Een exoplaneet is een planeet in een baan om een andere ster dan onze zon. Op 14 mei 2024 stond op nu.nl een artikel over de naar verhouding lichtste exoplaneet die ooit gevonden is. De planeet WASP-193b is zo licht en 'pluizig', dat de wetenschappers hem vergelijken met een bol suikerspin of de pluisjes van een paardenbloem.
Op internet kan gevonden worden dat de dichtheid van suikerspin gelijk is aan 0,05 g/cm³.
a) Reken dit om naar kg/m³.
$0,05~\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3=0,05\cdot 10^{-3}~\mathrm{kg}/\mathrm{cm}^3=0,05\cdot 10^{-3}\cdot 10^6~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3=50~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$
In het artikel staat dat de planeet anderhalf keer zo groot is als Jupiter. Het is onduidelijk wat de schrijver hiermee bedoelt. De straal van de planeet kan anderhalf keer zo groot zijn als die van Jupiter, maar de schrijver kan ook het volume bedoelen.
b) Bereken voor beide mogelijkheden het volume van de planeet.
De straal van Jupiter vind je in Binas tabel 31 en is gelijk aan $69,91\cdot 10^6~\mathrm{kg}$ .
Optie 1 – straal planeet anderhalf keer zo groot.
De straal van de planeet is dan: $1,5\cdot 69,61\cdot 10^6=104,865\cdot 10^6~\mathrm{m}$
Het volume is dan $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot(104,865\cdot 10^6)^3=4,83\cdot 10^{24}~\mathrm{m}^3$
Optie 2 – volume planeet anderhalf keer zo groot.
Volume Jupiter: $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot(69,91\cdot 10^6)^3=1,43\cdot 10^{24}~\mathrm{m}^3$
Volume planeet: $V=1,5\cdot 1,43\cdot 10^{24}=2,15\cdot 10^{24}~\mathrm{m}^3$
Op internet is te vinden dat de massa van de planeet gelijk is aan 0,14 keer de massa van Jupiter.
c) Bereken de dichtheid van de planeet die volgt uit beide mogelijkheden.
De massa van de planeet is dan: $0,14\cdot M_{jupiter}=0,14\cdot 1900\cdot 10^{24}=2,7\cdot 10^{26}~\mathrm{kg}$ .
Dichtheid volgens optie 1: $\rho=\frac{m}{V}=\frac{2,7\cdot 10^{26}}{4,83\cdot 10^{24}}=56~\mathrm{kgm}^{-3}$
Dichtheid volgens optie 2: $\rho=\frac{m}{V}=\frac{2,7\cdot 10^{26}}{2,15\cdot 10^{24}}=1,3\cdot 10^2~\mathrm{kgm}^{-3}$
d) Vergelijk beide dichtheden met die van suikerspin. Welke mogelijkheid werd dus bedoeld door de schrijver van het artikel?
De eerste mogelijkheid zit het dichtst in de buurt. De straal van de planeet is dus anderhalf keer zo groot als die van de aarde.
In het artikel stond geschreven:
“De planeet is anderhalf keer zo groot als Jupiter, maar naar verhouding honderd keer zo licht als de aarde.”
Het tweede deel van de zin is ook niet helemaal duidelijk. De schrijver kan hier ook twee dingen mee bedoelen. De planeet kan honderd keer zo licht zijn als de aarde, of de planeet kan een honderd keer zo kleine dichtheid hebben als de aarde.
e) Ga na welke van de twee bedoeld wordt.
De massa van de planeet is veel groter dan die van de aarde ( $5,972\cdot 10^{24}~\mathrm{kg}$ ). De dichtheid van de aarde vind je in Binas tabel 31 en is gelijk aan 5513 kg/m³. Dit is ongeveer 100 keer zo groot als de dichtheid van de planeet. Dat wordt dus ook bedoeld door de schrijver van het artikel.
f) Herformuleer de zin zodanig dat er geen onduidelijkheid meer over kan bestaan.
Bijvoorbeeld:
De straal van de planeet is anderhalf keer zo groot als die van Jupiter, maar de dichtheid is honderd keer zo klein als die van de Aarde.
Door de extreem lage dichtheid is de planeet een buitenbeetje. Andere planeten met een lage dichtheid zijn gasreuzen. In ons zonnestelsel zijn Jupiter en Saturnus gasreuzen.
g) Bereken hoeveel keer zo groot de dichtheid van Jupiter is vergeleken met de dichtheid van een suikerspin.
Dichtheid Jupiter: $\rho=\frac{m}{V}=\frac{1900\cdot 10^{24}}{\frac{4}{3}\pi\cdot(69,91\cdot 10^6)^3}=1,328\cdot 10^3~\mathrm{kgm}^{-3}$
Dit is $\frac{1,328\cdot 10^3}{50}=27$ keer zo groot als de dichtheid van een suikerspin.
Op het einde van het artikel staat dat de planeet wellicht ooit nog groter was. De dichtheid zal in dat geval nog kleiner zijn. Het verband tussen de dichtheid en de straal van de planeet, bij gelijkblijvende massa, kan uitgedrukt worden als:
$\rho=c\cdot r^{\alpha}$
Hierin is c een evenredigheidsconstante en α een parameter.
h) Leid de waarde van α af door gebruik te maken van de definitie van dichtheid: ρ = m / V.
Er geldt: $\rho=\frac{m}{V}=\frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{m}{\frac{4}{3}\pi}\cdot r^{-3}$ .
De waarde van α is dus -3.
i) Vul onderstaande zin aan:
Als de straal van de planeet 10% groter wordt, wordt de dichtheid …. % ……
Als de straal vermenigvuldigd wordt met 1,1, wordt de dichtheid vermenigvuldigd met $1,1^{-3}=0,75$ . Een mogelijk antwoord is dan dus:
Als de straal van de planeet 10% groter wordt, wordt de dichtheid 25% kleiner.
