De Nederlandse zonneauto Nuna-4 heeft de World Solar Challenge dwars door Australië gewonnen. Voor de vierde keer won een team van studenten van TU Delft deze wedstrijd voor auto's op zonnecellen.
Voor de berekeningen in deze opgave gaan we er steeds van uit dat Nuna-4 op een vlakke weg rijdt.
Nuna-4 legde de afstand Darwin-Adelaide, 3021 km, af in 29 uur en 11 minuten.
Opgaven
a) Bereken de gemiddelde snelheid van Nuna-4 in km/h.
Om zo snel mogelijk te kunnen rijden is een aantal kenmerken in het ontwerp van Nuna-4 belangrijk.
b) Noem drie van deze kenmerken.
Tijdens de race reed Nuna-4 enige tijd met zijn topsnelheid van 140 km/h.
c) Leg uit dat bij het rijden op topsnelheid geldt dat de motorkracht gelijk is aan de luchtweerstandskracht.
Tijdens het rijden werkt op Nuna-4 de luchtweerstandskracht Fw,lucht. Voor Nuna-4 geldt: Fw,lucht=0,058v2. Hierin is v de snelheid in m/s.
De studenten hebben Nuna-4 zo ontworpen dat hij bij felle zon met een constante snelheid van 100 km/h kan rijden, zonder een accu te gebruiken.
Nuna-4 is aan de bovenkant bedekt met zonnecellen met een rendement van 26%. Als de zon fel schijnt, heeft het zonlicht per m2 zonnecel een vermogen van 1,0 kW. We nemen aan dat het rendement van de elektromotor 100% bedraagt.
d) Bereken de oppervlakte die de zonnecellen minimaal moeten hebben om aan de ontwerpeis van de studenten te voldoen.
In Nuna-4 zit een accu die bij de start 5,0 kWh energie bevat. Tijdens de race kunnen de zonnecellen en de accu gelijktijdig gebruikt worden om de elektromotor aan te drijven.
Op de laatste dag heeft Nuna-4 nog 500 km te gaan.
De weersvoorspellingen zijn zodanig dat de zonnecellen voor die dag een vermogen van 490 W aan de motor zullen leveren. De studenten willen nagaan wat voor die dag de beste snelheid voor Nuna-4 is. Daarom gaan ze na hoe de benodigde elektrische energie voor de rit op de laatste dag afhangt van de snelheid. Ze vinden het onderstaande verband.
Eel = Eaccu + Ezonnecellen = 1,8 · 107+2,45·108/v
Hierin is:
- E de energie in J
- v de snelheid in m/s
e) Toon aan dat dit het juiste verband is.
Het team wil Nuna-4 op de laatste dag met een zodanige constante snelheid v laten rijden, dat de accu bij de finish net leeg is. De studenten berekenen dat de snelheid v dan gelijk moet zijn aan 108 km/h (= 30 m/s)
f) Laat met een berekening zien dat die snelheid klopt.
Hint: Bereken daartoe eerst de arbeid die de motor bij deze snelheid verricht.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Om de gemiddelde snelheid te berekenen gebruiken we de formule: vgem=∆s/∆t.
De afstand en tijd zijn gegeven, we moeten ze alleen nog even omrekenen naar de juiste eenheid:
∆s = 3021 km = 3021 · 103 m.
∆t = 29 uur + 11 min. = 29·60 min. + 11 min. = 1751 min. = 1751 · 60 sec. = 105060 sec.
Nu kunnen we de getallen invullen: vgem=∆s/∆t = 3021 · 103/105060 = 28,755 m/s = 28,755 · 3,6* = 103,518 km/h. Afronden op het juiste aantal significante cijfers geeft v = 103,5 km/h.
* Waarom vermenigvuldigen met 3,6? Om de snelheid om te rekenen van m/s naar km/h. Van meter naar kilometer betekent delen door 1000 (want 1000 m = 1 km), van seconde naar uur betekent delen door 3600 (want 3600 sec = 1 uur). We houden dan over: 3600/1000=3,6.
