,052 = 0,0875 J.
Deze energie wordt omgezte in bewegingenergie van de massa. Wanneer de snelheid maximaal is, is alle energie omgezet in bewegingsenergie van de massa. Er geldt dus 1/2 m vmax2 = 1/2 C u2. En dus 1/2 m vmax2 = 0,0875 J. Doorrekenen levert vmax2 = 2 * 0,0875 J /m en invullen van m = 0,050 geeft v = √ 0,35= 0,59 m/s.
Schermafbeelding van de berekening op je GRM.
Uitwerking vraag (d)
De veerconstante moet groter worden, dat betekent dat de samengestelde veer bij eenzelfde belasting minder ver moet uitrekken dan de originele veer. We kunnen ons voorstellen dat de massa over twee veren verdeeld moet worden, en dus kiezen we voor het systeem waarbij de veren parallel geschakeld zijn.
Als we de veren in serie zouden plaatsen, dan oefent een massa op beide veren een kracht uit. Hierdoor worden beide veren langer en dat betekent per definitie een grotere uitrekking dan bij een enkele veer. Van twee veren in serie is de veerconstante sowieso kleiner dan van elk van de veren apart. Voor ons vraagstuk is het dus niet aan de orde om de veren in serie te plaatsen.
Uitwerking vraag (e)
Het stelsel van veren moet een veerconstante van 10,0 N/m hebben. Als we aannemen dat dit stelsel precies een meter wordt uitgerekt, dan is de totale kracht dus 10,0 N. De eerste veer die we al hadden, levert hiervan 7,0 N (dat is immers de veerconstante). De tweede veer moet dus bij een uitrekking van 1,0 m een kracht leveren van 3,0 N. Voor de veerconstante van de tweede veer moet dus gelden: C2 = 3,0 N / m.
