Jelle heeft een set van acht boomwhackers. Zie figuur 1. Boomwhackers zijn kunststof buizen met twee open uiteinden waarmee je muziek kunt maken. Als je met een boomwhacker ergens tegenaan tikt, ontstaat er een toon doordat er staande golven in de buis ontstaan. De lengte van de buis bepaalt de hoogte van de toon.
Jelle meet de frequenties van de grondtoon en de boventonen van buis 1. Zijn meetresultaten wijken een klein beetje af van wat hij verwacht op basis van de lengte van de buis. Dit komt doordat de buiken niet exact samenvallen met de uiteinden van de buis. De afstand tussen de buiken aan beide uiteinden van de buis wordt de akoestische lengte genoemd. Deze akoestische lengte bepaalt dus de toonhoogte.
In figuur 2 staat weergegeven welke frequenties vóórkomen in de toon van buis 1. De meting is gedaan bij een temperatuur van 20 °C.
a. Bepaal de akoestische lengte van buis 1 met behulp van figuur 2. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
De frequentie van de grondtoon kan worden afgelezen en is $2,7 \cdot 10^2$ Hz. Voor de golflengte van de grondtoon geldt: $\lambda = \frac{\nu}{f}=\frac{343}{2,7\cdot 10^2} = 1,27 \,\textup{m}$ . De akoestische lengte moet daar voor zijn: $l = \frac{1}{2} \lambda = \frac{1}{2}\cdot 1,27 = 0,64 \,\textup{ m}$ (waar n = 1, gezien het een grondtoon is).
| aflezen van een resonantiefrequentie met een marge van $0,2 \cdot 10^2$ Hz | 1 punt |
| gebruik van $v = f \cdot \lambda$ en opzoeken van de geluidssnelheid | 1 punt |
| gebruik van $l = n\frac{1}{2} \lambda$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Jelle gaat op zoek in de literatuur en vindt de volgende formule voor de akoestische lengte:
$L_a = L + 2 \cdot 0,31 \cdot d\; \; \; (1)$
Hierin is:
− $L_a$ de akoestische lengte van de buis in m
− $L$ de werkelijke lengte van de buis in m
− 0,31 een experimenteel bepaalde correctiefactor
− $d$ de binnendiameter van de buis in m
− 2 het aantal open uiteinden van de buis
b. Leg uit met behulp van formule (1) of de buiken aan de uiteinden van de buis binnen of buiten de buis vallen.
Volgens de gegeven formule is de akoestische lengte groter dan de buislengte. Dit betekent dat de buiken van de staande golf buiten de buis zullen liggen.
| inzicht dat de akoestische lengte groter is dan de buislengte | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
Jelle meet de lengte en de binnendiameter van de buizen op met een meetlint. Voor buis 8 vindt hij een lengte van 30,1 cm. Hij meet voor elke buis een binnendiameter van 4,0 cm.
Jelle bedenkt dat hij de binnendiameter ook kan meten met een schuifmaat. De meetwaarde voor de binnendiameter wordt dan nauwkeuriger en kan daardoor worden opgegeven in één significant cijfer méér dan met het meetlint.
Jelle beweert dat de akoestische lengte, en dus de golflengte van de toon, nu weergegeven kan worden met een groter aantal significante cijfers.
c. Leg uit of Jelle gelijk heeft.
Er zijn twee manieren om dit uit te leggen:
1. Uitleg met behulp van nauwkeurigheidsregel voor optellen en aftrekken
Bij een optelling wordt de nauwkeurigheid bepaald door het kleinste aantal decimalen (van de termen). De lengte van de buis wordt in millimeters nauwkeurig gegeven. Een eventueel grotere nauwkeurigheid van de tweede term heeft dus geen invloed op de nauwkeurigheid van de akoestische lengte. Jelle heeft dus geen gelijk.
inzicht dat bij een optelling het kleinste aantal decimalen bepalend is
voor het aantal decimalen in de uitkomst 1
• inzicht dat het (eventueel) nauwkeuriger worden van de tweede term
geen invloed heeft op het aantal decimalen in de uitkomst 1
• consequente conclusie 1
| inzicht dat bij een optelling het kleinste aantal decimalen bepalend is voor het aantal decimalen in de uitkomst | 1 punt |
| inzicht dat het (eventueel) nauwkeuriger worden van de tweede term geen invloed heeft op het aantal decimalen in de uitkomst | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
2. Uitleg met behulp van nauwkeurigheidsregel voor vermenigvuldigen en delen
De factor 0,31 in de tweede term (experimenteel bepaald) zorgt ervoor dat het aantal significante cijfers van de tweede term gelijk blijft aan twee. Een grotere nauwkeurigheid van de binnendiameter heeft dus geen invloed op de nauwkeurigheid van de akoestische lengte. Jelle heeft dus geen gelijk.
