Opgave
Volgens de derde wet van Kepler geldt voor de omloopstijd van een planeet het volgende:
met:
- T: de omloopstijd van de planeet in s;
- r: de afstand van de planeet tot de zon in m;
- G: de gravitatieconstante, gelijk aan 6,67 . 10-11 N m2 / kg2
- M: de massa van de zon, gelijk aan 1,989 . 1030 kg.
Een rechte lijn kan verkregen worden door log r uit te zetten tegen log T.
A. Zoek in BINAS de tabel op met gegevens over planeten.
B. Maak een tabel waarin alle planeten voorkomen en zet hierin van elke planeet de omloopstijd (T) en de (gemiddelde) afstand tot de zon (r).
C. Vul de tabel aan met kolommen voor log r en log T.
D. Zet in een grafiek (op normaal ruitjespapier) log r uit tegen log T.
E. Stel een vergelijking op van de lijn.
F. Bereken met behulp van deze vergelijking èn de grafiek de massa van de zon en vergelijk dit met bovenstaande waarde.
G. Zet vervolgens r uit tegen T op dubbellogaritmisch papier (bijgevoegd). Conclusie(s)?
Uitwerking vraag (a)
De tabel uit BINAS met de planeten met hun gemiddelde omloopstijd en de gemiddelde afstand tot de zon:
Als de twee laatste kolommen tegen elkaar worden uitgezet, krijg je de volgende grafiek:
● T2 = 4.π2 * r3 / (G * M), dus r = 3√ ( G * M * T2 / [4.π2])
●log r = log(3√ [G * M * T2 / [4.π2]) = 1/3 log(G * M * T2 / [4.π2]) = 1/3 (log [G * M / {4.π2}] + log T2) = 1/3 log [G * M / {4.π2}] + 2/3 log T
● De raaklijn in de grafiek zegt: log r = 6,1747 + 0,6668 log T
● 0,6668 komt heel goed overeen met 2/3
● 6,1747 = 1/3 log (G * M / {4.π2}), dus G * M / (4.π2) = 103 * 6,1747 = 3,3 * 1018
● M = 4.π2 * 3,3 * 1018 / G = 1,98 * 1030 kg
● Dit is bijna gelijk aan de werkelijke massa (1,99 * 1030)
● Deze grafiek geeft dezelfde resultaten:
