Lees onderstaand artikel.
Op het Massachusetts Institute of Technology in Boston (USA) werd het massaverschil van Si-28 en Si-29 bepaald via een frequentiemeting. De atomen werden eerst éénmaal geïoniseerd, vervolgens versneld en daarna in een homogeen magnetisch veld gebracht. De snelheid van de Si+-ionen stond loodrecht op de richting van het magnetisch veld. Hierdoor kwamen beide ionen in een cirkelbaan.
Opgaven
a) Leg uit waarom de baan van de ionen cirkelvormig is.
De onderzoekers konden gedurende een half jaar heel nauwkeurig de frequenties meten waarmee de ionen ronddraaiden. De frequentie f waarmee een ion met lading q ronddraait in een magneetveld met sterkte B hangt af van zijn massa m en niet van zijn snelheid en de straal van de cirkel:
b) Leid deze formule af uit formules in Binas.
De waarde van B was 8,5 T.
c) Bereken voor één van de ionen de frequentie waarmee hij ronddraaide.
Omdat de massa van het neutron precies bekend was, konden de Amerikaanse onderzoekers uit de metingen van de frequenties het massadefect exact bepalen. Dit eindresultaat is in figuur 1 weergegeven.
Onderzoekers van het Institut Laue-Langevin in Grenoble (Frankrijk) beschikken over een spectrometer om zeer nauwkeurig de golflengte van gamma-fotonen te bepalen. De gammastraling die vrijkomt bij de invangreactie werd door hen gemeten. In figuur 2 staan de resultaten weergegeven. Bij elk foton is ook de energie ervan berekend.
Omdat de waarden in BINAS niet nauwkeurig genoeg zijn, staan in de tabel hieronder waarden van enkele constanten en grootheden die je moet gebruiken bij de volgende twee vragen.
d) Laat zien dat de berekende energie E1 van het eerste gamma-foton γ1 overeenkomt met de gemeten golflengte λ1.
Hint: bereken eerst de frequentie van het foton.
In de laatste zin van het artikel wordt een bewering gedaan over de nauwkeurigheid.
e) Ga met een berekening uitgaande van de gegevens in de figuren 1 en 2 na of met de experimenten de formule van Einstein met een nauwkeurigheid van één op tien miljoen is aangetoond.
In één van de genoemde wetenschappelijke instituten hadden de onderzoekers een neutronenbron nodig om hun experiment uit te kunnen voeren.
f) Leg uit in welk instituut dat was.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De lorentzkracht staat voortdurend loodrecht op de richting van de snelheid. Deze kracht is constant. Daardoor buigen de ionen steeds een beetje af en gaan ze een cirkelbaan beschrijven.
Uitwerking vraag (b)
We beginnen met een formule voor de frequentie: f = 1 / T.
Vervolgens gebruiken we de formule: T = 2πr / v, die we invullen in de eerste formule:
f = v / 2πr. De formule waar we naartoe werken bevat wel 2π, maar niet v en r, die moeten we dus nog omschrijven. Hiervoor gebruik je de formule voor de Lorentzkracht (FL = Bqv) en de middelpuntzoekende kracht (Fmpz = mv2 / r). Deze twee zijn gelijk aan elkaar, omdat de lorentzkracht altijd naar het midden van de cirkelbaan wijst.
Hier halen we een uitdrukking voor de snelheid uit:
mv2 / r = Bqv, dus v = Bqr / m.
Deze invullen in de frequentie-formule levert het antwoord op:
f = Bqr /2πrm = Bq / 2πm
Uitwerking vraag (c)
Gebruik de formule die je net hebt afgeleid voor de frequentie. Stel we nemen het Si-28 ion, deze heeft een massa van m = 28 u = 28*1,66*10-27 kg. De sterkte van het magnetisch veld is gegeven: B = 8,5 T. En de lading is positief en staat in Binas: q = +1,6*10-19 C.
Alles invullen levert je het antwoord:
f = (8,5 * 1,6*10-19) / (2π*28*1,66*10-27) = 4,7*106 Hz = 4,7 MHz.
Het werkt hetzelfde voor het andere ion, Si-29, maar dan is de massa natuurlijk 29 u en vind je een frequentie van 4,5 MHz.
Uitwerking vraag (d)
Gebruik de formule voor de energie van fotonen: E = hf, met f = c / λ.
Invullen van lambda 1 en de lichtsnelheid geeft de frequentie: f = 2,9979246*108 / 3,5031716*10-13 = 8,5577441*1020 Hz.
De energie van het eerste foton is dan: E = hf = 6,6260690*10-34 * 8,5577441*1020 = 5,6704203*10-13 J.
Dit kun je nog omschrijven naar de eenheid elektronvolts door te vermenigvuldigen met het elementair ladingskwantum: E = 5,6704203*10-13 * 1,6021765*10-19 = 3539198,3 eV.
Uitwerking vraag (e)
Vergelijk de energie van de fotonen uit de twee experimenten met elkaar.
Bij het eerste experiment (USA) hebben de fotonen een energie van: ∆E = ∆mc2 = (9,0967794*10-3 u * 1,6605388*10-27 kg) * (2,9979246*108 m/s)2 = 1,35761961*10-12 J.
Bij het tweede experiment (FR) hebben de fotonen samen een energie van Etot = 8473595,7 eV * 1,6021765*10-19 = 1,35761959*10-12 J.
Als we ze delen, zien we in hoeverre ze overeen komen (stel ze zijn precies gelijk, dan komt er natuurlijk één uit):
∆EUSA / EFR = 1,000000015. Ze verschillen pas na 7 cijfers, dus ze hebben een nauwkeurigheid van één op 10 miljoen (tien miljoen is 7 cijfers).
Uitwerking vraag (f)
Om de golflengte van de gamma-fotonen te meten, moet de reactie plaatsvinden. Hiervoor zijn neutronen nodig. Dat gebeurde in het Institut Laue-Langevin in Grenoble.
