Een trein blijft nooit precies in het midden van het spoor rijden. Er is ruimte tussen de wielen en het spoor waardoor de trein enigszins heen en weer kan slingeren. Om te voorkomen dat treinen ontsporen zijn de wielen als volgt ontworpen:
1 Beide wielen zitten vast aan dezelfde as. De wielen en de as vormen een star geheel.
2 Beide wielen hebben een conische vorm: de diameter van het wiel is aan de binnenkant groter dan aan de buitenkant. Zie figuur 1.
Een as die zich niet precies in het midden van het spoor bevindt zal door deze constructie van de wielen tijdens het rijden vanzelf terug naar het midden bewegen.
In figuur 2 is een schematisch bovenaanzicht van de treinwielen weergegeven op verschillende tijdstippen (a t/m e). Op tijdstip a staat de as uit het midden. Even later is de as enigszins geroteerd en beweegt richting het midden van het spoor. Zie tijdstip b. Vervolgens schiet de as een stukje door, zie tijdstip c, waarna aan de andere kant hetzelfde effect optreedt. De trein gaat dus een slingerende zijwaartse beweging uitvoeren. Hij “waggelt” een beetje over het spoor. Men noemt deze golfbeweging de sinusloop.
a. Leg uit hoe de ontwerpkenmerken 1 en 2 er samen voor zorgen dat een rijdende trein de sinusloop van figuur 2 zal uitvoeren.
Doordat de wielen en de as een star geheel vormen is de omlooptijd T is voor beide wielen gelijk. Op tijdstip a heeft het linker wiel een grotere straal dan het rechter wiel. Het linker wiel legt dus per omwenteling een grotere afstand af dan het rechter wiel. Dit wiel dus gaat dus sneller in de voorwaartse richting, waardoor de trein naar rechts stuurt.
| inzicht dat de omlooptijd voor beide wielen gelijk is | 1 punt |
| inzicht dat straal van beide wielen (en dus de snelheid) verschilt | 1 punt |
| completeren van de uitleg | 1 punt |
Voor de golflengte λ van de sinusloop geldt de formule van Klingel:
$\lambda = 2\pi \sqrt{\frac{d r_0}{2 \gamma}}$
Hierin is:
- $d$ de afstand tussen de twee spoorrails in m
- $r_0$ de gemiddelde straal van het wiel in m, dus gemeten in het midden van het loopvlak
- $\gamma$ de wielbandconiciteit
De wielbandconiciteit is een maat voor het verschil tussen binnen- en buitendiameter van een wiel.
b. Toon aan dat de wielbandconiciteit geen eenheid heeft.
Omschrijven van de formule van Klingel geeft: $\gamma = \frac{2 \pi^2 d r_0}{\lambda^2}$ , dus voor de eenheid van $\gamma$ geldt: $\gamma = \frac{[d][r_0]}{[\lambda^2]} = \frac{m m }{m^2} = 1.$
| gebruik van de formule van Klingel met $\left[d\right]=\left[r_{0}\right]=\left[\lambda\right]=m$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
In Nederland gelden de volgende gegevens:
Treinen rijden meestal met een snelheid van 140 km/h. De afstand tussen twee spoorrails is 1435 mm. De waarde van de wielbandconiciteit is 0,050. De gemiddelde diameter van een treinwiel is 95 cm.
c. Toon aan dat de periode van de sinusloop bij deze snelheid 0,42 s is.
Voor de golflengte geldt volgens de formule van Klingel: $\lambda = 2 \pi \sqrt{\frac{d r_0}{2 \gamma}}$ .
Invullen geeft: $\lambda = 2 \pi \sqrt{\frac{1,435 \cdot 0,475}{2 \cdot 0,050}} = 16,4\textup{ m.}$
Voor de periode geldt dan: $T = \frac{\lambda}{\nu}$ met $\nu = \frac{140}{3,6} = 38,9\textup{ m s}^{-1}.$
Invullen geeft: $T = 0,42\textup{ s.}$
| gebruik van de formule van Klingel | 1 punt |
| gebruik van $v=\lambda\cdot f$ en $f=\frac{1}{T}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Om in de wagon geen last te hebben van oneffenheden op het spoor zijn er veren geplaatst tussen de wagon en de wielen. We kunnen het geheel benaderen als een massa-veersysteem. Zie figuur 3.
