Betelnoten groeien in de toppen van palmbomen. De stammen van die bomen zijn hoog en kaarsrecht. Zie figuur 1. Boeren beklimmen deze bomen om de noten te plukken. Een uitvinder heeft een boombrommer gemaakt om langs een stam omhoog naar de top te kunnen ‘rijden’. Zie figuur 2.
De brommer klemt met wielen om de stam. Een benzinemotor kan de brommer met constante snelheid langs de stam naar boven laten rijden. De boombrommer is uitgerust met een rem. Deze rem zorgt voor een grote remkracht op de brommer, waardoor die stil kan hangen aan de stam. De boombrommer kan vanuit stilstand weer afdalen langs de stam door de remkracht te verkleinen.
De uitvinder heeft een testrit gemaakt om de boombrommer te demonstreren. Van deze rit is een (h,t)-diagram gemaakt. Zie figuur 3.
Op de uitwerkbijlage staat een tabel.
a. Geef in de tabel met een kruisje per tijdstip aan welke bewering juist is.
| indien drie antwoorden juist | 2 punten |
| indien twee antwoorden juist | 1 punt |
| indien één of geen antwoord juist | 0 punten |
Figuur 3 staat ook op de uitwerkbijlage.
b. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de maximale snelheid waarmee de brommer langs de stam naar boven rijdt. Geef in de figuur aan hoe je aan je antwoord komt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
De maximale snelheid wordt bereikt in het steilste deel van de grafiek, tussen 2,0 s en 4,5 s.
Hieruit volgt: $v=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{raaklijn}=\left(\frac{9,0-0}{8,5-1,0}\right)=1,2\:ms^{-1}$ .
| inzicht dat de steilheid bepaald moet worden in het steilste deel van de grafiek | 1 punt |
| tekenen van een raaklijn aan de grafiek of gebruik van een relevant recht deel van de grafiek | 1 punt |
| gebruik van $v=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{raaklijn}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
In figuur 4 is de situatie van een stil hangende boombrommer schematisch en op schaal weergegeven. Bij het ontwerp is handig gebruikgemaakt van de hefboomwet. De brommer heeft een draaipunt D. De boom oefent op steunwiel S alleen een normaalkracht Fn uit. Door de arm rFn ontstaat er een moment M. Dit is in evenwicht met het moment van de zwaartekracht Fz op de uitvinder en brommer samen. De uitvinder hangt stil. De massa van de uitvinder en boombrommer samen is 104 kg.
Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.
c. Voer de volgende opdrachten uit: - Teken de arm van de zwaartekracht. - Bepaal met behulp van de hefboomwet de grootte van de normaalkracht Fn op steunwiel S. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
- 
- Uit de hefboomwet volgt: $F_{1}r_{1}=F_{2}r_{2}\to F_{n}=\frac{\left(104\cdot 9,81\right)\cdot 3,8}{2,0}=1,9\cdot 10^{3}\:N$ .
| intekenen van de arm van de zwaartekracht | 1 punt |
| gebruik van de hefboomwet | 1 punt |
| bepalen van de lengtes van de getekende armen (met een marge van 2,0 mm) | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
De uitvinder wil dat de boom niet wordt beschadigd. Daarom wil hij Fn zo klein mogelijk houden. In het ontwerp kan hij de afstand SD kleiner maken.
d. Leg uit of Fn groter wordt, kleiner wordt of gelijk blijft door een kleinere afstand SD.
De arm rFn neemt af als de afstand SD kleiner wordt. Het moment M van de normaalkracht blijft gelijk, dus bij de afname van de afstand rFn zal de normaalkracht Fn groter worden.
| inzicht dat de arm rFn kleiner wordt | 1 punt |
| inzicht dat het moment van de normaalkracht gelijk blijft | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
De uitvinder beweert dat hij 135 bomen van elk 30 m hoog kan beklimmen met 1,5 liter benzine. Het rendement van de motor die in de boombrommer zit, is 18%.
e. Toon met een berekening aan of de bewering van de uitvinder kan kloppen.
Methode 1
De brommer gebruikt 1,5 liter benzine. Dit levert een chemische energie van $E_{ch}=r_{V}V=33\cdot 10^{9}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}=4,95\cdot 10^{7}\:J$ . De verbrandingsmotor kan dan een nuttige energie leveren van $E_{nuttig}=\eta E_{in}=\frac{18}{100}\cdot 4,95\cdot 10^{7}=8,91\cdot 10^{6}\:J$ . Om een boom te beklimmen is een energie nodig van $E_{z}=mgh=104\cdot 9,81\cdot 30=3,06\cdot 10^{4}\:J$ . Met de brommer kunnen dan $\frac{8,91\cdot 10^{6}}{3,06\cdot 10^{4}}=2,9\cdot 10^{2}$ bomen worden beklommen. Dat is meer dan de bewering van de uitvinder, dus de bewering kan kloppen.
| gebruik van $E_{ch}=r_{V}V$ met opzoeken van Vr | 1 punt |
| gebruik van $E_{z}=mgh$ | 1 punt |
| gebruik van $\eta=\frac{E_{nuttig}}{E_{in}}$ en de factor 100 | 1 punt |
| inzicht dat $n_{bomen}=\frac{E_{nuttig}}{E_{z\:boom}}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening en consequente conclusie | 1 punt |
of
Methode 2
De brommer gebruikt 1,5 L benzine. Dit levert een chemische energie van $E_{ch}=r_{V}V=33\cdot 10^{9}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}=4,95\cdot 10^{7}\:J$ . Om alle bomen te beklimmen is een totale energie nodig van $E_{z}=mgh=104\cdot 9,81\cdot\left(135\cdot 30\right)=4,13\cdot 10^{6}\:J$ . Het rendement dat hier uit volgt is gelijk aan $\eta=\frac{E_{nuttig}}{E_{in}}\cdot 100=\frac{E_{z}}{E_{ch}}\cdot 100=8,3%$ . Dit rendement is lager dan het rendement van de benzinemotor, dus de bewering van de uitvinder kan kloppen.
| gebruik van $E_{ch}=r_{V}V$ met opzoeken van Vr | 1 punt |
| gebruik van $E_{z}=mgh$ | 1 punt |
| gebruik van $\eta=\frac{E_{nuttig}}{E_{in}}$ | 1 punt |
| toepassen van de factor 135 | 1 punt |
| completeren van de berekening en consequente conclusie | 1 punt |
