Wetenschappers willen bestuderen hoe vloeistofstromen verlopen als er geen zwaartekracht zou zijn. Om het effect van de zwaartekracht uit te schakelen worden de experimenten uitgevoerd in een capsule die een vrije val maakt. De vloeistoffen zijn dan gewichtloos.
Deze experimenten kunnen worden uitgevoerd in de valtoren van Bremen, waarin een capsule over een afstand van 110 m kan vallen, zie figuur 1.
figuur 1
bron: Jürgen Howaldt, via Wikimedia Commons
In figuur 2 staat de (v,t)-grafiek van een vallende capsule.
figuur 2
Aan de grafiek is te zien dat de capsule tijdens deze val luchtweerstand ondervond. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
Opgaven
a) Teken in de figuur op de uitwerkbijlage hoe de grafiek zou lopen indien er helemaal geen luchtweerstand was geweest. Laat de grafiek eindigen op het tijdstip dat de 110 m is afgelegd.
In de valtoren bevindt zich een cilindervormige valbuis met een lengte van 120 m en een diameter van 3,5 m. Om de gewichtloze toestand zo goed mogelijk te benaderen wordt de valbuis vacuüm gepompt. De luchtdruk is 1025 hPa en de temperatuur is 20 °C. De molaire massa van lucht is 28,8 g.
b) Bereken de massa van de lucht die uit de buis gepompt moet worden. Verwaarloos daarbij het volume dat door apparatuur en dergelijke ingenomen wordt.
In werkelijkheid is het niet mogelijk om de buis volledig vacuüm te pompen. Daardoor is de vloeistof in de capsule net niet helemaal gewichtloos. Men spreekt dan van microzwaartekracht: tijdens het vallen blijkt het gewicht nog maar een miljoenste deel van de gewone zwaartekracht te zijn.
c) Bereken het gewicht van 1,0 mL siliconenolie tijdens het vallen.
In plaats van de capsule op te hijsen en te laten vallen, kan men de capsule ook naar boven schieten met een soort katapult. Figuur 3 is het bijbehorende (h,t)-diagram; h = 0 is zowel de hoogte waarop de capsule loskomt van de katapult als de hoogte waarop het afremmen van de landing begint.
figuur 3
d) Leg uit hoe lang de tijdsduur is dat de vloeistof vrijwel gewichtloos is.
In figuur 4 staat de grafiek van de kracht die de katapult op de capsule uitoefent tijdens het wegschieten. Behalve de waarde 0 staan er verder geen waarden bij de F-as. Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 4
De capsule heeft een massa van 120 kg.
e) Bepaal de maximale waarde van de kracht die de katapult op de capsule uitoefent. Gebruik daartoe eventueel figuur 4 op de uitwerkbijlage.
Uitwerkbijlagen
Open de uitwerkbijlage bij de vraag van jouw keuze.
Uitwerkbijlage bij vraag (a)
Uitwerkbijlage bij vraag (e)
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Als er helemaal geen wrijving was, zou de versnelling van de capsule constant blijven en de snelheid lineair blijven toenemen. De gewenste lijn is dus recht. Hoe lang het duurt tot 110 m is afgelegd, kun je afleiden uit s = 1/2 at2: 110 = 1/2 · 9,81 · t2 geeft t = 4,74 s. De snelheid op dat punt is v = a · t = 9,81 · 4,74 = 46,5 m/s. Het eindpunt van de lijn ligt dus op die waarden voor v en t.
Uitwerking vraag (b)
- Gebruik de formule pV = nRT: herschreven geldt dat n = pV / (RT). De druk p is gegeven (1025 · 102 pA); T bedraagt 273 + 20 = 293 K. R is de ideale gasconstante van 8,31 J/(mol · K), te vinden in Binas.
- Het volume V in de buis is π r2h = π · (3,5 / 2)2 · 120 = 1,15 · 103 m3.
- Uit deze gegevens volgt dat n = 1025·102 · 1,15·103 / (8,13 · 293) = 4,97 · 104 mol. Omgezet naar massa is dit 4,97·104 · 28,8·10-3 = 1,4 · 103 kg.
Uitwerking vraag (c)
Zoek de dichtheid van deze olie op in Binas: ρ = 0,76 · 103 kg m-3. De massa van 1,0 mL siliconenolie is dan m = ρ · V = 0,76·103 · 1,0·10-6 = 7,6 · 10-4 kg.
De normale zwaartekracht Fz zou dan 7,6·10-4 · 9,81 = 7,5 · 10-3 N zijn. In dit geval is het gewicht maar één miljoenste daarvan, oftewel 7,5·10-3 · 10-6 = 7,5 · 10-9 N.
Uitwerking vraag (d)
De vloeistof is ongeveer gewichtloos wanneer (bijna) alleen maar zwaartekracht werkt op de capsule. Alles na de katapult-worp en vóór het afremmen valt hieronder, oftewel de gehele curve in de figuur. De vloeistof is dus min of meer gewichtloos tussen t = 0 s en t = 9,5 s.
Uitwerking vraag (e)
- De betrokken krachten tijdens het wegschieten zijn de (gemiddelde) katapultkracht en de zwaartekracht. In totaal geldt dus: Fkat,gemΔt - FzΔt = mΔv. Bovendien is Fkat,gem de oppervlakte onder de grafiek van figuur 4, waarvan we de schaal nog niet weten: we kunnen Fkat,max afleiden, als we de formule verder hebben ingevuld.
- Uit de grafiek blijkt dat Δt = 0,40 s. m bedraagt 120 kg, dus Fz = 120 · 9,81 = 1,18 · 103 N.
- Om de snelheid na het wegschieten te bepalen, kun je meerdere methodes toepassen. De eenvoudigste optie is het hergebruiken van vraag (a) met de formules voor versnelling: s = 1/2 at2 en v = a · t. (Deze keer stelt a vertraging voor, maar de getallen zijn hetzelfde.) Ook kun je de verandering in zwaarte-energie gelijk stellen aan die in kinetische energie: mgΔh = 1/2mv2. Een minder nauwkeurige methode is om Δv af te leiden uit het (h,t)-diagram van de capsule (de helling aan het begin van de kromme stelt de gewenste snelheid voor). Alle manieren hebben als uitkomst dat Δv = 46,5 m/s.
- Invullen geeft: Fkat,gemΔt = mΔv + FzΔt = 120·46,5 + 1,18·103·0,40 = 6,05 · 103 (N s).
- We kunnen Fkat,gemΔt, zoals gezegd, zien als de oppervlakte onder de grafiek van figuur 4. Deze benaderen we met een driehoek (zie de figuur hieronder): de oppervlakte daarvan is gelijk aan 1/2 · Fkat,max · 0,43. De werkelijke waarde van Fkat,gemΔt weten we al: gelijkstelling geeft 1/2 · Fkat,max · 0,43 = 6,05·103, oftewel Fkat,max = 6,05·103 / (1/2·0,43) = 2,8 · 104 N.