| inzicht dat bij een vermenigvuldiging het kleinste aantal significante cijfers in de factoren bepalend is voor het aantal significante cijfers in de uitkomst | 1 punt |
| inzicht dat het aantal significante cijfers in de experimenteel bepaalde correctiefactor (0,31) bepalend is voor het aantal significante cijfers in de tweede term | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
Jelle wil nu de geluidssnelheid bepalen. Daarom berekent hij, uit zijn metingen met het meetlint, met behulp van formule (1) de golflengte van de grondtoon van elke buis. Bovendien meet hij van elke buis de frequentie f van de grondtoon. Van zijn resultaten maakt hij de grafiek van figuur 3. Hij geeft hierbij ook de meetonnauwkeurigheid in de frequentie f aan.
De meetonnauwkeurigheid in de frequentie is vastgesteld op $2 \cdot 10^1\textup{ Hz}$ . Dat betekent dat elke frequentie in werkelijkheid $2\cdot 10^1 \textup{ Hz}$ naar onder of naar boven kan afwijken. In de grafiek is deze meetonnauwkeurigheid, ook wel foutmarge genoemd, aangegeven met verticale streepjes van $2\cdot 10^1 \textup{ Hz}$ onder tot $2\cdot 10^1 \textup{ Hz}$ boven elk grafiekpunt.
De berekende golflengte kent ook een foutmarge.
d. Leg uit dat de foutmarge in de golflengte te klein is om zichtbaar weergegeven te kunnen worden in figuur 3.
De lengte en de binnendiameter van de buizen zijn tot op een mm nauwkeurig gemeten. De foutmarge van de akoestische lengte, en daarmee ook van de golflengte, is in de orde van grootte van een mm. Deze foutmarge is te klein om zichtbaar weergegeven te worden in figuur 3.
| inzicht in (de orde van grootte van) de foutmarge | 1 punt |
| inzicht dat (de orde van grootte van) de foutmarge vergeleken moet worden met (de orde van grootte van) de golflengte / de dikte van hetgetekende meetpunt | 1 punt |
Om de geluidssnelheid zo nauwkeurig mogelijk te bepalen voert Jelle een coördinatentransformatie uit. Het resultaat hiervan is weergegeven in figuur 4.
Jelle voert de volgende drie handelingen uit:
− Hij zet bij de horizontale as het juiste bijschrift.
− Hij trekt in het diagram twee rechte lijnen door de oorsprong die net binnen alle foutmarges liggen.
− Hij bepaalt hieruit in twee significante cijfers de minimale en de maximale geluidssnelheid die uit de metingen volgen.
e. Voer de drie bovenstaande handelingen van Jelle uit in figuur 4.
Er geldt: $v = \lambda f$ . Dus geldt een recht evenredig verband tussen $f$ en $\frac{1}{\lambda}$ . Voor de minimale waarde van de geluidssnelheid geldt dan:
$v = \frac{\Delta f}{\Delta \left ( \frac{1}{\lambda}\right )} = \frac{593}{1,80} = 3,3\cdot 10^2 \,\textup{m}\,\textup{s}^{-1}$ .
Voor de maximale waarde van de geluidssnelheid geldt dan:
$v = \frac{\Delta f}{\Delta \left ( \frac{1}{\lambda}\right )} = \frac{600}{1,72} = 3,5\cdot 10^2 \,\textup{m}\,\textup{s}^{-1}$ .
| op de horizontale as de grootheid $\frac{1}{\lambda}$ met de eenheid ${m}\,\textup{s}^{-1}$ | 1 punt |
| tekenen van de twee uiterste rechte lijnen door de foutmarges van allemeetpunten en door de oorsprong | 1 punt |
| inzicht dat de steilheid van de lijn gelijk is aan de geluidssnelheid | 1 punt |
| completeren van de bepalingen en significantie | 1 punt |
