In de NRC van 24 juni 2022 staat een artikel over David ‘The Bullet’ Smith, die in 2018 als menselijke kogel het afstandsrecord verbrak. Daar staat dat hij 59,43 meter door de lucht vloog alvorens te landen in een vangnet. Hij werd afgeschoten met een snelheid van 120 km/h. Zie onderstaande foto en filmpje.
In de natuurkunde wordt deze beweging een kogelbaan genoemd. Het is een combinatie van een eenparig versnelde beweging in de verticale richting en een eenparige beweging in de horizontale richting. (De ‘horizontale worp’ is een speciaal geval hiervan waarbij de startsnelheid horizontaal gericht is.)
a) Maak aan de hand van figuur 1 een schatting van de hoek waaronder de menselijke kogel wordt afgeschoten.
52°
b) Bereken hiermee de verticale en de horizontale component van de lanceersnelheid.
vv = 120 · sin52° = 94,6 km/h = 26,3 m/s;
vh = 120 · cos52° = 73,9 km/h = 20,5 m/s
Neem eerst aan dat de wrijving van de lucht verwaarloosd mag worden. Neem ook aan dat het vangnet zich op gelijke hoogte bevindt met de uitgang van de loop van het kanon.
c) Bereken de verticale hoogte die hij bereikt (ten opzichte van de loop).
$E_z=E_k\rightarrow mgh=\frac{1}{2}mv^2\rightarrow m\cdot 9,81\cdot h = \frac{1}{2}m\cdot v^2\rightarrow h=\frac{1}{2}\cdot \frac{26,3^2}{9,81}=35,3~\mathrm{m}$
d) Bereken de tijd die verstrijkt tussen lanceren en het bereiken van het hoogste punt.
De vertraging in verticale richting is 9,81 m/s2. De afname van de snelheid van 26,3 m/s naar 0 m/s duurt dus Δt = 26,3 / 9,81 = 2,68 s.
e) Hoelang duurt de hele vlucht?
Het dalen van het hoogste punt tot het vangnet gaat eveneens met de valversnelling en duurt even lang als het stijgen. De totale vlucht duurt dus 2 · 2,68 = 5,36 s.
f) Bereken daarmee de afgelegde horizontale afstand.
In horizontale richting is de beweging eenparig. De afgelegde weg zou dus zijn x = vh · Δt = 20,5 · 5,36 = 109 m. Heel wat meer dan 59,43 m.
g) Geef redenen waardoor de feitelijk afgelegde horizontale afstand afwijkt van de bij f. berekende waarde.
Drie mogelijke verklaringen:
- De belangrijkste factor is ongetwijfeld de luchtwrijving die hij ondervindt. Daardoor komt hij minder hoog en is hij ook eerder beneden. In horizontale richting legt hij dan minder af.
- Een andere reden kan zijn dat de lanceersnelheid in feite minder dan 120 km/h is. Op de site van Guinness, dat zijn prestatie als wereldrecord erkende, staat “David was blasted 59.33 metres (194 ft 8 inches) through the air by Xbox's custom-made canon, hitting 60 mph in just 0.2 seconds.” 60 mph = 96,6 km/h. Aanzienlijk minder dan 120 km/h. Rekenen met deze waarde levert vh = 16,5 m/s en een vluchttijd Δt = 4,32 s, waaruit volgt x = 71,3 m. Dat is als er geen wrijving zou zijn. Dit komt in de buurt van de feitelijke afstand van 59,43 m.
- Tenslotte zou nog een rol kunnen spelen dat het vangnet zich niet op dezelfde hoogte bevindt als de mond van de loop van het kanon.
Deze situatie leent zich goed om een model te maken waarin rekening gehouden wordt met de luchtwrijving.
De luchtweerstandskracht wordt gegeven door Fw = ½ρCwAv2, waarin ρ de dichtheid van lucht is, Cw de weerstandscoëfficiënt, A het dwarsoppervlak en v de snelheid (Binas tab 35A, A3).
Hieronder staat een vereenvoudigd model. Voor het gemak gaan we uit van een cirkelvormige frontale oppervlakte met diameter d.
De startwaarden voor vx en vy zijn de resultaten van vraag b. De figuur hieronder geeft het resultaat van het model.
