In de NRC van 12 oktober 2022 staat een artikel over muonen: “Terwijl je deze zin leest, schieten er tientallen muonen met bijna de lichtsnelheid door je lichaam. Van de eindeloze stroom muonen die vanuit de atmosfeer op de aarde neerregent, vliegen de meeste met gemak door alles heen – van wolken en oceanen tot vulkanisch gesteente en dikke piramidemuren. Slechts een klein deel van de muonen wordt tegengehouden. Hoe hoger de dichtheid van het materiaal, hoe vaker.”
Het nieuws is dat Japanse wetenschappers hebben aangetoond dat muonen gebruikt kunnen worden om cyclonen (orkanen) in beeld te brengen.
Het is daarom goed om eens wat meer te weten over hoe het zit met muonen in de atmosfeer en welke processen er van belang zijn.
Muonen
Door botsing van energierijke kosmische deeltjes (vooral protonen) met moleculen in de atmosfeer kunnen muonen ontstaan. Dat gebeurt op ongeveer tien kilometer hoogte. Deze muonen bewegen met relativistische snelheden, d.w.z. met nagenoeg de lichtsnelheid c. Ga in deze opgave uit van 99,4 % van de lichtsnelheid.
Het muon (symbool μ) is een elementair deeltje. Bij de botsingen in de atmosfeer ontstaan zowel muonen als antimuonen, in feite zelfs wat meer antimuonen dan gewonen muonen.
a) Zoek de eigenschappen van het muon op: lading, massa, levensduur en halveringstijd.
lading q = - e (het antimuon heeft een lading + e)
massa m = 105,66 MeV/c2
levensduur $\tau$ = 2,2 μs
halveringstijd t1/2 = 1,52 μsLet op: er is soms wat verwarring over halveringstijd en levensduur. De laatste is langer. Deze twee hangen samen volgens: $t_{1/2} = \tau \cdot ln2$ Zie bijvoorbeeld dit artikel op Wikipedia.
b) Vergelijk deze met die van het elektron.
De lading is gelijk aan die van het elektron, de massa is 207 keer zo groot. Het elektron is stabiel en heeft dus een oneindige levensduur en geen halveringstijd.
c) Laat zien dat het muon gedurende de halveringstijd een afstand van 660 meter aflegt.
$v=0,994c = 0,994\cdot 2,998\cdot 10^8 = 2,98\cdot 10^8~\mathrm{ms}^{-1}$
De afstand die het in de halveringstijd aflegt is dus:
$s = v\tau = 2,98 \cdot 10^8 \cdot 2,2 \cdot 10^{-6} = 6,6 \cdot 10^2 \: \text{m}$
d) Hoe lang zou een muon moeten leven om het aardoppervlak te bereiken?
Tien kilometer is ongeveer vijftien keer 660 meter. Zijn levensduur zou dus ook vijftien keer 2,2 μs moeten zijn, dat is 33 μs.
e) Vergelijk deze waarde met de halveringstijd. Wat is je conclusie?
Deze 33 μs betekenen ongeveer 22 halveringstijden. Immers, 33/1,52=21,7.
Na 22 keer de halveringstijd is er nog (½)22 = 2 . 10-7 maal het oorspronkelijke aantal muonen aanwezig.
Uit onderzoek blijkt dat een véél groter deel van de muonen het aardoppervlak bereikt. Hoe kan dat? Dat is de zogenaamde muonparadox.
De verklaring volgt uit de relativiteitstheorie. Een stilstaande waarnemer ervaart dat de tijd voor een object dat zich met grote snelheid beweegt langzamer verloopt dan het zelf waarneemt. In dit geval beweegt het muon met grote snelheid op de aarde af. De halveringstijd van het muon lijkt daardoor voor een waarnemer op aarde groter te zijn. Dit verschijnsel heet tijdrek (of tijddilatatie). De formule daarvoor zie je in figuur 1.
f) Bereken de levensduur van het aanstormend muon zoals wij die aan het aardoppervlak waarnemen.
Neem $\Delta t_0 = \tau$
$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2,2\cdot 10^{-6}}{\sqrt{1-0,994^2}}=\frac{2,2\cdot 10^{-6}}{\sqrt{0,0120}}=20\cdot 10^{-6}~\mathrm{s}$
Dat is bijna tien (ruim 9) keer zo lang.
g) Leg uit dat een veel groter deel van de muonen het aardoppervlak kan bereiken.
In een tien keer zo grote tijd legt het muon dus tien keer zo grote afstand af, dat is 6,6 km.
Omdat de halveringstijd met dezelfde factor vergroot, left een muon in de halveringstijd ruim 4 km af.
Meer dan een achtste van de muonen zal dus een afstand van ruim 12 km overbruggen. Dus ook meer dan een achtste van de muonen die op tien kilometer hoogte gevormd worden komt op het aardoppervlak aan.
Hierbij moet worden opgemerkt dat niet alle muonen die op 10 km hoogte geproduceerd worden in de richting van het aardaoppervlak bewegen. Een deel zal juist van de aarde af bewegen. Het deel dat het aardoppervlak bereikt (zoals hier berekend) zal om die reden kleiner zijn.
