De jan-van-gent is de grootste zeevogel van het Noordzeegebied. Zie figuur 1.
Hij leeft van vis, die hij door middel van een snelle duik vanuit de lucht uit het water haalt. Vanaf een hoogte van 30 m duikt hij daarbij zonder beginsnelheid loodrecht naar beneden en komt met een snelheid van ruim 100 km/h in het water terecht.
Opgaven
a) Toon aan dat deze snelheid in een vrije val over 30 m niet gehaald wordt.
Een jan-van-gent heeft een massa van 2,8 kg. Op het tijdstip t = 0 s versnelt hij zonder verticale beginsnelheid door middel van een krachtige vleugelslag loodrecht naar beneden. Behalve de zwaartekracht levert hij dus zelf een kracht.
Op t = 0,82 s is zijn snelheid 27 m/s.
b) Bereken de gemiddelde kracht die de jan-van-gent tijdens dit gedeelte van zijn duik levert.
Vanaf t = 0,82 werkt alleen de zwaartekracht nog. De jan-van-gent bevindt zich op dat moment nog 28 m boven het water.
c) Bereken met behulp van energiebehoud met welke snelheid hij in het water terecht komt. Verwaarloos daarbij de luchtweerstand.
Het is van belang dat de jan-van-gent loodrecht boven de vis hangt voordat hij duikt. Als hij er schuin boven hangt, ziet hij de vis niet op de plek waar deze zich bevindt. De situatie is weergegeven in figuur 2. In deze figuur zijn twee mogelijke stralengangen A en B getekend van licht dat van de vis in het oog van de jan-van-gent komt.
d) Leg uit of de jan-van-gent de vis in figuur 2 links of rechts ziet van de plaats waar die zich in werkelijkheid bevindt. Leg daartoe eerst uit of de juiste stralengang wordt weergegeven door A of door B.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Er zijn twee manieren om deze vraag op te lossen:
- We kunnen gebruik maken van de bewegingsvergelijking: y2 = -½gt2 + y1. We hebben alle waarden van deze grootheden, behalve t. De tijd die de vogel erover doet om beneden te komen met een vrije val kunnen we hiermee dus berekenen.
In de formule is y2 de eindhoogte (de hoogte van de zeespiegel = 0 m), y1 de beginhoogte (30 m) en g de valversnelling (9,81 m/s2). Alles invullen en omschrijven naar de tijd geeft:
t = √-((y2 - y1) / (½g)) = 2,47 s.
Nu we de tijd weten, kunnen we de eindsnelheid berekenen met de formule:
v2 = v1 + gt, met v2 de verticale eindsnelheid en v1 de verticale beginsnelheid (0 m/s).
Invullen geeft de eindsnelheid die we zoeken: v2 = 0 + 9,81 · 2,47 = 24,3 m/s = 24,3 m/s. Dit is gelijk aan 24,3 m/s · 3,6 = 87,3 km/h. Het is dus minder dan de 100 km/h die de vogel in het echt heeft. Het toont dus aan dat de vogel niet gewoon met een vrije val duikt, maar zelf nog naar onderen versnelt. - Een andere manier is m.b.v. energiebehoud:
∆E = 0 = ½m∆v2 + mg∆h,
met ∆v = veind - vbegin = - veind en ∆h = heind - hbegin = 0 - 30 = -30 m. Alles invullen en omschrijven geeft de eindsnelheid:
veind = √(2·m·g·30 / m) = √(2·9,81·30) = 24,3 m/s.
Dit is gelijk aan 24,3 m/s · 3,6 = 87,3 km/h. Het is dus minder dan de 100 km/h die de vogel heeft. Dit toont dus aan dat de vogel niet gewoon met een vrije val duikt, maar zelf nog naar onderen versnelt.
Uitwerking vraag (b)
De totale kracht die de vogel ondervindt is: Ftot = Fvleugel + Fz = ma.
Fvleugel wordt gevraagd, dus we berekenen Ftot en Fz en trekken ze van elkaar af:
- Fz = mg = 2,8 · 9,81 = 27,5 N.
- Ftot = ma = m∆v/∆t, met ∆v = v(0,82) - v(0) = 27 - 0 = 27 m/s en ∆t = 0,82 - 0 = 0,82 s.
=> Ftot = 2,8 · 27 / 0,82 = 92,2 N.
Nu kunnen we Fvleugel berekenen: Fvleugel = Ftot - Fz = 92,2 - 27,5 = 64,7 N.. Netjes afronden op twee sinig=ficante cijfers levert een eindantwoord van 65 N.
Uitwerking vraag (c)
Energiebehoud bevat hier de kinetische energie en de zwaarte-energie: ∆E = 0 = ½m∆v2 + mg∆h.
We hoeven alleen maar naar het gedeelte vanaf 28 meter hoogte tot aan het water te kijken: v1 = 27 m/s, v2 willen we weten, h1 = 28 m en h2 = 0.
Alles invullen en v2 vrijmaken geeft:
v2 = √(v12 + 2gh1) = √(272 + 2·9,81·28) = 36 m/s.
(Dit is gelijk aan 36 m/s · 3,6 = 130 km/h, dus nu inderdaad sneller dan 100 km/h.)
Uitwerking vraag (d)
Bij een overgang die van water naar lucht gaat, wordt het licht afgebogen van de normaal af, de hoek wordt dus groter. Dit is juist weergegeven met A. De vogel ziet hierdoor de vis niet op de plaats waar hij is, maar daar waar de lijn in de lucht doorgetrokken wordt in het water. Dit is in de figuur 2 dus rechts van de vis.
