Het botsende-deeltjesmodel is een veelgebruikt model om verschijnselen in materie te verklaren. In dit model worden atomen en elektronen beschouwd als kleine, harde knikkertjes die tegen elkaar botsen. Het botsende-deeltjesmodel is een klassiek model.
In een experiment wordt een bundel elektronen door een gas geschoten. Dit proces beschrijven we met een model waarin de gasatomen stilstaan en de elektronen bewegen. De intensiteit van de bundel is gedefinieerd als de grootte van de elektronenstroom in de richting van de bundel per oppervlakte-eenheid. De bewegende elektronen kunnen botsen met de gasatomen, waardoor de intensiteit van de bundel kan veranderen. Zie figuur 1 voor een schematische tekening.
a. Leg uit met behulp van het botsende-deeltjesmodel dat de intensiteit van de bundel afneemt naarmate er een grotere afstand door het gas is afgelegd.
Bij een botsing met een gasatoom zal de richting van de snelheid van het elektron veranderen. Het elektron maakt daarmee geen deel meer uit van de bundel. De kans op een botsing neemt toe met de afstand. (De intensiteit van de bundel neemt dus af bij toenemende afstanden.)
| inzicht dat elektronen na een botsing de bundel kunnen verlaten | 1 punt |
| inzicht dat de kans op een botsing toeneemt met de afstand | 1 punt |
De transmissie T is de verhouding tussen de intensiteit van de bundel nadat hij een afstand x door het gas heeft afgelegd en de intensiteit van de bundel bij de bron. Volgens het botsende-deeltjesmodel geldt voor T:
$T = \frac{I}{I_0} = e^{\frac{-x}{l}}\; \; \; \; (1)$
Hierin is:
− $x$ de afstand die door de bundel in het gas is afgelegd in m
− $l$ de gemiddelde vrije weglengte, dat wil zeggen de gemiddelde afstand die een elektron aflegt voordat het botst, in m
− $I$ de intensiteit van de bundel na een afstand x in $\textup{m}^{-2}\textup{s}^{-1}$
− $I_0$ de intensiteit van de bundel bij de bron in $\textup{m}^{-2}\textup{s}^{-1}$
In figuur 2 is T als functie van x weergegeven. In de figuur staat ook $l$ aangegeven. De vorm van het (T, x)-diagram is vergelijkbaar met die van een doorlaatkromme bij ioniserende straling.
b. Voer de volgende opdrachten uit:
i) Geef in de figuur 2 de grootte van de halveringsdikte $d_{\frac{1}{2}}$ aan.
De halveringsdikte is gegeven op de afstand wanneer de transmissie is gehalveerd, dus T = 0,5. 
| aangeven van de halveringsdikte | 1 punt |
ii) Toon aan, met behulp van een berekening, dat $l$ in figuur 2 correct is weergegeven.
Uit formule (1) voor het punt $x = l$ volgt dat $T = e^{-1} = 0,368$ . In de grafiek is te zien dat dit overeenkomt met het aangegeven punt.
| inzicht dat $l$ ingevuld moet worden voor x | 1 punt |
| uitrekenen van T en vergelijken met de grafiek | 1 punt |
Quantumrevolutie: het Ramsauer-Townsend-effect
Rond 1920 deden de wetenschappers Carl Ramsauer en John Townsend (zie figuur 3), los van elkaar, een verrassende ontdekking. Bij experimenten met xenongas bleek de transmissie T van de elektronen sterk afhankelijk te zijn van de energie van de elektronen.
Figuur 4 is een (T, $E_{\textup{elek}}$ )-grafiek van metingen aan xenongas. Bij een elektronenenergie $E_{\textup{elek}}$ van 1,0 eV gebeurt er iets verrassends: de elektronen lijken plotseling geen hinder meer te ondervinden van de xenonatomen. De transmissie wordt dan gelijk aan 1, ongeacht de grootte van de afgelegde weg.
Om dit effect te verklaren beschreven Ramsauer en Townsend het elektron niet als een deeltje, maar als een golf met bijbehorende debroglie-golflengte.
c. Bereken de debroglie-golflengte van een vrij elektron met een energie van 1,0 eV.
Voor de debroglie-golflengte geldt: $\lambda = \frac{h}{p}$ .
Uit $p = mv$ en $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ volgt dat: $p = \sqrt{2mE_k}$ .
