In een vliegwiel wordt bewegingsenergie (rotatie-energie Erot) opgeslagen. Als het vliegwiel, zonder te draaien, zich verplaatst met snelheid v geldt voor de kinetische energie: Ekin = 1/2 mv2.
Als een vliegwiel met een vorm zoals afgebeeld in figuur 1, zich niet verplaatst maar wel om zijn as draait, geldt voor de kinetische energie: Erot = αmvrand2. Hierin is vrand de snelheid van een punt op de buitenste rand van het vliegwiel, m de massa van het vliegwiel en α een constante.
Opgaven
a) Leg uit waarom α wel kleiner moet zijn dan 1/2.
In de Verenigde Staten rijden treinen met grote vliegwielen. In figuur 1 zijn de afmetingen van zo'n vliegwiel aangegeven. De buitenste rand van het vliegwiel mag bij een stilstaande trein maximaal een snelheid bereiken van 1000 m s-1.
Onder het toerental verstaan we het aantal omwentelingen per minuut.
b) Bereken het maximaal toegestane toerental.
Bij te hoge toerentallen bestaat het gevaar dat stukjes materiaal van de buitenste rand van het vliegwiel afvliegen. Daarom moet de kracht groot zijn waarmee het materiaal van de buitenrand hecht aan de rest van het vliegwiel.
c) Bereken bij het vliegwiel van een stilstaande trein de verhouding tussen de hechtende kracht op een stukje materiaal aan de buitenrand en de zwaartekracht op dat stukje.
Als een trein een helling oprijdt, zal de trein snelheid verliezen als het motorvermogen gelijk blijft en de wrijvingskrachten niet veranderen. Men wil echter de snelheid van de trein constant houden. Daarom wordt er voortdurend rotatie-energie van het vliegwiel toegevoerd aan de trein. Voor het gebruikte vliegwiel is bovengenoemde α gelijk aan 1/4.
Aan het begin van de helling draait de buitenste rand van het vliegwiel met 600 m s-1. De lengte van de helling is 3,2 km. De hellingshoek is 4,0°. De massa van het vliegwiel is 8,6 · 103 kg. De massa van de trein (inclusief vliegwiel) is 2,4 · 105 kg. Verwaarloos bij de overdracht van energie van het vliegwiel naar de trein de verliezen door wrijving en warmte.
d) Bereken de snelheid van een punt op de omtrek van het vliegwiel aan het eind van de helling.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De deeltjes aan de buitenkant van het vliegwiel hebben de hoogste snelheid: hoe dichter bij de as, hoe lager de snelheid van het betreffende deeltje. Omdat dus niet alle deeltjes van het wiel de snelheid vrand hebben, zal de energie voor het gehele vliegwiel lager zijn dan 1/2 mvrand2. Oftewel: α is kleiner dan 1/2.
Uitwerking vraag (b)
- De omwentelingstijd T bedraagt 2πr / v = 2π · 1,60 · 1/2 / 1000 = 5,027 · 10-3 s. Dit is dus de tijd waarin het wiel 1 keer ronddraait.
- De frequentie (het aantal omwentelingen per seconde) is dan 1 / (5,027 · 10-3) = 198,9 Hz.
- Per minuut zijn er dus 198,9 · 60 = 1,19·104 omwentelingen: dit is het gezochte toerental.
Uitwerking vraag (c)
De kracht waarmee een deeltje zich aan het wiel hecht, is minstens even groot als de middelpuntzoekende kracht Fmpz, gegeven door mv2 / r.
De verhouding tussen die kracht en de zwaartekracht is dus Fmpz / Fz. Ingevuld is dit mv2 / (rmg)
= v2 / (rg)
= 10002 / (1,60 · 1/2 · 9,81)
= 1,27 · 105.
Met andere woorden: de hechtingskracht van een deeltje is 1,27 · 105 keer zo groot als de zwaartekracht erop.
Uitwerking vraag (d)
- De snelheid van de trein blijft constant (dit is het doel van het vliegwiel), dus alle rotatie-energie die het vliegwiel verliest, wordt omgezet in zwaarte-energie van de trein. De toename in zwaarte-energie, ΔEz, is dus gelijk aan het verschil in rotatie-energie van het wiel tussen begin (Erot,1) en eind (Erot,2). De eind-energie willen we weten om aan de wielsnelheid te komen: eerst moeten we dus ΔEz en Erot,1 bepalen.
- Vul voor de rotatie-energie aan het begin de gegeven formule in: Erot,1 = 1/4 · 8,6·103 · 6002 = 7,74 · 108 J. Voor de toename in zwaarte-energie geldt de formule ΔEz = mgΔh; we moeten dus eest het hoogteverschil bepalen.
- De helling is 3,2 km lang, met een hellingshoek van 4,0°. Het hoogteverschil Δh over de helling bedraagt dus 4,0 · 3,2·103 = 223 m. Invullen in de vorige formule geeft ΔEz = 2,4·105 · 9,81 · 223 = 5,25 · 108 J.
- Nu geldt Erot,2 = Erot,1 - ΔEz = 7,74·108 - 5,25·108 = 2,49 · 108 J.
- Gebruik opnieuw de gegeven formule om de eindsnelheid te bepalen: Erot,2 = αmvrand,22
- Hiermee vinden we:vrand,2 = √ ( 2,49·108 / (1/4 · 8,6·103) ) = 3,4 · 102 m s-1.