Uitwerking vraag (b)
Je kunt de auto zo snel mogelijk maken, onder andere door:
- de auto gestroomlijnd te maken: hierdoor is de luchtweerstand zo klein mogelijk
- de weerstand van de wielen op de weg zo klein mogelijk te maken, dus een kleine rolwrijving is goed
- zoveel mogelijk zonlicht met de zonnecellen op te vangen, dus door de oppervlakte van de zonnecellen zo groot mogelijk te maken en deze op de zon te richten
- de auto zo licht mogelijk te maken, hoe minder gewicht, hoe minder energie er nodig is voor dezelfde snelheid
- zonnecellen op de auto te zetten met een hoog rendement
- een motor te gebruiken met een hoog rendement
Van deze kenmerken moet je er minstens 3 hebben genoemd.
Uitwerking vraag (c)
Als de auto op topsnelheid rijdt, of op een andere constante snelheid, is de snelheid van de auto constant. Dit betekent dat de versnelling nul is, want versnelling is de afgeleide van de snelheid: a = dv/dt. Als v constant is, dan is a dus nul.
Dit betekent dat de som van alle krachten óók nul is, want ΣF = ma. In dit geval is de som van alle krachten de luchtweerstandkracht en de motorkracht: Fw,lucht + Fmotor = 0. Dus is Fw,lucht = -Fmotor, oftewel zijn de krachten in grootte gelijk aan elkaar (maar staan uiteraard in tegengestelde richting).
Uitwerking vraag (d)
We kunnen de oppervlakte van de zonnecellen berekenen m.b.v. het vermogen. Het vermogen van het zonlicht is 1 kW/m2. De zonnecellen kunnen hiervan slechts 26% omzetten in elektrische energie, dus het vermogen dat de cellen leveren is 0,26 · 1 kW/m2 = 0,26 kW/m2 = 260 W/m2.
Het vermogen dat de auto nodig heeft kunnen we ook berekenen en uiteindelijk vergelijken met het vermogen van de cellen. Vermogen is voor deze situatie te berekenen met: P = Fv.
F kunnen we berekenen met de formule die eerder in de opgave werd gegeven: F = 0,058v2. De snelheid kunnen we hier invullen in m/s: v = 100 km/h = 100/3,6 = 27,8 m/s.
Dit invullen geeft: F = 0,058 · 27,82 = 44,75 N.
Het vermogen dat nodig is, is dus: P = 44,75 · 27,8 = 1244 W.
Nu kunnen we gaan vergelijken: het vermogen dat nodig is, is 1244 W; geleverd wordt 260 W/m2. De oppervlakte die nodig is om dit voor elkaar te krijgen, vinden we door deze twee vermogens op elkaar te delen (het vermogen van de cellen is immers per m2, kijk maar naar de eenheden):
A = 1244 W / 260 W/m2 = 4,78 m2, afronden op het juiste aantal significante cijfers geeft A = 4,8 m2 .
Uitwerking vraag (e)
De energie die de accu levert, is eigenlijk al gegeven: 5 kWh. Dit moeten we omrekenen naar Joule: 1 kWh (kilowattuur) = 1000 Wh = 1000 · 3600 Ws = 3,6 · 106 Joule. De energie van de accu is dus: Eaccu = 5 · 3,6 · 106 = 1,8 · 107 J.
De energie die de zonnecellen leveren, kunnen we berekenen met: Ezonnecel = Pt. Het vermogen is gegeven: P = 490 W.
De tijd kunnen we anders schrijven, zodat we de snelheid in de formule krijgen: t = s/v. Dus: Ezonnecel = Pt = Ps/v. De afstand is s = 500 km = 500 · 103.
Nu kunnen we het vermogen en de afstand invullen en hebben we de energie van de zonnecellen:
Ezonnecel = 490 · 500 · 103/v = 2,45 · 108/v.
De totale energie die de motor krijgt is dus: Eel = Eaccu + Ezonnecel = 1,8 · 107 + 2,45 · 108/v.
Uitwerking vraag (f)
Om te controleren of de snelheid klopt, kunnen we de energie die geleverd wordt (door de zonnecellen en de accu), vergelijken met de energie die in de motor wordt verbruikt. Deze moeten gelijk zijn aan elkaar.
De energie die wordt geleverd is: Eel = 1,8 · 107 + 2,45 · 108/v = 1,8 · 107 + 2,45 · 108/30 = 2,62 · 107 Joule.
De energie die wordt verbruikt is gelijk aan de arbeid die de motor levert: W = Fmotors = Fw,luchts = 0,058v2 · s = 0,058 · 302 · 500 · 103 = 2,6 · 107 Joule.
De energiën zijn inderdaad aan elkaar gelijk, dus de snelheid klopt.
