Op 19 september 1985 trilde de grond onder Mexico-Stad hevig gedurende drie minuten. Vele gebouwen stortten in, maar de 182 m hoge Latin American Tower (zie figuur 1) doorstond de aardbeving zonder noemenswaardige schade. Hetzelfde gold voor de meeste lage gebouwen in de stad.
Gebouwen hebben eigenfrequenties die gemeten kunnen worden. Wanneer een gebouw tijdens een aardbeving begint te trillen in zijn laagste eigenfrequentie (de grondtoon, fgrond), kunnen er ernstige beschadigingen aan het gebouw optreden.
De (u,t)-grafiek in figuur 2 laat een meting zien van de horizontale uitwijking van de top van de Latin American Tower na een kleinere aardbeving dan die van 1985. De toren trilde daarbij in haar grondtoon.
Figuur 2 is vergroot weergegeven op de uitwerkbijlage.
a. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de frequentie van de grondtoon van de Latin American Tower. Noteer je antwoord in drie significante cijfers.
Er passen 8 trillingen in 29,25 s. Dat geef $T=\frac{29,25}{8}=3,66\:s$ . Uit $f=\frac{1}{T}$ volgt $f_{grond}=0,274\:Hz$ .
| aflezen van de trillingstijd | 1 punt |
| gebruik van $f=\frac{1}{T}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Op de uitwerkbijlage is de beweging van de top van de toren in de eerste seconden van de meting te zien.
b. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de gemiddelde versnelling van de top van de Latin American Tower in het traject van u = 0,20 m naar u = 0 m. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Door een raaklijn te tekenen kan de snelheid op t = 0,92 s bepaald worden. De steilheid van de raaklijn is $\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-0,20-0,20}{1,48-0,36}=0,36\,ms^{-1}$ . Voor de gemiddelde versnelling geldt $a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{-0,36}{0,92}=-0,39\:ms^{-2}$ .
| inzicht dat de helling bepaald moet worden | 1 punt |
| gebruik van $v=\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_{raaklijn}$ op t = 0,92 s | 1 punt |
| gebruik van $a_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ , met inzicht dat v = 0 op t = 0 | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Voor haar profielwerkstuk onderzoekt Sara het trilgedrag van de Latin American Tower. Het trilgedrag van hoge gebouwen laat ook boventonen zien.
Bij een liniaal die aan één kant is ingeklemd zijn de grond- en boventonen te berekenen met:
$f=\left(2n-1\right)\frac{v}{4l}$ (1)
Hierin is:
- f de frequentie van de grond- of boventoon
- n een geheel getal dat verwijst naar de grond- of boventoon
- v de golfsnelheid
- l de lengte van de liniaal
c. Leid formule (1) af met behulp van formules uit het informatieboek.
Voor een aan één kant ingeklemde liniaal geldt: $l=\left(2n-1\right)\frac{1}{4}\lambda $ . Substitutie, $v=f\lambda\to\lambda=\frac{v}{f}$ , leidt tot $l=\frac{\left(2n-1\right)v}{4f}$ . Dit is om te schrijven tot $f=\left(2n-1\right)\frac{v}{4l}$ .
| gebruik van $l=\left(2n-1\right)\frac{1}{4}\lambda $ en $v=f\lambda$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
In figuur 3 zijn twee van de gemeten boventonen van de Latin American Tower weergegeven.
Sara formuleert de hypothese dat de verhouding tussen de eerste en de tweede boventoon van de Latin American Tower overeenkomt met die van een liniaal die aan één kant is ingeklemd.
d. Toon aan of Sara’s hypothese klopt binnen een marge van 10%.
Uit formule (1) volgt dat de verhouding tussen de eerste (n = 2) en tweede (n = 3) boventoon gelijk is aan $\frac{3}{5}=0,6$ . Met een marge van 10% moet de gemeten verhouding dan liggen tussen 0,54 en 0,66. De gemeten verhouding is $\frac{0,654}{1,03}=0,635$ . De verhouding van de eerste en tweede boventoon van de Latin American Tower komt dus, binnen de marges, overeen met die van een liniaal die aan één kant ingeklemd is.
| inzicht in het gebruik van n = 2 en n = 3 | 1 punt |
| inzicht dat v en l constant zijn | 1 punt |
| inzicht dat de verhouding van de frequenties uit de formule vergeleken moet worden met de gemeten verhouding | 1 punt |
| completeren van de berekening en consequente conclusie | 1 punt |
Van een groot aantal gebouwen zijn zowel de hoogte h als de grondfrequentie fgrond bepaald. In figuur 4 zijn deze meetwaarden uitgezet in een grafiek. In de grafiek is ook de trendlijn getekend. Deze geeft het gemeten verband weer tussen de grootheden h en fgrond.
Sara vermoedt dat de trendlijn in figuur 4 een omgekeerd evenredig verband laat zien. Ze bepaalt van een aantal punten op de trendlijn de coördinaten. Haar resultaten zijn in figuur 5 weergegeven. Deze tabel staat ook op de uitwerkbijlage.
e. Toon met behulp van de tabel op de bijlage aan of de vier punten aan een omgekeerd evenredig verband voldoen.
Voor een omgekeerd evenredig verband geldt xy = constant. De ingevulde tabel wordt: 
Het product fgrondh heeft (binnen de afleesnauwkeurigheid) een constante waarde. Hieruit kan geconcludeerd worden dat er sprake is van een omgekeerd evenredig verband.
| inzicht dat bij een omgekeerd evenredig verband fgrondh constant is | 1 punt |
| berekenen van de vier waarden en consequente conclusie | 1 punt |
Tijdens de aardbeving van 1985 begon de zachte bodem onder MexicoStad heftig te trillen. Vooral gebouwen met een hoogte tussen 25 m en 70 m liepen hierbij grote schade op. Uit dit gegeven kan, met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage, bepaald worden tussen welke twee waarden de frequentie van de bodemtrillingen waarschijnlijk heeft gelegen.
f. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage deze minimum- en maximumfrequentie. Geef in de figuur iedere frequentie aan met een verticale lijn.
De frequentie waarmee de bodem trilt moet samenvallen met de grondfrequentie van de gebouwen tussen 25 m en 70 m (er moet resonantie optreden). Het gebied van grondfrequenties waarbij zowel gebouwen van 25 m als die van 70 m aanwezig zijn loopt van een minimum tussen 0,4 Hz en 1,1 Hz tot een maximum tussen 1,6 Hz en 3,0 Hz.
| inzicht dat de grondfrequentie van de (beschadigde) gebouwen moet samenvallen met de frequentie van de bodem | 1 punt |
| inzicht dat de minimale grondfrequentie de frequentie is waaronder zich geen gebouwen van 25 m en lager bevinden / dat de maximale grondfrequentie de frequentie is waarboven zich geen gebouwen van 70 m of hoger bevinden | 1 punt |
| tekenen van de twee verticale lijnen en completeren van de bepaling | 1 punt |
