Op de foto van figuur 1 zie je Mauro met een sopraansaxofoon.
Het instrument rust op zijn lippen en op de duim van zijn rechterhand. Met deze rechterduim oefent Mauro een kracht uit loodrecht op de saxofoon.
De werklijn van deze kracht is in de figuur aangegeven met een stippellijn. Het zwaartepunt van de sopraansaxofoon is aangegeven met de letter Z. De massa van de saxofoon is 1,44 kg.
Opgaven
a) Bepaal de grootte van de kracht die Mauro met zijn rechterduim moet uitoefenen om de saxofoon in evenwicht te houden. Maak daarvoor een print van figuur 1 en geef de armen van de krachten aan.
Mauro en zijn vriend Stef bespreken de toonvorming van de sopraansaxofoon.
Ze formuleren twee hypotheses:
a) De buis heeft één gesloten en één open uiteinde.
b) De buis heeft twee open uiteinden.
Deze hypotheses willen ze eerst controleren aan de hand van de grondtoon. Mauro blaast op de saxofoon met alle kleppen dicht. Stef registreert het geluid met een computer. Zie figuur 2.
Op internet vinden ze informatie over de frequentie van de grondtoon van beide types buis. Zie figuur 3. De sopraansaxofoon is 66 cm lang.
b) Toon aan dat geen van beide hypotheses bevestigd wordt door de gegevens van figuur 2 in combinatie met figuur 3.
Om nog op een andere manier de hypotheses te testen, kijken Stef en Mauro naar de boventonen. In figuur 4 zijn de frequenties van de toon van de saxofoon weergegeven.
c) Leg aan de hand van figuur 4 uit dat hypothese b het meest gesteund wordt.
Het lijkt er op dat hypothese b klopt, maar de grondfrequentie klopt niet. Daarom gaan Mauro en Stef in de literatuur zoeken hoe het precies zit met de toonvorming van een sopraansaxofoon. Zij vinden een theorie, die zegt dat een saxofoon een conische buis heeft. Dat wil zeggen dat de buis een deel van een kegel is. Zie figuur 5. Deze figuur is op schaal.
Door de conische buis is de toonvorming anders dan bij een klarinet of een orgelpijp. Voor de grondtoon van een conische buis zoals een saxofoon geldt:
λ = 2L
Hierin is:
- λ - de golflengte van de grondtoon;
- L - de akoestische lengte van de conische buis. Deze kan verkregen worden door de lengte van de buis te bepalen tot het denkbeeldig punt waar de dikte gelijk wordt aan nul.
d) Laat zien of de metingen van figuur 2 overeenkomen met bovenstaande theorie.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Er geldt:
Fzrz = Fdrd
Opmeten geeft rz = 2,7 cm en rz = 5,4 cm. Verder geldt
Fz = m * g
Invullen geeft dan:
1,44 * 9,81 * 2,7 = Fd * 5,4
Hieruit volgt: Fd = 7,1 N.
Uitwerking vraag (b)
Uit figuur 2 kunnen we de gemeten frequentie bepalen. In de figuur zien we dat 9 trillingen 0,042 s duren. Één trilling duurt dan:
T = 0.042 / 9 = 4.67 * 10-3 s
Dit komt overeen met een frequentie:
fgemeten = 1 / T = 1 / 4.67 * 10-3 = 2,1 * 102 Hz
Volgens figuur 3 hoort bij een buislengte van 66 cm een frequentie van 1,3 * 102 Hz voor een open-open buis en 2,6 * 102 Hz voor een gesloten-open buis. Beide hypothese worden dus tegengesproken door deze meting.
Uitwerking vraag (c)
Voor een open-open buis zijn de boventonen gegeven door een geheel aantal keer de grondtoon. Voor een gesloten-open buis zijn de boventonen gegeven door een oneven aantal keer de grondtoon.
Uit figuur 4 blijkt dat de boventonen een geheel aantal keer de grondtoon zijn. Hypothese a wordt dus tegengesproken en hypothese b gesteund.
Uitwerking vraag (d)
De akoestische lengte kan met behulp van figuur 5 bepaald worden:
L = 13,2 / 10,5 * 0,66 = 0,83 m
Dit geeft een golflengte λ van:
λ = 2 * L = 2 * 0,83 = 1,66 m
De bijhorende frequentie kan dan berekend worden met v = λ * f, met daarin f de frequentie en v de geluidssnelheid. Invullen geeft:
f = v / λ = 343 / 1,66 = 207 Hz
Dit kom dus overeen met de metingen in figuur 2.