Bij een bepaalde snelheid gaat het massa-veersysteem resoneren met de sinusloop. Om comfortabel te rijden bij een snelheid van 140 km/h wordt de totale veerconstante van de veren zo gekozen dat het massaveersysteem een eigentrilling heeft die sterk afwijkt van 0,42 s. Voor het massaveersysteem van de wagon met wielen geldt:
$m_{\textup{wagon}} = 21,5 \cdot 10^3\textup{ kg}$
$C_{\textup{totaal} }= 1,0 \cdot 10^5\textup{ N m}^{-1}$
d. Bereken de snelheid waarbij resonantie optreedt.
Er treedt resonantie op als de trillingstijd gelijk is aan de eigentrilling van het massa-veersysteem:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_{\textup{wagon}}}{C_{\textup{totaal}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{21,5 \cdot 10^3}{1,0 \cdot 10^5}} = 2,91\textup{ s}$
Voor sinusloop geldt $\nu = \lambda f$ met $f = \frac{1}{T}$ . De golflengte van de sinusloop is onafhankelijk van de snelheid, dus $\lambda$ is constant. Er geldt dus: $\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2$
Invullen geeft: $140 \cdot 0,42 = \nu_2 \cdot 2,91.$ Dus $\nu_2 = 20 \textup{ km h}^{-1}$ .
| gebruik van $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}$ | 1 punt |
| gebruik van $v=\lambda\cdot f$ met $\lambda $ constant / inzicht dat $v_{1}T_{1}=v_{2}T_{2}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Wervelstroomrem
Voor het remmen zijn sommige treinen uitgerust met wervelstroomremmen. Hierin wordt een draaiende metalen schijf afgeremd met behulp van een magneetveld. In figuur 4 is een wervelstroomrem geschetst. De metalen schijf zit vast aan de as en draait mee met de wielen. Met een elektromagneet wordt een magneetveld loodrecht op de draaiende schijf opgewekt. De elektromagneet bestaat uit een weekijzeren kern die gemagnetiseerd wordt door het magnetisch veld van een spoel die eromheen
gewikkeld is. Zie het figuur hieronder.
e. Geef in de figuur hierboven de stroomrichting in punt K weer.
Figuur 4 staat nogmaals hieronder met daarnaast een vooraanzicht van de schijf. Hierin is de lorentzkracht op het schijfdeel M weergegeven.
| juiste richting | 1 punt |
f. Geef in de figuur hierboven de richting aan van de wervelstromen in de punten P en Q.
Gebruik hiervoor weer de rechterhand regel, waar de magneet lijnen het papier in gaan en de stroom naar beneden. 
| juiste richting van de wervelstromen | 1 punt |
De snelheid van de trein heeft invloed op de remkracht van de wervelstroomrem. Om bij elke snelheid toch dezelfde remkracht te krijgen kan de magneetveldsterkte worden aangepast.
g. Leg uit of de magneetveldsterkte bij lage snelheid groter of kleiner moet zijn dan bij hoge snelheid.
Bij een lagere snelheid (is de lorentzkracht die de elektronen in beweging brengt kleiner en daardoor) ontstaan er minder sterke wervelstromen. De afremmende (lorentz-)kracht zal dus kleiner zijn. Om dit te compenseren moet de magneetveldsterkte dus groter zijn.
| inzicht in het verband tussen de snelheid en de sterkte van de geïnduceerde wervelstromen | 1 punt |
| inzicht in het verband tussen de sterkte van de wervelstromen en de afremmende kracht | 1 punt |
| inzicht in het verband tussen de magneetveldsterkte en de afremmende kracht en consequente conclusie | 1 punt |