Door de startwaarden van Cw en d aan te passen kun je kijken of de gegeven afstand uit het model volgt.
h) Neem het model over in Coach of een andere modelleeromgeving en pas de startwaarden voor Cw en d zo aan dat de afgelegde afstand klopt met het gegeven.
Bij een keuze Cw = 0,26 en d = 0,3 m is de uitkomst voor de in horizontale richting afgelegde afstand x = 95 m.
i) Zijn deze waarden reëel? Met andere woorden kunnen de gegeven waarden van lanceerhoek, beginsnelheid en afgelegde afstand met elkaar kloppen?
Een gemiddelde lichaamsdiameter van 30 cm is reëel (volgens Wikipedia is de gemiddelde schouderbreedte van een man 39 cm). Ook de Cw waarde zou kunnen, maar is aan de hoge kant (op Wikipedia is te vinden: “Voor skiërs in hun strakke pakjes wordt al een waarde 1,0 à 1,1 opgegeven, voor een rechtopstaand mens 1,0 à 1,3.”)
De krant schrijft hoe het kanon werkt, al blijft de precieze toedracht een familiegeheim: “De krachtbron is samengeperste lucht – ruim vierhonderd keer de luchtdruk – die plots uitzet. (…) Volgens Guinness World Records bereikte Smith tijdens zijn recordvlucht al na 0,2 seconde een snelheid van 96 km/h. Zijn versnelling was gemiddeld 130 m/s2. Dat staat gelijk aan 13 g-krachten.”
j) Ga na of de genoemde versnelling klopt.
agem = Δv / Δt = (96 / 3,6) / 0,2 = 133 m/s2. Klopt dus.
k) Wat wordt ermee bedoeld dat dit gelijk staat aan ‘13 g-krachten'?
De versnelling van de zwaartekracht is g = 9,81 m/s2. De menselijke kogel ondergaat dus een versnelling die 13,6 keer zo groot is als g. Uit F = m · a volgt dat de kracht die er op hem wordt uitgeoefend tijdens het versnellen dan ook 13,6 keer zo groot is als de zwaartekracht.
l) Wat maakt deze grote versnelling zo gevaarlijk?
Je zou denken dat dit levensgevaarlijk is. De krant citeert Ted Meeuwsen, die luitenant-kolonel is bij Centrum voor Mens en Luchtvaart van de Koninklijke Luchtmacht: “Je bloed plonst vanuit het bovenlichaam naar de benen, en verdwijnt uit de hersenen. Dat is een groot probleem in jachtvliegtuigen: met een zeer snelle acceleratie halen die met gemak negen g-krachten (…), voor een langere periode. (…) Heel misschien zou je aan het begin het bewustzijn kunnen verliezen, maar waarschijnlijk is de bloeddruk erg hoog door de adrenaline. Dan blijf je gemakkelijker bij kennis. Bovendien is de duur van de versnelling belangrijk.” Die is hier korter dan in een jachtvliegtuig.
David Smith komt ook zelf aan het woord: “Ik geloof niet dat ik ooit het bewustzijn heb verloren. (…) De impact bij de landing is vaak veel groter dan bij de start – dat voelt echt verpletterend voor mijn lichaam. Ik krijg soms blessures, verwondingen, spiertrekkingen of blauwe plekken.”
m) Hoe komt het dat de landing ernstigere gevolgen heeft dan de lancering?
Ondanks het uitrekken van het vangnet is de afstand waarbinnen zijn snelheid bij de landing wordt teruggebracht naar nul een stuk kleiner dan de afstand tijdens het versnellen in de lange loop van het kanon. De ondervonden versnelling tijdens de landing is dan ook nog groter dan bij de lancering. (Het zou natuurlijk helemaal dramatisch zijn als hij het vangnet mist en een harde landing maakt.)
n) Geef nu antwoord op de vraag of Smith het aan de luchtwrijving te danken heeft dat hij het overleeft.
De luchtwrijving is een belangrijke factor. De landing is gevaarlijker dan de lancering (antwoord vraag m). Zonder wrijving zou hij veel verder komen (antwoord vraag f) en met grotere snelheid in het vangnet landen. Ja, dus de luchtwrijving redt hem.