Invullen geeft: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} = \frac{6,63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 1,60\cdot10^{-19}}}= 1,2\,\textup{nm}$
| gebruik van $\lambda = \frac{h}{p}$ | 1 punt |
| gebruik van $p = mv$ en $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ / inzicht dat $p = \sqrt{2mE_k}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Ramsauer en Townsend benaderden het xenonatoom als een eendimensionale energieput met een diepte $E_{\textup{put}}$ en een lengte L. In figuur 5 is schematisch de situatie getekend van een elektron dat een xenonatoom passeert. Het elektron beweegt van gebied I (voor het xenonatoom) via gebied II (het xenonatoom) naar gebied III (na het xenonatoom).
Bij bepaalde waarden van $E_{\textup{elek}}$ blijkt de golf van het elektron te resoneren in gebied II. Deze resonantie leidt ertoe dat het elektron ongehinderd zijn weg kan vervolgen naar gebied III. Resonantie in gebied II treedt op als aan de volgende voorwaarde wordt voldaan:
$L = n\left ( \frac{\lambda_{II}}{2}\right )\: \; \; \; (2)$
Hierin is:
− L de diameter van het xenonatoom
− n een positief geheel getal (1, 2, 3, ...)
− $\lambda_{II}$ de debroglie-golflengte van het elektron in gebied II
Voor de kinetische energie van het elektron in gebied II geldt:
$E_{\textup{kin}} = E_{\textup{elek}} + E_{\textup{put}}\; \; \; \; \; (3)$
In figuur 4 zijn meerdere pieken te zien waarbij T = 1. Er zijn dus verschillende waarden van $E_{\textup{elek}}$ waarbij resonantie optreedt. Dit is te verklaren met behulp van de formules (2) en (3) en ten minste één formule uit het informatieboek.
d. Geef deze verklaring.
Volgens formule (2) treedt resonantie op bij verschillende waarden van de golflengte: $\lambda_{II} = \frac{2L}{n}$ . Voor de golflengte geldt ook $\lambda = \frac{h}{p}$ , dus bij verschillende waarden van de impuls in gebied II treedt resonantie op en dus ook bij verschillende waarden van de kinetische energie in gebied II. Volgens formule (3) geldt in gebied II: $E_{\textup{elek}} = E_{\textup{kin}} - E_{\textup{put}}$ . Dus er treedt resonantie op bij verschillende waarden van $E_{\textup{elek}}$ .
| inzicht dat uit formule (2) volgt dat resonantie optreedt bij verschillende golflengtes | 1 punt |
| inzicht dat uit $\lambda = \frac{h}{p}$ volgt dat een andere golflengte een andere impuls oplevert | 1 punt |
| inzicht dat een andere impuls een andere kinetische energie oplevert | 1 punt |
| inzicht dat uit formule (3) volgt dat een andere kinetische energie een andere Eelek oplevert | 1 punt |
De waarden van de energie $E_{\textup{kin}}$ in gebied II, waarbij resonantie optreedt, komen overeen met de energieniveaus van een deeltje in een eendimensionale energieput met oneindig hoge wanden. Neem aan dat de eerste piek in figuur 4 hoort bij n = 1 in de formule van deze energieniveaus. De diameter van het xenonatoom is 0,22 nm.
e. Bereken $E_{\textup{put}}$ in eV. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
Er treedt resonantie op bij $E_{\textup{elek}}$ = 1,0 eV. Voor de energieniveaus van een deeltje in een put met oneindig hoge wanden geldt: $E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$ .
De eerste piek komt overeen met n =1, dus: $E_{\textup{kin}} = E_1 = \frac{h^2}{8mL^2}$ .
Invullen geeft: $E_{\textup{kin}} = \frac{(6,63\cdot10^{-34})^2}{8\cdot 9,11\cdot10^{-31}\cdot(0,22\cdot10^{-9})^2}= 1,2\cdot10^{-18}\textup{ J}$ .
Omrekenen naar eV geeft: $E_{\textup{kin}} = 7,8\textup{ eV}$ .
Uit formule (3) volgt: $E_{\textup{put}} = 7,8 -1,0 = 6,8 \textup{ eV}$ .
| gebruik van $E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$ met n=1 | 1 punt |
| gebruik van formule (3) met Eelek =1,0 eV | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
| significantie | 1 punt |
Bronvermelding:
- figuur 3: Carl Ramsauer - Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Ramsauer)
John Sealy Townsend - Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/John_Sealy_Townsend)
overige figuren Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling, 2023