Luchtdruk
Het aantal muonen dat het aardoppervlak bereikt is dus vanwege de kleine levensduur minder dan het aantal dat geproduceerd wordt. Er is echter nog een andere reden waarom het aantal kleiner is: absorptie van de muonen in de atmosfeer. Het is dit proces dat de onderzoekers uit het geciteerde artikel gebruikt hebben.
De onderzoekers maakten bij hun studie gebruik van de volgende informatie:
- de luchtdruk in de atmosfeer is op 10 km hoogte lager dan aan het aardoppervlak (zie figuur2);
- de temperatuur is daar veel lager (ongeveer -50 oC);
- de relatie ρ = pM/RT, waarin ρ de dichtheid, p de luchtdruk, M de molaire massa, R de gasconstante en T de absolute temperatuur van de lucht (deze relatie volgt uit de algemene gaswet).
h) Zoek op wat de dichtheid van lucht is aan het aardoppervlak (bij T = 273 K en p = p0).
ρ = 1,293 kg/m3 (Binas tab 12)
i) Bereken aan de hand van de figuuren 2 de dichtheid van de lucht op 10 km hoogte (zoek ontbrekende gegevens op).
p = 32 . 103 Pa (figuur 2).
T = – 50 oC = 223 K
Mlucht = 28,97 g/mol = 28,97 . 10-3 kg/mol (Wikipedia).
R = 8,314 J/mol.K (Binas tab 7)
Dit geeft:
$\rho = \frac{pM}{RT} = \frac{32\cdot 10^3 \cdot 28,97 \cdot 10^{-3}}{8,314 \cdot 223} = 0.42 \: kg/m^3$
j) Vergelijk je uitkomst met de waarde die Wikipedia geeft.
Wikipedia geeft 0,425 kg/m3. Dat komt dus goed overeen.
Orkanen
Tropische orkanen zijn op satellietfoto’s te herkennen aan het opmerkelijke wolkenpatroon (zie figuur 3). De luchtdruk in het oog van de orkaan is zeer laag en daardoor de dichtheid ook.
k) Welk gevolg heeft dit voor het aantal muonen dat onder een orkaan gedetecteerd wordt?
De dichtheid in het oog is lager dan daarbuiten, zodat een groter deel van de muonen het aardoppervlak bereikt.
De onderzoekers berekenden het verband tussen de luchtdruk aan het aardoppervlak en het aantal muonen dat aankomt. De uitkomst zie je in figuur 4.
l) Zoek op hoeveel procent de luchtdruk in het oog van een orkaan lager kan zijn dan eromheen.
Maximaal 15% volgens Wikipedia. Over het algemeen zal het lager zijn, maar we rekenen met 15% verder.
m) Bepaal aan de hand van figuur 5 hoeveel meer of minder muonen daardoor onder het oog van de orkaan aankomen. Let op, de verticale schaal is logaritmisch!
Zie onderstaande figuur.
De luchtdruk op zeeniveau is ongeveer 1,0 . 105 Pa = 1,0 . 103 hPa. Het daarbij horende muonen-verhoudingsaantal is kennelijk gesteld op 100 (rood). Als de druk in het oog van de orkaan 15% lager is, is dat 850 hPa. Daarbij hoort een verhoudingsaantal van 120.
Dus een drukafname van 15% resulteert in een toename van het aantal muonen met 20%. aardoppervlak bereikt.
Muografie
Nu is het meestal niet mogelijk direct onder een orkaan metingen te doen. De wetenschappers onderzochten of het met deze methode mogelijk is om orkanen in beeld te brengen, wat muografie wordt genoemd. Daarvoor keken zij naar muonen die van opzij kwamen (zie figuur 5). Met een raster van muon-detectoren is het hen gelukt om in allerlei richtingen muonen te detecteren die op vele tientallen kilometer afstand in de atmosfeer ontstonden. Hieruit konden ze de dichtheid van de lucht bepalen waar de muonen doorheen schoten.
De NRC citeert hoofdonderzoeker Tanaka: “De beelden tonen dwarsdoorsneden van cyclonen die overtrokken. Ik was verrast om daarop zo duidelijk de warme kern met lage dichtheid te zien. Die is kenmerkend voor tropische cyclonen. (…) Nu bestaat ons beeld vooral uit satellietmetingen van bovenaf. (…) Muografie toont daarentegen een dwarsdoorsnee met drukvariaties op verschillende hoogtes, en die drukvariaties zijn de drijvende kracht van orkanen.”
Uit meting van de aantallen muonen die in verschillende richtingen gedetecteerd worden kan afgeleid worden waar zich het oog van de orkaan bevindt.
n) Leg dat uit.
Kenmerkend voor een orkaan is het oog. In het oog worden minder muonen tegengehouden (zie vraag k). Dus in de richting van het oog worden meer muonen gedetecteerd. Hoe meer muonen, hoe lager de dichtheid. Maar in het detectiepunt (links in figuur 5) komen muonen uit allerlei gedeelten van de orkaan. Met software moet een beeld worden opgebouwd van de dichtheidsverdeling. Daaruit komt het oog van de orkaan tevoorschijn. Zo kun je van grote afstand zien of een depressie zich ontwikkelt tot een orkaan.
