Figuur 1 is een foto van een viool. In de foto zijn enkele onderdelen benoemd.
Met een microfoon is het geluid opgenomen dat ontstaat bij het aanstrijken van een snaar. Op een computerscherm wordt het (u,t)-diagram van figuur 2 zichtbaar. Het geluid blijkt een combinatie van verschillende tonen. De toon met de kleinste frequentie is de grondtoon.
1) Bepaal de frequentie van de grondtoon van deze snaar. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Voor 2 perioden wordt een afstand gemeten van 7,8 cm. Dat komt overeen met een tijd van 7,8 .10-3 s.
Daarmee geldt: $T= \frac{7,8\cdot 10^{-3}}{2}= 3,9\cdot 10^{-3}s$
Er geldt: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{3,9 \cdot 10^{-3}} = 2,6 \cdot 10^2 \: Hz$
| bepalen van T (met een marge van $0,1\cdot 10^{-3}$ s) | 1 punt |
| gebruik van $f=\frac{1}{T}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
De onderste snaar in figuur 1 is de E-snaar. Na aanstrijken hiervan ontstaat in de snaar een staande transversale golf met knopen op de kam en op het kielhoutje. Zie figuur 1. De frequentie van de grondtoon van de E-snaar is 660 Hz.
2) Bereken de voortplantingssnelheid van de golven in de E-snaar.
$v = f\lambda .$ Hierin is $\frac{1}{2} \lambda = 32,2 \cdot 10^{-2}\: m$ zodat $v = 2 \cdot 32,2\cdot 10^{-2}\cdot 660 = 425 ms^{-1}$ .
| gebruik van $v=f\lambda $ | 1 punt |
| inzicht dat $\lambda=2$ x de afstand tussen kam en kielhoutje | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Voor de frequenties van de tonen van een snaar geldt:
$f_n = nf_{grondtoon} \; \; \; \; (1)$
Hierin is n een positief geheel getal, waarbij n = 1 de grondtoon aangeeft en n = 2, 3, ... de boventonen.
3) Leid formule (1) af met behulp van formules uit een tabellenboek.
Voor staande golven in een snaar met lengte $l$ geldt: $l = n\cdot \frac{1}{2}\lambda$ . Dus voor de golflengtes van de grondtoon en boventonen geldt: $\lambda _n=\frac{2l}{n}.$
Voor de frequentie geldt: $f = \frac{v}{\lambda }$ . Combineren geeft: $f_n = n\frac{v}{2l}$
Dus $f_n = nf_{grondtoon}$ met $f_{grondtoon} = \frac{v}{2l}.$
| gebruik van $l=n\cdot\frac{1}{2}\lambda $ | 1 punt |
| gebruik van $v=f\lambda $ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
Naast de E-snaar bevindt zich de A-snaar. De frequentie van de grondtoon van de A-snaar is lager dan die van de E-snaar. Wanneer de viool zuiver gestemd is, is de verhouding van deze frequenties 2 : 3. Door deze manier van stemmen zijn er frequenties die zowel bij een boventoon van de A-snaar horen als bij een boventoon van de E-snaar.
4) Geef twee van die frequenties. Licht je antwoord toe.
Voor de frequenties van boventonen in een snaar geldt $f_n = f_{grondtoon}$ . De frequenties van de grondtonen verhouden zich als 2 : 3. Als de factoren n in bovenstaande formule zich voor de twee snaren verhouden als 3 : 2, geeft dit dezelfde frequentie van de boventonen. Dit is dus het geval bij f = 1320 Hz en f = 2640 Hz enz.
| gebruik van $f_{n}=n\cdot f_{grondtoon}$ met het inzicht dat de factoren n zich verhouden als 2 : 3 | 1 punt |
| completeren van het antwoord | 1 punt |
