Een xylofoon is een muziekinstrument. Dit instrument bestaat uit een metalen frame, waarop houten klankstaven liggen die een toon voortbrengen als je er met xylofoonstokken op slaat. Onder de klankstaven hangen resonantiebuizen die het geluid versterken. Zie figuur 1.
Eén van de klankstaven steunt op de plaatsen P en Q op het frame. Zie figuur 2. Wanneer de klankstaaf in het midden wordt aangeslagen, ontstaat er in de staaf een staande transversale golf met knopen in de punten P en Q.
De klankstaaf brengt bij kamertemperatuur een toon voort met een frequentie van 440 Hz.
Opgaven
a) Bereken de voortplantingssnelheid van de transversale golven in deze staaf.
De resonantiebuizen die onder de klankstaven hangen, zijn aan de bovenkant open en aan de onderkant gesloten. Zie figuur 3.
Na het aanslaan van een klankstaaf ontstaat in de lucht van de bijbehorende resonantiebuis een staande longitudinale golf met 1,3 cm boven de buis een buik. De resonantiefrequentie is gelijk aan de frequentie van de klankstaaf.
De resonantiebuis brengt de grondtoon voort. De temperatuur is 20ºC.
b) Bereken de lengte van de resonantiebuis die onder de klankstaaf van 440 Hz hangt.
Zonder de resonantiebuis geeft de klankstaaf op een bepaalde afstand een geluidsdrukniveau van 60 dB, mét resonantiebuis van 77 dB.
c) Bereken de verhouding van de geluidsintensiteiten met en zonder resonantiebuis.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De snelheid van een golf is gelijk aan de frequentie keer de golflengte: v = fλ.
De frequentie is gegeven: f = 440 Hz.
De golflengte kunnen we berekenen m.b.v. figuur 2: in P en Q zit een knoop. De grondtoon die hierbij hoort heeft daartussen dus 1 buik. Dit betekent dat de afstand tussen P en Q een halve golflengte is. De hele golflengte is dus λ = 2·19,5 = 39 cm = 0,39 m.
De snelheid in de staaf is: v = fλ = 440·0,39 = 172 m/s.
Uitwerking vraag (b)
We kunnen dezelfde formule gebruiken als bij vraag a: dit keer om de golflengte te berekenen. De geluidssnelheid in lucht bij 293 K (20ºC) is 343 m/s (zie Binas).
De frequentie is nog steeds 440 Hz. De golflengte is dus:
λ = v/f = 343/440 = 0,78 m = 78 cm.
Gegeven is dat er 1,3 cm boven de buis een buik zit, en omdat de buis van onder dicht is, zit onderin een knoop. Dit betekent dat deze lengte + 1,3 cm gelijk is aan ¼ van de golflengte is, zie figuur 4.
figuur 4
Er geldt: Lengte + 1,3 cm = ¼·λ = 19,5 cm. De lengte van de buis is dan: 19,5 - 1,3 = 18,2 cm.
Uitwerking vraag (c)
Er zijn verschillende manieren om dit handig op te lossen met de formule L = 10log(I/I0). We noemen het niveau zónder buis L1 = 60 dB en mét buis L2 =77 dB.
- Manier 1:
∆L = L2 - L1 = 10log(I2/I0) - 10log(I1/I0) = 10log(I2/I1) (want logaritmes van elkaar aftrekken is te schrijven als een breuk in één logaritme).
--> 77 - 60 dB = 17 dB = 10log(I2/I1)
--> 17/10 = 1,7 = log(I2/I1)
--> I2/I1 = 50. Dus mét buis is het geluid 50x sterker dan zonder buis! - Manier 2:
Voor mét en zonder buis de intensiteiten apart berekenen en dan pas vergelijken.
Zonder buis: L1 = 10log(I1/I0 = 60 dB
--> I1 = 1,0·106 W/m2.
Met buis: L2 = 10log(I2/I0 = 77 dB
--> I1 = 50·106 W/m2.
De intensiteit is dus 50x groter mét buis dan zonder buis!
